Модель множественной линейной регрессии, оценка ее параметров и качества

Порядок оценки значимости коэффициентов регрессии следующий. Вычисляются наблюдаемые значения критериев . По таблице распределения Стьюдента по заданному уровню значимости и числу степеней свободы  находят критическое значение. Вычисленные значения критериев    сравниваются с критическим значением .

Если > , то приминается гипотеза о том, что соответствующий коэффициент уравнения значим. Если > , то гипотеза отклоняется, следовательно соответствующий коэффициент уравнения незначим и его можно исключить.

В эконометрике проверку гипотезы осуществляют при 5%-м или реже 1%-м уровне значимости.[6, c. 25]

Также оценку параметров можно производить по P-value. Если P-value меньше α,  то коэффициент является значимым на уровне α. Никаких таблиц для P-value  не нужно,  достаточно сравнить P-value со стандартными уровнями 0,05  и 0,01.  Чем меньше P-value,  тем лучше.

Практическая значимость уравнения множественной регрессии оценивается с помощью показателя множественной корреляции и его квадрата – коэффициента детерминации. Показатель множественной корреляции характеризует тесноту связи рассматриваемого набора факторов с исследуемым признаком или, иначе, оценивает тесноту совместного влияния факторов на результат. Независимо от формы связи показатель множественной корреляции может быть найден как индекс множественной корреляции:

 

,

(9)

 

где – общая дисперсия результативного признака,

 – остаточная дисперсия.

Границы изменения индекса множественной корреляции от 0 до 1. Чем ближе его значение к 1, тем теснее связь результативного признака со всем набором исследуемых факторов. Величина индекса множественной корреляции должна быть больше или равна максимальному парному индексу корреляции.

 

i =.

(10)

 

 При правильном включении факторов в регрессионную модель величина индекса множественной корреляции будет существенно отличаться от индекса корреляции парной зависимости. Если же дополнительно включенные в уравнение множественной регрессии факторы третьестепенны, то индекс множественной корреляции может практически совпадать с индексом парной корреляции (различия в третьем, четвертом знаках). Отсюда ясно, что сравнивая индексы множественной и парной корреляции, можно сделать вывод о целесообразности включения в уравнение регрессии того или иного фактора.

Расчет индекса множественной корреляции предполагает определение уравнения множественной регрессии и на его основе остаточной дисперсии:

 

.

(11)

 

Можно пользоваться следующей формулой индекса множественной детерминации:

 

.

(12)

 

Формула индекса множественной корреляции для линейной регрессии получила название линейного коэффициента множественной корреляции, или, что то же самое, совокупного коэффициента корреляции. Возможно также при линейной зависимости определение совокупного коэффициента корреляции через матрицу парных коэффициентов корреляции:

 

,

(13)

 

где – определитель матрицы парных коэффициентов корреляции,

       – определитель матрицы межфакторной корреляции.

Как видно, величина множественного коэффициента корреляции зависит не только от корреляции результата с каждым из факторов, но и от межфакторной корреляции. Рассмотренная формула позволяет определять совокупный коэффициент корреляции, не обращаясь при этом к уравнению множественной регрессии, а используя лишь парные коэффициенты корреляции. [2, c. 55]

Значимость уравнения множественной регрессии в целом, оценивается с помощью -критерия Фишера:

 

,

(14)

 

где – факторная сумма квадратов на одну степень свободы,

      – остаточная сумма квадратов на одну степень свободы,

      – коэффициент (индекс) множественной детерминации,

       k – число параметров при переменных (в линейной регрессии совпадает с числом включенных в модель факторов),

       – число наблюдений.

Фактическое значение частного -критерия сравнивается с табличным при уровне значимости и числе степеней свободы: k1 = n и k2 = n – m - 1. Если фактическое значение F превышает , то R2 статистически значим, уравнение адекватно. Если же фактическое значение F меньше табличного, то в этом случае R2 статистически незначим, модель не адекватна, ее нельзя использовать для прогноза.

Статистическая значимость коэффициентов множественной регрессии и близкое к единице значение коэффициента детерминации R2 не гарантируют высокое качество уравнения множественной регрессии. Поэтому следующим этапом проверки качества уравнения множественной регрессии является проверка выполнимости предпосылок МНК.

При статистическом анализе уравнения регрессии на начальном этапе часто проверяют выполнимость одной предпосылки: условия статистической независимости отклонений между собой. При этом проверяется некоррелированность соседних величин ei, i =.

Для анализа коррелированности отклонений используют статистику Дарбина-Уотсона:

 

.

(15)

 

Критические значения d1 и d2 определяются на основе специальных таблиц для требуемого уровня значимости α, числа наблюдений n и количества объясняющих переменных k.

Выдвигается гипотеза H0 об остуствии автокорреляции в остатках.

 

 

 

 

 

 

Рисунок 1 – Интерпретация статистики Дарбина-Уотсона

Примечание – Источник: [5, с. 167].

 

Еще один показатель качества модели - средняя ошибка аппроксимации – среднее отклонение расчетных значений от фактических:

 

.

(16)

 

Допустимый предел значений A – не более 10%. [7, с. 11]

Одной из важнейших целей построения эконометрической модели является прогнозирование поведения исследуемого процесса или объекта. Если фактор времени в модели отсутствует, то прогнозирование величины исследуемой переменной (вычисление yпр) производится при некотором наборе значений факторных переменных. Эти значения факторов (xпр1, xпр2, … , xпрk) должны быть заданы исследователем или вычислены с помощью других моделей.

Точечный прогноз осуществляется подстановкой прогнозного набора факторных переменных в уравнение регрессии:

 

.

(17)

 

Интервальный прогноз.

Для нахождения размаха доверительного интервала необходимо вычислить матрицу V:

 

.

(18)

 
где Х – матрица, составленная из значений факторных переменных, имевших место в рядах наблюдений,

      Xпр - матрица, составленная из прогнозируемых значений факторных переменных.

Размерность матрицы V равна (k x k), то есть зависит от числа прогнозируемых наборов факторных переменных. Размах прогнозного интервала для i-го набора факторных переменных равен:

 

,	(19)
,	(20)
.	(21)

 

где - стандартная ошибка прогноза,

        - критическое значение t-статистики Стьюдента для степеней свободы n и  n-k-1 и вероятности α.

Тогда фактические значения исследуемой величины y для i-го набора значений факторных переменных с вероятностью (1-α) попадают в интервал [8, c. 144]:

 

.

(22)

 

Таким образом, модели множественной линейной регрессии являются наиболее изученными и часто используемыми в эконометрике. Они позволяют изучить влияние нескольких факторов на результат как в совокупности, так и каждого в отдельности, прогнозировать значение эндогенной переменной.

2 Характеристика предприятия и его технико-экономическая деятельность

 

Строительство завода было начато в 1958 году. Основными критериями в выборе строительной площадки были: выгодное географическое положение - близость западных границ (что давало возможность экспорта в страны Западной Европы); необходимость обеспечения нефтепродуктами западных регионов Советского Союза, а так же соседство города Полоцка - крупного транспортного узла.

9 февраля 1963 года был получен  первый белорусский бензин.

В соответствии с приказом Министерства экономики Республики Беларусь от 28 августа 2002 года №118 Республиканское унитарное предприятие Новополоцкое производственное объединение "Нафтан" было преобразовано в открытое акционерное общество "Нафтан".

ОАО «Нафтан» и ОАО «Лукойл» в 2006 году организовали совместное предприятие по производству присадок к маслам ОАО «ЛЛК-Нафтан».

9 октября 2008 г. на основании решения внеочередного общего собрания акционеров с 1 декабря 2008 г. открытое акционерное общество «Нафтан» было реорганизовано путем присоединения ОАО «Полимир» [9].   Организационно-правовая форма предприятия - открытое акционерное общество, с долей государства в уставном фонде - 99,7958%, прочих участников (трудовой коллектив) -  0,2042 %.

Уполномоченным собственником органом, осуществляющим владельческий надзор за акциями государства в уставном фонде ОАО «Нафтан», является Белорусский государственный концерн по нефти и химии (концерн «Белнефтехим»).

Общество осуществляет свою деятельность в соответствии с законодательством, решениями Президента РБ, Правительства РБ, концерна «Белнефтехим» и Устава.

Общество является коммерческой организацией - юридическим лицом, имеет самостоятельный баланс, печать, штампы, бланки со своим наименованием, товарный знак (знак обслуживания), расчетный и иные счета в учреждениях банков.

ОАО "Нафтан" создано с целью осуществления хозяйственной деятельности, направленной на извлечение прибыли для удовлетворения интересов собственников имущества (акционеров) Общества, социальных и экономических интересов работников Общества.

Предметом деятельности Общества является производство продукции (нефтепродуктов, химической продукции и др.), выполнение работ, оказание услуг (переработка нефти и др.).

Согласно Уставу Общество осуществляет 180 видов деятельности. На 17 видов деятельности Общество имеет соответствующие специальные разрешения (лицензии).

Последние 8 лет предприятие на 50-85% работает по «давальческой схеме»: перерабатывает полученное от «давальцев» сырье, возвращая им нефтепродукты. С 1997 года ОАО «Нафтан» возобновило закупку собственного нефтяного сырья.

Основными энергоресурсами, потребляемыми ОАО «Нафтан», являются пар и электроэнергия, получаемые с Новополоцкой ТЭЦ, а также от собственной газотурбинной установки когенерации энергии. Кроме того, предприятием за счет использования вторичных энергоресурсов вырабатывается водяной пар для обеспечения технологических нужд.

ОАО «Нафтан» выходит на рынки нефтепродуктов по таким направлениям как прямогонные бензины, автомобильные топлива, масла смазочные и их основы, ароматические углеводороды, гач, нефтебитумы.

Гибкая и высокотехнологичная структура предприятия позволяет выпускать широкий ассортимент продукции, включающий в себя:

1. Топлива:

• автомобильные бензины различных марок;

• дизельные топлива различных марок, в том числе дизтопливо, как компонент для производства биодизельного топлива;
• топливо для реактивных двигателей РТ;
• топлива печные бытовые и технологические;
• керосин осветительный;

2. Продукция для химической промышленности:

• бензол;
• толуол;
• ортоксилол нефтяной;
• параксилол нефтяной;
• нефтяные растворители;
• бензин-сырье пиролиза (прямогонный бензин).