Оценка эффективности деятельности станции технического обслуживания

Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния можно заранее перечислить, а переход системы из состояния в состояние происходит мгновенно (скачком). Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов системы из состояния в состояние не фиксированы заранее, а случайны.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-либо событий.

Математический анализ работы СМО существенно упрощается, если процесс этой работы – марковский. Случайный процесс называется марковским или случайным процессом без последствия, если для любого момента времени t₀ вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t₀ и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние [6].

Под потоком событий понимается последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени.

Поток событий характеризуется интенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени.

Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени.

Поток событий называется потоком без последствия, если для любых двух непересекающихся участков времени τ₁ и τ₂ число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на малый участок времени Δt двух и более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события, то есть если события появляются поодиночке, а не группами.

Поток событий называется простейшим или стационарным пуассоновским, если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствия. Для простейшего потока число m событий, попадающих на произвольный участок времени τ, распределено по закону Пуассона

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:

Вероятность того, что  на участке t не появится ни одного из последующих событий (интервал между произвольными двумя соседними событиями равен Т), равна

а вероятность противоположного события, то есть функция распределения случайной величины Т, есть

 (1.3.1)

Плотность вероятности  случайной величины – производная  ее функции распределения, то есть

 (1.3.2)

Распределение, задаваемое плотностью вероятности (1.3.2) или функцией распределения (1.3.1), называется показательным или экспоненциальным. Для него математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению случайной величины и обратно по величине интенсивности потока λ: .

Важнейшее свойство показательного распределения состоит в следующем: если промежуток времени, распределенный по показательному закону, уже длился некоторое время τ, то это никак не влияет на закон распределения оставшейся части промежутка (Т– τ): он будет таким же, как и закон распределения всего промежутка Т.

 

 

1.4 Основные обозначения и показатели. Общая модель СМО

На рис. 5 схематически представлена система обслуживания пуассоновского типа, в которой параллельно  функционируют с идентичных сервисов. Ожидающий клиент выбирается из очереди для обслуживания на первом свободном сервисе. Интенсивность поступления клиентов в систему равна λ клиентов в единицу времени. Все параллельные сервисы являются идентичными; это означает, что интенсивность обслуживания каждого сервиса равна μ клиентов в единицу времени. Число клиентов, находящихся в системе обслуживания, включает тех, кто уже обслуживается, и тех, кто находится в очереди.

Рис.5. Система обслуживания с несколькими сервисами

 

Вводятся следующие  понятия, общие для всех моделей:

n – число клиентов в системе обслуживания;

λ_n – интенсивность поступления в систему клиентов при условии, что в системе уже находится n клиентов;

μ_n –  интенсивность выходного потока обслуженных клиентов при условии, что в системе находится n клиентов;

p_n – вероятность того, что в системе находится n клиентов;

p_отк – вероятность отказа, то есть того, что заявка покинет систему необслужденной;

N – емкость системы.

Основными функциональными характеристиками СМО являются следующие:

L_s – среднее число находящихся в системе клиентов;

L_q – среднее число клиентов в очереди;

W_s – средняя продолжительность пребывания клиента в системе;

W_q – средняя продолжительность пребывания клиента в очереди;

 – среднее количество занятых средств обслуживания (сервисов);

A – абсолютная пропускная способность, то есть среднее число заявок, обслуживаемых системой за единицу времени;

Q – относительная пропускная способность, то есть средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой за единицу времени.

Величины L_s и L_q находятся по формулам

 (1.4.1)

 (1.4.2)

где - эффективная интенсивность поступления клиентов в систему обслуживания, которая при условии

  (1.4.3)

находится по формуле:

 (1.4.4)

 (1.4.5)

- интенсивность ухода клиентов  из системы обслуживания.

Величины W_s и W_q связаны соотношением

 (1.4.6)

Также

 (1.4.7)

 (1.4.8)

 (1.4.9)

При рассмотрении общих  систем массового обслуживания предполагается, что система функционирует в течение достаточно большого интервала времени, по истечении которого в ее работе наступает стационарный режим. Этот режим функционирования обслуживающей системы противопоставляется переходному (или неустановившемуся) режиму, который превалирует в самый начальный период функционирования системы.

Предполагается, что и интенсивность поступления клиентов, и интенсивность выходного потока зависят от состояния системы, что означает их зависимость от числа клиентов в системе обслуживания.

В общей модели системы массового обслуживания устанавливается функциональная зависимость вероятностей p_n от λ_n и μ_n. Эти вероятности используются затем для определения функциональных характеристик обслуживающей системы, таких как средняя длина очереди, среднее время ожидания и средний коэффициент использования сервисов.

Для определения вероятностей p_n строится диаграмма интенсивностей переходов (рис. 6). Обслуживающая система находится в состоянии n, если в ней имеется n клиентов. Вероятность появления более одного нового клиента на протяжении малого промежутка времени λ стремится к нулю при . Это означает, что при состояние n может быть изменено в двух возможных направлениях: , когда с интенсивностью μ_n обслуженный клиент выбывает из системы, и , когда клиенты поступают с интенсивностью λ_n. Из состояния 0 может перейти лишь в состояние 1, когда имеет место поступление клиента с интенсивностью λ₀. При этом μ₀ не определено, так как клиенты не могут выбывать из пустой системы обслуживания.

Рис. 6. Диаграмма интенсивностей переходов

 

На основе диаграммы  составляется система уравнений  Колмогорова, дающая решение

 (1.4.10)

 (1.4.11)

 

 

Глава 2. Модели системы массового обслуживания

2.1 Модель с отказом

Рассматривается многоканальная модель обслуживающей системы с k средствами обслуживания. Предполагается, что клиенты поступают с постоянной интенсивностью λ. Интенсивность обслуживания также постоянна и равна μ клиентов в единицу времени.

Эта система вмещает  не более k клиентов. Как только число клиентов в системе достигает k, ни один из дополнительных клиентов на обслуживание не принимается. Тогда

 (2.1.1)

 (2.1.2)

При

 (2.1.3)

 (2.1.4)

В этой модели значение параметра ρ может быть любым, так как поступления клиентов в систему контролируются максимальной емкостью системы k. Это значит, что в данном случае в качестве интенсивности поступления клиентов скорее выступает , нежели λ. Так как клиенты будут потеряны в том случае, если в системе находится k клиентов, и находятся по формулам (1.4.4) и (1.4.5). 

Вероятность отказа системы  – это предельная вероятность, что  все k каналов будут заняты:

 (2.1.5)

Абсолютная и относительная  пропускные способности высчитываются  по формулам (1.4.7) и (1.4.8), среднее число занятых каналов по формуле (1.4.9).

Так как в системе  отсутствует возможность создания очереди, то а Среднюю продолжительность пребывания заявки в системе можно найти по формуле (1.4.1).

 

2.2 Модели с ожиданием

В этом разделе рассматриваются две модели систем массового обслуживания с ограниченной очередью: одноканальная и многоканальная. Эти модели отличаются от предыдущей тем, что система вмещает не более чем N заявок, при этом , где k – количество средств обслуживания.

 

2.2.1 Одноканальная система

Эта модель предусматривает  работу с одним средством обслуживания. Интенсивность входного потока клиентов равна λ, а интенсивность обслуживания клиентов — μ. Как только число клиентов в системе достигает N, ни один из дополнительных клиентов на обслуживание не принимается. Тогда

 (2.2.1)

 (2.2.2)

При

 (2.2.3)

 (2.2.4)

В этой модели значение параметра ρ может быть произвольным, так как поступления клиентов в систему контролируются максимальной емкостью системы N. Как и в случае модели с отказом, это значит, что в качестве интенсивности поступления клиентов выступает , а не λ. Показатели эффективности L_s и L_q находятся по формулам

 (2.2.5)

 (2.2.6)

Из формул (1.4.1) и (1.4.2) следует, что

 (2.2.7)

 (2.2.8)

Абсолютная и относительная  пропускные способности и среднее  число занятых каналов находятся  по формулам из пункта 1.4.

 

2.2.2 Многоканальная система

В этой модели k каналов обслуживания, и емкость системы ограничена сверху значением N (тогда максимальная длина очереди равна ). Интенсивность поступления и обслуживания клиентов равны соответственно λ и μ. В силу ограниченной емкости системы ,

 (2.2.9)

 (2.2.10)

Предельные вероятности  и показатели эффективности находятся  по формулам

 (2.2.11)

 (2.2.12)

 (2.2.13)

 (2.2.14)

Остальные показатели определяются так же, как и в предыдущей модели.

 

2.3 Модель с гиперэкспоненциальным распределением выходного потока

В предыдущих моделях  предполагалось, что и входной  и выходной потоки являются марковскими. Если отказаться от этого условия, модель значительно усложняется, и в большинстве случаев может быть проанализирована только с помощью имитационного моделирования. Тем не менее, есть несколько важных частных случаев, для которых выводятся аналитические формулы.

Рассмотрим одноканальную систему M/H_R/1 с марковским распределением входящего потока и с гиперэкспоненциальным распределением выходящего потока порядка R. Это соответствует ситуации, когда входящая заявка попадает на один из параллельных сервисов с заданной вероятностью. При этом, пока обслуживание заявки не завершиться, новая заявка на обслуживание не попадет.   

Вводятся следующие  обозначения:

x – время обслуживания заявки;

p_i – возможность заявки попасть на i-й канал;

μ_i – интенсивность обслуживания i-го канала;

b(x) – плотность распределения времени обслуживания заявки;

 – среднее время обслуживания;

– дисперсия времени обслуживания;

– нормированная дисперсия времени  обслуживании;