Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Таблица 4.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	160	0	1	-3	1	1	-2	0
	70	1	0	2	1	0	1	0
	135	0	1	-1/2	-1/2	0	-1/2	1/2
Индексная строка	560	0	-3	14	7	0	8	0

 

  Третью строку умножаем на 1 и  вычитаем из первой строки. Третью строку  умножаем на 3 и складываем с четвёртой строкой. Получаем таблицу 5.

Таблица 5.

Базисные переменные	Свободные  члены								Оценочный столбец
	25	0	0	-5/2	3/2	1	-3/2	-1/2
	70	1	0	2	1	0	1	0
	135	0	1	-1/2	-1/2	0	-1/2	1/2
Индексная строка	965	0	0	25/2	11/2	0	13/2	3/2

 

Таким образом, решение получено, так  как условие оптимальности плана  выполнено: все коэффициенты в индексной  строке не меньше нуля. Следовательно, максимум целевой функции  равен: 965 единиц.

Оптимальной производственной программой является:

, необходимо выпустить 70 изделий  вида А,

, необходимо выпустить 135 изделий вида Б,

, изделия вида В выпускать  не выгодно,

, изделия вида Г выпускать  не выгодно.

   При этом будет получен максимум  общей стоимости (максимум целевой  функции), выпускаемой продукции  при заданных ограничениях на  ресурсы:

 денежных единиц.

2. Сформулируем двойственную задачу и найдём её оптимальный план с помощью теорем двойственности.

Пусть некая организация решила закупить все ресурсы рассматриваемого предприятия. При этом необходимо установить оптимальную цену на приобретаемые ресурсы исходя из следующих объективных условий:

1) покупающая организация старается  минимизировать общую стоимость ресурсов;

  2) за каждый вид ресурсов надо  уплатить не менее той суммы,  которую предприятие может выручить  при использовании  ресурсов  для производства  готовой продукции.  Согласно первому условию, общая  стоимость ресурсов, выразится величиной . Согласно второму требованию вводятся ограничения.

Запишем матрицу исходной задачи:

.

Транспонируем исходную матрицу:

.

Запишем систему ограничений двойственной задачи:

.

Целевая функция будет иметь вид:

.

По  экономическому смыслу очевидно, что .

Таким образом, записали условия двойственной задачи.

Значения  , , , подставим в систему ограничения прямой задачи, получим:

.

.

Следовательно, из второй теоремы двойственности вытекает, что  , так как, первое выражение выполняется как строгое неравенство.

Так как, , то первое и второе ограничения двойственной задачи выполняются как равенства.

Тогда имеем систему уравнений для  определения  :

и так как ,  получим:

.

    Решаем систему, находим денежные единицы; денежные единицы. Найденные значения подставляем в целевую функцию двойственной задачи:

, получаем:

 денежных единиц.

Следовательно, оптимальный план двойственной задачи есть:

Приобретать ресурсы фрезерного оборудования по цене условных денежных единиц и ресурсы шлифовального оборудования по цене условных денежных единиц. Ресурсы токарного оборудования приобретать не выгодно, так как условных денежных единиц.

3. Проанализируем использование ресурсов в оптимальном плане. По условию задачи при её решении на максимум общей стоимости выпускаемой продукции получены следующие результаты , , , . Подставим эти значения в исходную систему ограничений, получим:

Следовательно, ресурсы фрезерного оборудования используются полностью, ресурсы шлифовального оборудования используются полностью. Ресурсы токарного оборудования используются не полностью, в остатке 300 – 275 = 25 часов.

4. Определим, как изменится выручка от реализации продукции и план её выпуска если фонд рабочего времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа;.

Можно показать, что эти изменения находятся  в интервалах устойчивости двойственных оценок, поэтому можно воспользоваться  теоремой об оценках:

 условных денежных единиц.

Следовательно, величина  общей стоимости выпускаемой продукции увеличится на 36 условных денежных единиц и составит условных денежных единиц.

При этом план выпуска продукции, предполагая, что изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок, найдём из условия:

  .

Так как, второе и третье неравенства исходной системы  выполняются как точные равенства и учли, что .

Решаем систему и находим: , .

Тогда, план выпуска продукции будет  таким:

Оптимальной производственной программой является:

, необходимо выпустить 70 изделий  вида А,

, необходимо выпустить 135 изделий  вида Б,

, изделия вида В выпускать  не выгодно,

, изделия вида Г выпускать  не выгодно.

Оценим  целесообразность включения в план изделия Д ценой 11 единиц, если нормы  затрат оборудования 8, 2 и 2 единиц соответственно.

Если  , то изделие вида Д невыгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление не покрываются получаемой прибылью.           

Если , то изделие вида Д выгодно для включения в план.

В нашем случае имеем:

,

следовательно, изделие Д не выгодно для включения в план, так как затраты на его изготовление больше получаемой прибыли.

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА  3. 7.

Промышленная  группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трёх видов, при этом каждое из трёх предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске первого вида продукции, второе предприятие специализируется на выпуске второго вида продукции, третье предприятие специализируется на выпуске третьего вида продукции. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идёт на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки элементов технологической матрицы ,(норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов вектора конечной продукции .

Требуется:

1. Проверить продуктивность технологической матрицы (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат);

2. Построить баланс (заполнить  таблицу) производства и распределения  продукции предприятий холдинга.

Таблица 1. Исходные данные.

Вариант
3.7	0,1	0,2	0,4	0,0	0,4	0,1	0,1	0,3	0,4	100	200	100

 

РЕШЕНИЕ.

Оценим  продуктивность матрицы :

.

Для того чтобы матрица  была продуктивной необходимо и достаточно выполнения следующего условия: матрица неотрицательно обратима, то есть существует обратная матрица и все её элементы неотрицательны. Проверим.

.

То  есть,

.

Найдём  матрицу  , обратную матрице .

Таким образом, имеем:

.

    

Следовательно, показали, что матрица  неотрицательно обратима, то есть существует обратная матрица и все её элементы неотрицательны. Таким образом, показали продуктивность матрицы .

Построим баланс производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Имеются экономические оценки коэффициентов  прямых затрат и объёмов конечной продукции.

, .

  Требуется составить баланс производства  и распределения продукции предприятий холдинга.

Модель  баланса производства и распределения продукции предприятий можно представить следующей системой уравнений:

.

Откуда получим  систему:

 

Решаем  систему и определяем валовую  продукцию отраслей:

, , .

Распределение продукции между отраслями на внутреннее потребление определяем из соотношения:

.

,  , ,

,  , ,

,  , .

В итоге плановая модель – баланс производства и  распределения продукции отраслей – будет иметь следующий вид:

Таблица 8.2.

Межотраслевой баланс производства и  распределения продукции
Производящие структуры	Потребляющие структуры			Конечный продукт	Валовой продукт
	1	2	3
1				100
2				200
3				100
Итого:				400