Линейные балансовые модели в экономике

Зная эти  коэффициенты, можем вычислить суммарную  потребность в трудовых ресурсах при заданном объеме валового производства:

Валовое производство можно выразить через конечную продукцию  по формуле

Воспользуемся этой формулой и запишем предыдущее соотношение так:

Величина  показывает, какое количество трудовых ресурсов i-й отрасли необходимо для того, чтобы обеспечить i-й продукцией выпуск единицы j-го конечного продукта. Суммируя по всем отраслям, получаем

или в векторной форме:

Т=В^Tt.

Т_j - коэффициент полных затрат труда (полная трудоемкость). Он показывает, какое количество трудовых ресурсов всех отраслей необходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

Таким образом, суммарная потребность в трудовых ресурсах может быть вычислена двумя  способами:

                                         (1)

Аналогично  определяются коэффициенты прямой и  полной фондоемкости. Пусть F_i - среднегодовое количество используемых основных фондов. Тогда коэффициент прямой фондоемкости

Коэффициент полной фондоемкости

То же в векторной форме:

Ф = В^Tt.

Коэффициент Ф_j показывает, какое количество основных фондов всех отраслей необходимо для производства единицы j-го конечного продукта.

По аналогии с (1) суммарная потребность в основных фондах вычисляется так:

Коэффициенты  полной трудоемкости и фондоемкости можно подобно коэффициентам  полных материальных затрат рассматривать как сумму прямой и косвенной составляющих. Например, для полной фондоемкости:

Ф=(Е+А+А²+...+А^к+...)^Т,  f=f+(А+А²+...+А^k+...)^Тf.

Косвенная составляющая полной фондоемкости (так же, как  и полной трудоемкости) сравнительно невелика в сырьевых отраслях и возрастает в "завершающих" отраслях до 90¸95%.

 

Пример. Вычислить общую потребность в трудовых ресурсах, если известны коэффициенты прямых материальных затрат, коэффициенты прямых затрат труда и задан вектор конечного продукта:

Для решения  этой задачи нужно воспользоваться  формулой

Как видим, возможны два способа: 1) вычислить Х = ВY, а затем применить формулу L=(t,x); 2) вычислить коэффициенты полных затрат труда Т =B^Tt и далее L=(Т,Y). Но в обоих случаях необходимо сначала вычислить

матрицу В.

Первый способ:

Второй способ:

 Важнейшую  часть национального богатства  составляют  основные производственные  фонды, представляющие собой материально-техническую  базу народного хозяйства. Основные производственные фонды – это средства труда, функционирующие во всех отраслях материального производства. К основным производственным фондам относят только продукты общественного труда, начавшие функционирование в производстве.

Основные производственные фонды весьма различны по своему вещественно-материальному составу и назначению. Одни создают условия для осуществления производственного процесса, другие выполняют транспортные функции, при помощи третьих осуществляется производственный процесс и т.д. В настоящее время в практике нашей статистики принята следующая единая типовая классификация основных производственных фондов по всему народному хозяйству.

• Здания.
• Сооружения.
• Передаточные устройства.
• Машины и оборудование, в том числе: силовые машины и оборудование, из них автоматические, рабочие машины и оборудование, из них автоматические, измерительные и регулирующие приборы и устройства и лабораторное оборудование, из них автоматические, вычислительная техника, в том числе автоматическая, прочие машины, из них автоматические.
• Транспортные средства.
• Инструменты.
• Производственный инвентарь и принадлежности.
• Хозяйственный инвентарь.
• Рабочий и продуктивный скот.
• Многолетние насаждения
• Капитальные затраты по улучшению земель.
• Прочие основные фонды.

По отдельным  отраслям материального производства эта типовая классификация конкретизируется с учетом особенностей отрасли.

Основные фонды  занимают, как правило, основной удельный вес в общей сумме основного  капитала предприятия. От их количества, стоимости, технического уровня, эффективности  использования во многом зависят конечные результаты деятельности предприятия: выпуск продукции, ее себестоимость, прибыль, рентабельность, устойчивость финансового состояния.

Для обобщающей характеристики эффективности использования  основных средств служат показатели рентабельности (отношение прибыли к среднегодовой стоимости основных производственных фондов), фондоотдачи (отношение стоимости произведенной или реализованной продукции после вычета НДС, акцизов к среднегодовой стоимости основных производственных фондов), фондоемкости (обратный показатель фондоотдачи), удельных капитальных вложений на один рубль прироста продукции

Динамическая модель межотраслевого баланса. Открытая и замкнутая динамические модели. Сбалансированная траектория развития экономики в линейной модели с продуктивной матрицей коэффициентов прямых материальных затрат.

 

Следующим представителем класса линейных моделей экономики  является модель, построенная в середине 1930-х годов австрийским математиком  Джоном фон Нейманом. По сравнению  с моделью Леонтьева, которую можно использовать для планирования производства на одном плановом периоде в целом (год, пятилетка и т.д.), модель Неймана отслеживает производственный процесс внутри планового периода, т.е. затраты и выпуск, осуществляемые в каждый период времени (от квартала в квартал, от года в год и т.д.). Поэтому она обобщает модель Леонтьева в двух аспектах: в динамическом плане и в плане многопродуктовых отраслей. В модели Неймана предполагается, что экономика функционирует эффективным образом сколь угодно долго. Логическим следствием такой предпосылки является рост производственных возможностей во времени с нарастающими темпами. Поэтому модель Неймана описывает "расширяющуюся" экономику.

Для вывода этой схемы рассмотрим функционирование экономики на некотором конечном периоде времени [0,T] . Отрезок [0,T] разобьем точками , k=0,1,...,T, так, чтобы получилась возрастающая последовательность моментов времени

Тогда получаем последовательность полуинтервалов длины , покрывающих весь отрезок [0,T] . Момент будем трактовать как начальный момент планирования производства товаров, а момент - как плановый горизонт. В дальнейшем во всех отношениях удобно полагать и трактовать моменты как годы. При этих обозначениях мы будем писать .

В этом параграфе, как и в модели Леонтьева, будем  предполагать, что экономика состоит  из n чистых отраслей с постоянными технологиями, описываемыми матрицей A. Планирование опять будем понимать по схеме затраты-выпуск при известном спросе на товары, но теперь уже с учетом фактора времени.

Под планом производства на отрезке времени [0,T] будем понимать совокупность

Здесь каждая строка соответствует плану  в год t ; - вектор запасов товаров, - вектор валового выпуска. Каждая компонента считается максимально возможным при существующих основных фондах выпуском отрасли j. Валовый выпуск отрасли может быть увеличен путем дополнительных вложений, и этот показатель также включается в план. Вектор обозначает планируемое в год t увеличение (приращение) валового выпуска. Наконец, число l^t показывает общее количество нанятых во всех отраслях рабочих в год t.

Труд, как вид  товара, не рассматривался в исходной модели Леонтьева. Особенность данного  товара заключается в том, что  он, во-первых, являясь воспроизводимым  ресурсом, в то же время не является продуктом какой-либо отрасли, во-вторых, как фактор в производственном процессе, занимает промежуточное положение между материальными ресурсами и готовой продукцией. Никакое производство не может обходиться без трудовых затрат. Единицей ее измерения является рабочая сила. Необходимое для отрасли количество рабочей силы определяется трудовыми затратами, вложенными в выпуск одной единицы продукции. Данный параметр для отрасли j обозначим . Тогда число рабочих в отрасли j в год t равно . Вектор называется вектором трудовых затрат.

Обозначим через  , j=1,...,n, объемы материальных затрат, необходимых для приращения на одну единицу выпуска товара i. Тогда материальные затраты на одновременное приращение выпусков всех отраслей на величины будут исчисляться как , где - технологическая матрица приращения производства.

Наглядную картину  межотраслевых связей во времени при плане производства , плане конечного потребления на одного работающего на весь плановый период и при постоянных технологиях производства и его приращения показывает схема динамического межотраслевого баланса (рис. 6.2). Эта схема составляется для каждого года , причем при есть валовый выпуск отрасли j к началу планового периода.

Балансовый  характер этой схемы заключается  в том, что ее элементы должны удовлетворять следующим (балансовым) соотношениям:

Здесь - производственные затраты, - дополнительные затраты, соответствующие приращению производства на вектор , а - конечное потребление в год t. Поэтому условие (6.3.1) требует, чтобы весь годичный запас товаров покрывал все годичные затраты ежегодно. Неравенство (6.3.2) задает условие на необходимый объем трудовых ресурсов, неравенство (6.3.3) говорит о том, что запасы на данный год не могут превышать результатов производства предыдущего года, и, наконец, уравнение (6.3.4) описывает динамику роста валового выпуска из года в год.

Если сравнить систему (6.3.1)-(6.3.5) с моделью Леонтьева (6.2.1), то можно заметить, что последняя получается из (6.3.1) при отсутствии приращения производства, т.е. когда . Дополнительные условия (6.3.2)-(6.3.4) вызваны необходимостью учета трудовых ресурсов и динамического характера развития производства. Как и модель Леонтьева, данная схема может быть обобщена и детализирована по ряду параметров. В приведенном здесь виде наиболее нереальным является условие (6.3.4), которое предполагает (при ) получение результатов от затрат, осуществляемых в начале периода , уже к концу этого периода. Условие (6.3.4) можно переписать так:

В этом равенстве  последнее слагаемое имеет смысл  приращения производства за первые t лет по сравнению с начальным объемом выпуска. Доля такого приращения, приходящаяся на одну единицу начального валового выпуска, есть

 

Введем величину . Тогда уравнение (6.3.4) можно написать в виде

Представление динамики производства в подобном виде будет использовано нами в следующем  параграфе. Здесь заметим только, что более адекватным описанием динамики производства, чем (6.3.4), представляется равенство

где - отнесенный к моменту t временной лаг, ( ).

Обозначим и составим матрицы

с помощью которых  систему (6.3.1)-(6.3.5) перепишем в виде

В математической экономике магистралью называется траектория экономического роста, на которой пропорции производственных показателей (такие как темп роста производства, темп снижения цен) неизменны, а сами показатели (такие как интенсивность производства, валовый выпуск) растут с постоянным максимально возможным темпом. Таким образом, магистраль - это траектория или луч максимального сбалансированного роста. Ее часто сравнивают со скоростной автострадой. Так, например, для того чтобы добраться из Кемерово в Киселевск как можно быстрее, наиболее целесообразно сначала проехать по автостраде Кемерово-Новокузнецк, а затем уже съехать на ответвляющуюся от нее дорогу в районе Киселевска. Так мы потеряем на дорогу меньше времени и доедем до конечного пункта с большим комфортом, чем если бы мы ехали по обычному шоссе через Ленинск-Кузнецкий и Белово.

Поскольку "оптимальное" или "эффективное" развитие экономики  в любом смысле так или иначе  связано и должно сопровождаться экономическим ростом, то для достижения любой конечной цели следует поступать аналогичным образом: сначала вывести производство на магистральный путь, т.е. на траекторию (или луч) Неймана, характеризующуюся максимальным темпом роста и минимальной нормой процента (см. (6.4.14)), а по истечении определенного срока времени вывести ее к задуманной цели. Такими целями могут быть максимизация прибыли, минимизация затрат, максимизация полезности от потребления товаров, достижение конкурентного равновесия при наиболее благоприятных условиях, т.е. на более высоком уровне благосостояния населения, и т.д.

Итак, с одной  стороны мы имеем магистральные  модели, а с другой - оптимизационные или еще шире – нормативные модели экономики. Изучение этих двух моделей во взаимосвязи, т.е. изучение связи между магистральными и оптимальными (в том или ином смысле) траекториями и является предметом магистральной теории. Можно говорить, что магистральная теория является одним из средств качественного анализа оптимальных траекторий. Основной целью этой теории является исследование условий так называемых "слабой" и "сильной" теорем о магистралях. Слабая теорема утверждает, что за исключением некоторого малого периода (или некоторого числа дискретных моментов из ), не зависящего от продолжительности T планового периода, все оптимальные траектории сосредотачиваются в относительной близости к магистральной траектории. Сильная теорема говорит о том, что те небольшие промежутки времени , на которых оптимальные траектории удалены от магистральной, если они существуют, то разве лишь в начале периода , т.е. , или в конце периода , т.е. ; а в середине периода оптимальные траектории расположены в относительной близости к магистральной.