Линейные балансовые модели в экономике

Основные соотношения

– баланс между производством потреблением.

–  стоимостная структура продукции i-ой отрасли

– равенство суммарного конечного продукта и суммарной условно  
чистой продукции.

4. – промежуточный продукт экономической системы.

 

Пример.

Завершим  составление баланса, располагая следующими данными об экономической системе, состоящей из трех   экономических объектов (например, Р₁ – промышленность, Р₂ – сельское хозяйство, Р₃ – транспорт). Прочерки в таблице означают, что X₂₂= X₃₁=0.

 

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50			200	300
P2	10	-	40			500
P3	-				240
Σ				310
V		390
X

 

 

Решение.

 

1. Используем  баланс  между производством  и потреблением продукции Р₁, для отыскания , а затем и X₁₃:

2. Аналогично, используя баланс между производством и  потреблением продукции Р₂, найдем  V₂, предварительно подсчитав .

3. Значения   X₁   и   Х₂   запишем   на   первых   двух   местах   в последней строке таблицы (строка X). Таблица принимает вид:

 

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	-	40	50	450	500
P3	-				240
Σ				310
V		390
X	300	500

4. Найдем теперь 

(использовали соотношение между элементами столбца Σ)

(использован  баланс между производством и потреблением продукции P₃).

6. Теперь запишем величину X₃ в столбец X и строку X.
7. Суммарные затраты  всех трех отраслей  на   производство

продукции первой отрасли  запишем на первом месте в строке Σ.

8. Теперь  можно  найти условно чистую  продукцию   V_l  как разность  между валовым   выпуском  и  суммарными затратами   :  

Таблица принимает вид:

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	-	40	50	450	500
P3	-			160	240	400
Σ	30			310
V	270	390
X	300	500	400

 

9. Из   равенства   между   суммарным   конечным   продуктом   и суммарной условно чистой продукцией получаем величину
10. Теперь, когда строки  V и X полностью заполнены, можно определить суммарные затраты на производство продукции второй и третьей отраслей:

11. Завершит составление баланса вычисление затрат продукции третьей отрасли на производство продукции Р₂ и на собственные производственные нужды P₃:

Окончательно  получаем:

 

 

Отрасли	P1	P2	P3	Σ	Y	X
P1	20	50	30	100	200	300
P2	10	-	40	50	450	500
P3	-	60	100	160	240	400
Σ	30	110	170	310
V	270	390	230
X	300	500	400

 

 

II. Межотраслевая балансовая модель и ее свойства

Как известно, при построении математической модели конкретного объекта или процесса невозможно учесть все многообразие его свойств, связей, особенностей. В первую очередь все сказанное относится к экономико-математическому моделированию. Это связано со сложностью, многогранностью изучаемого объекта, с большим количеством самых разнообразных зависимостей между его отдельными элементами. Поэтому построению математической модели предшествует этап выделения главных, существенных связей, которые и будут в дальнейшем изучаться. Здесь же формулируется цель построения модели.

Основные предположения  о свойствах экономической системы

1. Экономическая система состоит из экономических объектов. Количество выпускаемой каждым объектом продукции может быть охарактеризовано одним числом.

Мы  договорились под экономическими объектами  понимать чистые отрасли. Поэтому в  качестве такого числа разумно использовать валовой выпуск отрасли в натуральном или стоимостном выражении. В силу принятого выше условия будем в дальнейшем считать, что все характеристики, в том числе и валовой выпуск, представлены в стоимостном выражении (т. е. в рублях, тыс. руб., млн. руб. и т. п.).

Итак, в качестве характеристики выпускаемой  каждым экономическим объектом продукции выбираем ее валовой выпуск:

P₁→X₁ P₂→X₂…P_n→X_n

2. Комплектность потребления: для выпуска данного количества продукции X_i экономический объект Р_i должен получить строго определенное количество продукции других объектов:

                                                                                                                           

                                                                    X_i

Вспомним, что под X_ki мы понимаем стоимость той части продукции k-й отрасли P_k, которую должна использовать Р_i в качестве сырья, полуфабрикатов, топлива и т.д., чтобы обеспечить выпуск своей продукции в объеме X_i.

3. Линейность: увеличение выпуска продукции в некоторое число раз k требует увеличения потребления экономическим объектом всех указанных в п. 2 продуктов также в k раз. Другими словами, нормы производственных затрат не зависят от объема выпускаемой продукции. Для того чтобы Р_i выпустила валовой продукции стоимостью в одну денежную единицу, она должна получить от отраслей системы продукции на а_1i, а_2i, ..., а_ni денежных единиц, а для обеспечения всего валового выпуска i-й отрасли потребуется соответственно

            

         (1)

продукции отраслей системы.

Аналогичные соотношения имеют место для  всех отраслей:

          (2)

Функции вида (2) – однофакторные производственные функции, представленные как функции затрат.

Все n² указанных функций линейны относительно объема выпускаемой продукции. Поэтому мы и говорим о линейных балансовых моделях.

Коэффициенты пропорциональности а_ij называют технологическими коэффициентами или коэффициентами прямых внутрипроизводственных затрат.

4. Выпускаемая каждым экономическим объектом продукция частично потребляется другими объектами системы в качестве сырья, полуфабрикатов и т.п. (внутрипроизводственное потребление), а часть идет на личное и производственное потребление вне данной экономической системы (внепроизводственное потребление в форме конечного продукта):

       (3)

Построение балансовой  модели

Используя предположения 1–4, производственные функции (2) и балансовые уравнения (3), приходим к линейной балансовой модели:

            (4)

 

Как мы видим, система (4) содержит n² + 2n величин: n² технологических коэффициентов а_ij, n конечных продуктов Y_i и n валовых продуктов X_j. Система линейна как относительно X_j, так и относительно Y_i.

 

III. Задачи, решаемые с помощью балансовой модели

Эта математическая модель имеет вид  системы n линейных уравнений с 2n неизвестными. Первая группа неизвестных X₁, X₂,…, X_n представляет объемы валовой продукции экономических объектов P₁, P₂,…, P_n,   которую   предстоит   произвести   в   планируемом периоде. Вторую группу Y₁, Y₂,…, Y_n составляют конечные продукты P₁, P₂,…, P_n, т. е. та часть валовой (или суммарной) продукции, которая в будущем пойдет на личное потребление, а также на производственное потребление за пределами изучаемой экономической системы (в других отраслях, регионах, странах).

Технологические коэффициенты а_ij считаем известными. А именно предполагаем, что они имеют те же значения, что и в отчетном периоде.

Если  в системе (4) задать любые n из 2n неизвестных, то получим систему n линейных уравнений относительно оставшихся n = 2n - n неизвестных.

В связи  с этим возникают следующие три основные задачи:

 

1. По данному вектору-столбцу X,  который  будем  называть вектором-столбцом объемов производства, найти вектор-столбец конечной продукции Y.
2. Обратная задача: по заданному вектору Y  найти вектор X.
3. Смешанная  задача:   зная   значения   части   X_i  и   Y_j,   найти соответствующие Y_i и X_j.

Получения значений коэффициентов прямых внутрипроизводственных затрат

Технологические коэффициенты, или, как их еще называют, коэффициенты прямых внутрипроизводственных затрат а_ij показывают, какое количество продукта i-й отрасли надо затратить на производство единицы валового продукта j-й отрасли. Коэффициенты прямых затрат считаются постоянными величинами в статических межотраслевых моделях.

Прежде  всего возникает вопрос о том, каким образом можно получить значения коэффициентов а_ij.

Есть  два основных пути.

1. Статистический. Коэффициенты а_ij определяются на основе анализа отчетных балансов за прошлые годы. Неизменность во времени коэффициентов прямых затрат в этом случае достигается подходящим выбором отраслей межотраслевого баланса. Как показывает практика, при правильном выборе достаточно крупных отраслей коэффициенты а_ij оказываются достаточно устойчивыми.

где X_ij и X_j взяты из отчетного баланса.

2. Нормативный. Строится модель отрасли межотраслевого баланса. В этой модели отрасль рассматривается как совокупность отдельных производств, для каждого из которых уже разработаны нормативы затрат. Если заранее знать, какую продукцию будут выпускать производства отрасли, то по нормативам затрат можно рассчитать среднеотраслевые коэффициенты прямых затрат.

Определив коэффициенты а_ij, можно использовать систему (4) для решения сформулированных выше задач 1 – 3.

Технологические коэффициенты а_ij обладают следующими свойствами:

 

Пример. Используя отчетный баланс:

1. Найдите а_ij.
2. Постройте систему балансовых уравнений.
3. По вектору Y = (10, 20) найдите вектор X.
4. Найдите вектор Y , если X=(50,100).

 

	P1	P2	Σ	Y	X
P1	5	12	17	23	40
P2	6	12	18	32	50