Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

 

 

ЗАДАЧА 4. 7.

В течение девяти последовательных недель фиксировался спрос  (миллионов рублей) на кредитные ресурсы финансовой компании. Временной ряд этого показателя приведён в таблице 1.

Таблица 1.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	20	27	30	41	45	51	51	55	61

 

Требуется:

1. Проверить наличие аномальных наблюдений.
2. Построить линейную модель , параметры которой оценить

методом наименьших квадратов  . расчетные, смоделированные значения временного ряда.

4. Оценить адекватность построенных моделей, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании критерия взять табулированные границы 2,7 – 3,7).

5. Оценить точность моделей на  основе использования средней  относительной ошибки аппроксимации.

6. По построенной модели осуществить прогноз спроса на следующие две недели (доверительный интервал прогноза рассчитать при доверительной вероятности ).

7. Фактические значения показателя, результаты моделирования и прогнозирования  представить графически.

Вычисления  провести с одним знаком в дробной  части. Основные промежуточные результаты вычислений представить в таблицах (при использовании компьютера представить  соответствующие листинги с комментариями).

РЕШЕНИЕ.

1. Выявление аномальных уровней ряда по методу Ирвина. Построим расчётную таблицу.

Таблица 2.

1	20	-22,33	498,78	-	-
2	27	-15,33	235,11	7	0,50
3	30	-12,33	152,11	3	0,22
4	41	-1,33	1,78	11	0,79
5	45	2,67	7,11	4	0,29
6	51	8,67	75,11	6	0,43
7	51	8,67	75,11	0	0,00
8	55	12,67	160,44	4	0,29
9	61	18,67	348,44	6	0,43
	381		1554,00

 

Найдём  средние значения величин:

;

Вычислим среднее квадратическое отклонения спроса на кредитные ресурсы финансовой компании:

;

Вычислим расчётные значения критерия Ирвина:

, где  .

и сравним их с табличным критерием  для уровня значимости и :

.

Получили, что для всех значений , то есть, ряд , не имеет аномальных уровней ряда. Проведём сглаживание исходного ряда методом простой скользящей средней.

Формулы для расчётов сглаженных значений приведены ниже¹:

;  ; .

Таблица 3.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	20	27	30	41	45	51	51	55	61
Сглаженные уровни,	20,67	25,67	32,67	38,67	45,67	49,00	52,33	55,67	60,67

 

Выявление аномальных уровней ряда по методу Ирвина для значений ряда после сглаживания. Построим расчётную таблицу.

Таблица 4.

1	20,67	-21,67	469,44	-	-
2	25,67	-16,67	277,78	5,00	0,36
3	32,67	-9,67	93,44	7,00	0,50
4	38,67	-3,67	13,44	6,00	0,43
5	45,67	3,33	11,11	7,00	0,50
6	49,00	6,67	44,44	3,33	0,24
7	52,33	10,00	100,00	3,33	0,24
8	55,67	13,33	177,78	3,33	0,24
9	60,67	18,33	336,11	5,00	0,36
	381		1523,56

 

Найдём средние значения величин:

;

 

Вычислим среднее квадратическое отклонения спроса на кредитные ресурсы финансовой компании:

;

Получили, что  для всех значений , то есть, ряд ,   не имеет аномальных уровней ряда.

Строим  график исходных данных.

 

Рисунок 1.

Легенда: Ряд 1 – синие «ромбики» – табличные данные -

, ряд 2 – коричневые «квадраты» – сглаженная линия - .

1. 1. Определим наличие тренда во временном ряду методом Фостера – Стьюарта. Табличные значения статистики Стьюдента принять равными при уровне значимости , , а при уровне значимости -  .

Таблица 5.

Номер    наблюдения
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	20	27	30	41	45	51	51	55	61
	-	1	1	1	1	1	0	1	1
	-	0	0	0	0	1	0	0	0

 

Вычислим суммы:

, ,

Проверим  гипотезы: можно ли считать случайными:

1. отклонение величины от  величины математического ожидания величины для ряда, в котором уровни расположены случайным образом,
2. отклонение величины  от нуля.

Эта проверка проводится с использованием расчётных  значений критерия Стьюдента для средней и для дисперсии.

, где ;

, где .

 математическое ожидание  величины  , определённой для ряда, в котором уровни ряда расположены случайным образом; среднее квадратическое отклонение для величины ; среднее квадратическое отклонение для величины .

По  таблице находим следующие значения при  :

,

,

.

Вычислим:

; .

    Табличное  значение статистики Стьюдента   при уровне значимости  равно .

Так как, и , следовательно,  гипотеза о наличие тренда принимается.

2. Построим линейную модель , параметры которой оценим (методом наименьших квадратов).

Нормальная  система для определения параметров линейного уравнения есть:

.

Составим  расчётную таблицу.

Таблица 6.

1	1	-4	16	20	-22,33	89,33
2	2	-3	9	27	-15,33	46,00
3	3	-2	4	30	-12,33	24,67
4	4	-1	1	41	-1,33	1,33
5	5	0	0	45	2,67	0,00
6	6	1	1	51	8,67	8,67
7	7	2	4	51	8,67	17,33
8	8	3	9	55	12,67	38,00
9	9	4	16	61	18,67	74,67
Сумма	45		60	381		300,00
Среднее	5,00			42,33

.

То  есть, получили: .

Следовательно, уравнение регрессии имеет вид:

.

Последовательно подставляя в модель вместо фактора  его значения от 1 до 9, получаем расчётные  значения уровней  . Внесём эти значения в таблицу 7.

Вычислим  отклонения расчётных значений от фактических  наблюдений:

 где 

Внесём  эти значения в таблицу 7.

Таблица 7.

	Факт,
1	20	22,33	-2,33	11,67
2	27	27,33	-0,33	1,23
3	30	32,33	-2,33	7,78
4	41	37,33	3,67	8,94
5	45	42,33	2,67	5,93
6	51	47,33	3,67	7,19
7	51	52,33	-1,33	2,61
8	55	57,33	-2,33	4,24
9	61	62,33	-1,33	2,19
			Сумма	51,78

Построим  график исходных данных и сглаженных данных по уравнению прямой.

 

Рисунок 2.

Легенда: Ряд 1 – фактические данные ряда

(синие ромбики). Ряд 2 – сглаженные данные простой скользящей средней (красные кубики). Ряд 3 – сглаженная данные по уравнению линии (зелёные треугольники).