Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 ЗАДАЧА 1. 7.

Завод – производитель высокоточных элементов  для автомобилей выпускает два  различных типа деталей  . Завод располагает фондом рабочего времени в 4000 чел.- час в неделю. Для производства одной детали типа требуется 1 чел.- час, для производства одной детали типа требуется 2 чел.- час. Производственные мощности завода позволяют выпускать максимум 2250 деталей типа и 1750 деталей типа в неделю. Каждая деталь типа требуется 2 килограмма металлических стержней и 5 килограммов листового металла. Для производства одной детали типа требуется 5 килограммов металлических стержней и 2 килограмма листового металла. Уровень запасов каждого вида металла составляет 10000 килограммов в неделю. Кроме того, еженедельно завод поставляет 600 деталей типа своему постоянному заказчику. Существует также профсоюзное соглашение, в соответствии с которым общее число производимых в течение одной недели деталей должно составлять не менее 1500 штук.

Сколько деталей каждого типа следует  производить, чтобы максимизировать  общий доход за неделю, если доход  от производства одной детали типа составляет 30 денежных единиц, а от производства одной детали типа – 40 денежных единиц?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимый комментарий к её элементам и получить решение графическим методом. Что произойдёт, если решить задачу на минимум, и почему?

РЕШЕНИЕ.

По  условию задачи обозначим.

 количество деталей типа , количество деталей типа .

Ограничения по фонду рабочего времени: .

Ограничения по производственным мощностям: .

Ограничение по материалу (железу): .

Ограничение по постоянному заказчику: .

Ограничение по профсоюзному соглашению: .

Ограничения по экономическому смыслу для переменных : .

Все ограничения сведём в одну систему:

.

Целевая функция будет иметь вид:

.

Требуется найти максимум целевой функции.

Таким образом, система ограничений (1) и  целевая функция (2) представляют собой  запись экономико-математической модели исходной задачи.

Решим задачу графическим способом.

Имеем систему ограничений:

.

Строим  линии.

Для прямой линии  , имеем:

 

Таблица 2.

	0	4000
	2000	0

Строим  линию.

Строим  линию .

Строим  линию .

Для прямой линии  , имеем:

.

Таблица 3.

	0	5000
	2000	0

Строим  линию.

Для прямой линии  , имеем:

.

Таблица 4.

	0	2000
	5000	0

Строим  линию.

Строим  линию .

Для прямой линии  , имеем:

.

Таблица 4.

	0	1500
	1500	0

Строим  линию.

 

Отмечаем  полуплоскости  .

Строим  линию уровня:

Пусть константа равна, например, нулю. Тогда:

.

Таблица 5.

	0	-4000
	0	3000

 

Строим  нормальный вектор к линии уровня .

Отмечаем  полуплоскости допустимых значений и находим область решений  системы ограничений (смотрите рисунок 1). Область решений системы ограничений исходной задачи есть многоугольник . Перемещаем линию уровня по направлению нормального вектора и находим, что минимум целевой функции находится в точке с координатами , то есть, . Максимум целевой функции находится в точке .

Найдём  координаты точки  . Для этого решаем систему уравнений:

.

Решаем  систему и находим координаты точки  :

Значения  подставим в целевую функцию .

 денежных единиц.

Для нахождения минимума целевой функции  значения подставим в целевую функцию .

 денежных единиц.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 2. 7.

Предприятие выпускает четыре вида продукции  и использует три вида оборудования: токарное, фрезерное, шлифовальное. Общий фонд рабочего времени оборудования каждого вида, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице 1.

Таблица 1.

Тип оборудования	Нормы расхода ресурса на единицу одного изделия				Фонд рабочего времени, час
	А	Б	В	Г
Токарное	2	1	1	3	300
Фрезерное	1	0	2	1	70
Шлифовальное	1	2	1	0	340
Цена изделия	8	3	2	1

 

ТРЕБУЕТСЯ:

1. Сформулировать прямую оптимизационную  задачу на максимум выручки  от реализации готовой продукции,  получить оптимальный план выпуска  продукции.

2. Сформулировать двойственную задачу  и найти её оптимальный план  с помощью теорем двойственности.

3. Пояснить нулевые значения переменных  в оптимальном плане.

4. На основе свойств двойственных  оценок и теорем двойственности:

- проанализировать использование  ресурсов в оптимальном плане  исходной задачи;

- определить как изменится выручка  от реализации продукции и  план её выпуска, если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;

- оценить целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 единиц соответственно.

РЕШЕНИЕ.

1. Сформулируем прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получим оптимальный план выпуска продукции.

Обозначим по условию задачи:

количество изделий вида А; количество изделий вида Б; количество изделий вида В, количество изделий вида Г.

Тогда система ограничений прямой оптимизационной  задачи на максимум прибыли, имеет вид:

.

По  экономическому смыслу, очевидно, что .

Целевая функция имеет вид:

.

Таким образом, сформулировали прямую оптимизационную  задачу.

Решим задачу симплекс-методом.

От  системы неравенств исходной задачи перейдём к системе уравнений. Для  этого введём дополнительные переменные (по числу неравенств).

Тогда, получим:

.

Требуется найти максимум целевой функции:

.

Составим  симплекс-таблицу и решим задачу.

Таблица 2.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	300	2	1	1	3	1	0	0	300/2=150
	70	1	0	2	1	0	1	0	70/1=70
	340	1	2	1	0	0	0	1	340/1=340
Индексная строка	0	-8	-3	-2	-1	0	0	0

 

Выбираем  исходное опорное решение. Базисные переменные: 5 6 7  свободные переменные: 1 2 3 4.

Выбираем наименьший элемент в индексной строке (-8). Ведущим будет первый столбец. Столбец свободных членов делим на коэффициенты первого столбца, результаты деления заносим в оценочный столбец . Выбираем наименьшее значение в столбце (среди неотрицательных значений) – (70). Ведущей будет вторая строка. Вводим в базис, выводим . Вторую строку умножаем на 2 и вычитаем из первой строки. Вторую строку умножаем на 1 и вычитаем из третьей строки. Вторую строку умножаем на 8 и складываем с четвёртой строкой. Получаем таблицу 3.

Таблица 3.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	160	0	1	-3	1	1	-2	0	160/1=160
	70	1	0	2	1	0	1	0	70/0=
	270	0	2	-1	-1	0	-1	1	270/2=135
Индексная строка	560	0	-3	14	7	0	8	0

 

Выбираем  исходное опорное решение. Базисные переменные: 5 1 7  свободные переменные: 2 3 4 6.

Выбираем наименьший элемент в  индексной строке (-3). Ведущим будет второй столбец. Столбец свободных членов делим на коэффициенты второго столбца, результаты деления заносим в оценочный столбец . Выбираем наименьшее значение в столбце (среди неотрицательных значений) – (135). Ведущей будет третья строка. Вводим в базис, выводим . Делим третью строку на 2. Имеем: