Математическое моделирование в менеджменте

- норма содержания  питательного вещества в единице

  вида корма

- количество  вида корма в рационе

Задача представляется так:

Найти такое количество кормов, при котором достигается минимум затрат на корма: (1.1)

при условиях, что каждое питательное  вещество содержится в рационе в  необходимом количестве (1.2)

количество кормов расходуется  согласно имеющимся запасам  (1.3)

Мы получим задачу линейного  программирования, которая решается определенными методами.

3. Задание № 83: Двойственные оценки линейного программирования их смысл и назначение.

Теория двойственности представляет собой весьма важное, как с чисто теоретической, так и с практической точки зрения, направление математического программирования. Основной идеей теории двойственности является то, что для каждой задачи линейного программирования (ЛП) существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с решением прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения задач ЛП и проверке оптимальности допустимого решения.  
Рассмотрим задачу: найти min f(x), x Є Rⁿ (1)  при ограничениях g_j( x)≤ 0, j = 1, m; m<n.

Эту задачу называют прямой. Существует связанная с ней задача максимизации, называемая  двойственной:L( x,λ) = max, (2) где  L(x,λ) – функция Лагранжа.  
Понятие двойственности устанавливает определенные отношения между решениями прямой и двойственной задач.

Определение. Две экстремальные задачи называются эквивалентными, если множества их решения совпадают, либо обе задачи не имеют решений.

Теория двойственности представляет собой фундаментальное понятие в математическом программировании, имеющее теоретическое и практическое значение.  
Основная идея теории двойственности: для каждой задачи ЛП существует некоторая задача ЛП, решение которой тесно связано с прямой. Между решениями прямой и двойственной задач имеется ряд важных соотношений, полезных при исследовании общих свойств оптимального решения ЗЛП и проверке оптимальности допустимого решения.

Двойственная задача к ЗЛП в стандартной форме: рассмотрим ЗЛП (в стандартной форме)

min Z = C*X,

A*X = B,

X ≥ 0

(П) Прямая задача.

Каждому i–му (i = 1,m) ограничению поставим в соответствие переменное u_i, положительное, отрицательное или нуль (называемое двойственным переменным), и рассмотрим

 max W = U*B

U* A^T ≤ C, A^T*U ≤ C

(Д) Двойственная  задача

где U есть, так  называемый, вектор–строка (u₁, u₂, …, u_m).  
Линейная задача (Д) тесно связана с линейной задачей (П): 

- матрица ограничений  (Д) есть транспонированная матрица  задачи (П);

- вектор "цен"  для задачи (П) есть вектор правых частей ограничений задачи (Д) и наоборот.  
Данная таблица соответствий между прямой и двойственной задачами позволяет  записать непосредственно двойственную задачу для любой линейной задачи.

Таблица

Прямая	Двойственная
Целевая функция (min)	Правая часть ограничений
Правая часть ограничений	Целевая функция (max)
A – матрица ограничений	AT – матрица ограничений
i–ое ограничение: ≥ 0, (≤0)	Переменная ui ≥ 0, (≤0)
i–ое ограничение: = 0	Переменная ui ≠ 0
Переменная x ≥ 0	j–ое ограничение: ≤ 0
Переменная x ≠ 0	j–ое ограничение: = 0

2. Решить задачу по заданным параметрам.

Целевая функция   max   

Система ограничений:

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого найдем точки и построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

(1)     =>  при     

                                                                          точки (1) прямой (-5; 5)

(2) =>  при    

                                                                        точки (2) прямой (-41; 8,2)                           

(3) =>  при      

                                                              точки (3) прямой (29; 15,4)

(4)  =>  при     

                                                          точки (4) прямой (-31,5; 12,6)

(5)  =>  при     

                                                                 точки (5) прямой (8; -3,2)

Область допустимых решений  представляет собой многоугольник. Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи. Обозначим границы области многоугольника решений.

Рассмотрим целевую функцию  задачи Z = 3x₁+x₂ → max.  
Построим прямую, отвечающую значению функции Z= 0: Z = 3x₁+x₂ = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Прямая Z(x) = const пересекает область в точке E. Так как точка E получена в результате пересечения прямых (3) и (4), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:

Решив систему уравнений, получим: x1 =15.129, x2 =6.3226 
Откуда найдем максимальное значение целевой функции: 
Z(X) = 3*15.129 + 1*6.3226 = 51.71

 

3. Экономико-математическая модель кормления.

Живая масса - 500 кг, удой – 10 кг. Корма: мука ячменная, дерть овсяная, комбикорм, шрот льняной, сено лесное, сено клеверное, солома ячменная, силос злаковый разнотравный, силос подсолнечный, картофель, кормовая свекла,  куузику,  карбамид. От общего количества кормовых единиц концентрированные корма могут составлять не менее 8 и не более 28%, грубые от 10 до 30%, силос от 18 до 36%, корнеклубнеплоды от 3 до 14%. Удельный вес шрота льняного может составлять не более 20% от всех концентрированных кормов, соломы в грубых не более 33,3%, силоса подсолнечного не менее 25% всех корнеклубнеплодов (по массе), карбамида не более 20% потребности в перевариваемом рационе.

Потребность в питательных веществах приведена в таблице 1.

Таблица 1. Нормы кормления дойной коровы.

Живая масса, кг	Суточный удой, кг	Рацион должен содержать  не менее
		корм. ед., кг	перевариваемого протеина, г	каротина, млг
500	10	9,6	1020	420

Справочные данные по характеристике кормов имеются в Таблице 2.

Таблица 2. Питательная ценность и  цена кормов.

	Наименование корма	Содержится в 1 кг корма				Стоимость 1 кг корма, усл.ед.
		Корм. ед., кг	Перевар. протеина, г	Каротина, мл
Концентрированные корма
1	Мука ячменная	1,17	96		0	9,00
2	Дерть овсяная	0,94	104		1	7,50
3	Комбикорм	0.90	160		2	5.20
4	Шрот льняной	1,02	286		0	6,15
Грубые корма
5	Сено клеверное	0,52	79		25	0,40
6	Сено лесное	0,46	34		10	0,24
7	Солома ячменная	0,36	12		4	0,18
Силос
8	Силос подсолнечноковый	0.16	15		15	2.00
9	Разнотравный	0,13	15		10	1,90
Корнеклубнеплоды
10	Кормовая свёкла	0,12	9		0	2.86
11	Картофель	0.30	16		0	6.00
12	Куузику	0,11	9		0	3,10
Прочие корма
13	Карбамид	-	2600		-	6,62

 

Определим перечень переменных и ограничений. Основными переменными в данной модели будет искомое количество кормов, которое может войти в суточный рацион.

 Перечень переменных представим в таблице 3:

таблица 3

Наименование кормов	Переменная, обозначающая корм
Мука ячменная	Х1
Дерть овсяная	Х2
Комбикорм	Х3
Шрот льняной	Х4
Сено клеверное	Х5
Сено лесное	Х6
Солома ячменная	Х7
Силос подсолнечный	Х8
Разнотравный	Х9
Кормовая свекла	Х10
Картофель	Х11
Куузику	Х12
Карбамид	Х13

Функция цели – минимум стоимости  рациона:

                                                                Ограничения:

таблица 4

Наименование групп кормов в  составе рациона и отдельных  кормов в составе, грамм	Не менее в % к общей питательности	Не более в % к общей питательности	Не менее, кг.	Не более, кг.
Концентрированные	8	28	-	-
Грубые	10	30	-	-
Силос	18	36	-	-
Корнеклубнеплоды	3	14	-	-
Шрота льняного – не более 20% от всех концентрированных кормов
Соломы в грубых кормах – не более 33,3 %
Силоса – не менее 25 % всех корнеклубнеплодов
Карбамида – не более 20% потребности  в перевариваемом протеине

Составим каноническую модель по ограничениям, представленным в таблицах с вводом дополнительных переменных:

1. 1,17Х1+0,94Х2+0,9Х3+1,02Х4+0,52Х5+0,46Х6+0,36Х7+0,16Х8+0,13Х9+0,12Х10+

      +0,3Х11+0,11Х12 - Х14=9,6

2. 96Х1+104Х2+160Х3+286Х4+79Х5+34Х6+12Х7+15Х8+15Х9+9Х10+16Х11+9Х12+ +2600Х13 –Х15=1020
3. Х2+2Х3+25Х5+10Х6+4Х7+15Х8+10Х9 –Х16=420
4. Х1+Х2+Х3+Х4 –Х17=8
5. Х1+Х2+Х3+Х4 +Х18=28
6. Х5+Х6+Х7 –Х19=10
7. Х5+Х6+Х7 +Х20=30
8. Х8+Х9 –Х21=18
9. Х8+Х9+Х22=36
10. Х10+Х11+Х12 –Х23=3
11. Х10+Х11+Х12 +Х24=10
12. -0,2Х1-0,2Х2-0,2Х3+0,8Х4+Х25=0
13. -0,333Х5-0,333Х6+0,667Х7+Х26=0
14. 0,2Х10+0,25Х11+0,25Х12-8Х8+Х27=0
15. -19,2Х1-20,8Х2-32Х3-57,2Х4-15,8Х5-6,8Х6-2,4Х7-3Х8-3Х9-1,8Х10-3,2Х11-1,8Х12+

+2080Х13+Х28=0

Таким образом, мы построили экономико-математическую модель задачи оптимизации рациона кормления коровы. Данную задачу я разрешу при помощи пакета MicroSoft – Office 2003, в который входит пакет с электронной таблицей MicroSoft Excel, в распоряжении которого имеется мощное средство поиска решений задач такого типа. Данные, полученные по результатам решения, удовлетворяют своей точностью и аналитическими свойствами. Можно также производить необходимую корректировку введенных данных, с  автоматическим подсчетом конечного результата.

Анализ результатов решения задачи

Результаты расчетов, полученные с помощью программы Microsoft Excel представлены в таблице:

Таблица 5. Оптимальный кормовой рацион

Переменные	Вид кормов	Количество кормов в  рационе, кг	Содержание  питательных веществ в кормах			Стоимость рациона, руб.
			Кормо-вых единиц	Перева-римого протеи-на, г	Каротина, мг
Х1	Мука ячменная	2,57	3,01	246,72	-	23,13
Х3	Комбикорм	0,76	0,68	121,6	1,52	3,95
Х4	Шрот льняной	0,67	0,68	191,62	-	4,12
Х5	Сено клеверное	6,37	3,31	503,23	159,25	2,55
Х6	Сено лесное	11,05	5,08	197,54	110,5	2,65
Х7	Солома ячменная	5,81	2,09	69,72	23,24	1,05
Х8	Силос подсолнечноковый	7,5	1,2	112,5	112,5	15,00
Х9	Силос разнотравный	5	0,65	75	50	9,50
	Итого	39,73	16,7	1517,93	455,49	61,95