Применение регрессионных моделей для предсказания объема реализации одного из продуктов фирмы

 

 

Рис. 2. Диалоговое окно Регрессия подготовлено к выполнению анализа данных.

 

 

Протокол выполнения регрессионного анализа   приведен на рис. 3..   

 

 

Рис. 3. Протокол выполнения регрессионного анализа.  

 

Рассмотрим  содержание  протокола регрессионного анализа (табл. 4 -.7, в которых отражены основные итоги расчетов).

 

Таблица 4. Регрессионная статистика

Регрессионная статистика
Множественный R	0.927
R-квадрат	0.859
Нормированный R-квадрат	0.837
Стандартная ошибка	41.473
Наблюдения	16.000

 

Таблица 5. Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ
	df	SS	MS	F
Регрессия	2	136358.334	68179.167	39.639
Остаток	13	22360.104	1720.008
Итого	15	158718.438

Таблица 6.

 

	Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	-1471.314	259.766	-5.664
Реклама	9.568	2.266	4.223
Индекс потребительских  расходов	15.753	2.467	6.386

Таблица.7 Вывод остатка

 

ВЫВОД ОСТАТКА
Наблюдение	Предсказанное	Остатки
1	142.25	-16.25
2	124.70	12.30
3	159.24	-11.24
4	242.35	-51.35
5	247.02	26.98
6	307.06	62.94
7	361.20	70.80
8	416.80	28.20
9	424.18	-57.18
10	350.32	16.68
11	345.37	-24.37
12	334.72	-27.72
13	386.79	-55.79
14	352.05	-7.05
15	353.23	10.77
16	361.73	22.27

 

 

 

Пояснения к таблице.4.

Регрессионная статистика
№	Наименование в отчете EXCEL	Принятые наименования	Формула
1	Множественный R	Коэффициент множественной корреляции, индекс корреляции
2	R-квадрат	Коэффициент детерминации, R2
3	Нормированный R-квадрат	Скорректированный R2
4	Стандартная ошибка	Среднеквадратическое отклонение от модели
5	Наблюдения	Количество наблюдений, n	n

 

 

Пояснения к таблице.5.

	Df – число  степеней свободы	SS – сумма  квадратов	MS	F – критерий  Фишера
Регрессия	k =2		/k
Остаток	n-k-1 = 13
Итого	n-1 = 15

 

 

Пояснения к таблице 6.

Во втором столбце  таблицы.6. содержатся коэффициенты уравнения регрессии a₀, a₁,  a_2. В третьем столбце содержатся стандартные ошибки коэффициентов уравнения регрессии, а в четвертом - t-статистика, используемая для проверки значимости коэффициентов уравнения регрессии.

Уравнение регрессии  зависимости объема реализации от затрат на рекламу и индекса потребительских расходов можно записать в следующем виде:

                                                   y = -1471.314  +  9.568х₁ + 15.754х₂

Уравнение регрессии  показывает, каково будет в среднем  значение переменной , если переменные примут конкретные значения.

коэффициент регрессии a_j показывает, на какую величину в среднем изменится результативный признак Y, если переменную x_j увеличить на единицу измерения, т. е. a_j является нормативным коэффициентом.

В нашей задаче = 9.568 (коэффициент при  х₁ ) покзывает, что при увеличении затрат  на рекламу на одну тыс. руб. объём реализации увеличится на 9.568 тыс. руб., а если на 1% увеличится индекс потребительских расходов, то объём реализации увеличится на 15.754 тыс. руб.

Расчетные значения t-критерия Стьюдента (t-статистика) для коэффициентов уравнения регрессии а (4.223), а (6.386) приведены в четвертом столбце таблицы 6 протокола EXCEL. Табличное значение t-критерия Стьюдента можно найти с помощью функции СТЬЮДРАСПОБР (Рис.4)

 

 

Рис.4. Определение табличного значения t-критерия Стьюдента.

 

Табличное значение t-критерия при 5% уровне значимости и степенях свободы (16-2-1=13) составляет 2,16. Так как |t |>t , то коэффициенты a₁, а и существенны (значимы).

 

Пояснения к таблице 7.

Расчетные значения Y (Предсказанное) определяются путем последовательной подстановки в эту модель значений факторов, взятых для каждого наблюдения.

 Остатки. Остаток представляет собой отклонения фактического значения зависимой переменной от значения данной переменной, полученное расчетным путем: ( ).

Оценка качества модели

Качество модели регрессии  связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблюдаемым данным проводится на основе анализа остатков - (табл. 7).

Для оценки качества модели множественной регрессии вычисляют коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R и коэффициент детерминации R².  Чем ближе к 1 значение этих характеристик, тем выше качество модели.

 

Значение коэффициентов детерминации и множественной корреляции можно найти в таблице Регрессионная статистика (табл. 4).

Коэффициент детерминации:

 

= 1- 22360.104/158718.44 = 136358.3/158718.44 = 0.859

Он показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторов. Следовательно, около 86% вариации зависимой переменной учтено в модели и обусловлено влиянием включенных факторов.

Коэффициент множественной  корреляции R:

= 0.927.

Он показывает высокую  тесноту связи зависимой переменной Y с двумя включенными в модель объясняющими факторами.

 

Проверку значимости уравнения регрессии произведем на основе вычисления F-критерия Фишера:

                                   

Значение F-критерия Фишера можно найти  в таблице 4  протокола EXCEL.

Табличное значение F-критерия при доверительной вероятности 0,95 при  = k =2  и =n – k -1= 16 – 2 - 1=13 составляет 3.81. Табличное значение F-критерия можно найти с помощью функции FРАСПОБР (Рис. 5)

 

 

Рис. 5. Определение табличного значения F-критерия.

Поскольку F >F , уравнение регрессии следует признать значимым, т.е. его можно исполбзовать для анализа и прогнозирования.

Оценка влияния отдельных факторов на зависимую переменную на основе модели

Учитывая, что коэффициент  регрессии невозможно использовать для непосредственной оценки влияния факторов на зависимую переменную из-за различия единиц измерения, используем коэффициент эластичности (Э) и бета-коэффициент, которые соответственно рассчитываются по формулам:

9.568´9.294/306.813=0.2898

15.7529´107.231/306.813=5.506

 

9.568´4.913/102.865=0.457

15.7529´4.5128/102.865=0.691

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов  изменяется зависимая переменная при изменении фактора на один процент.

Бета-коэффициент с  математической точки зрения показывает, на какую часть величины среднего квадратического отклонения меняется среднее значение зависимой переменной с изменением независимой переменной на одно среднеквадратическое отклонение при фиксированном на постоянном уровне значении остальных независимых переменных. Это означает, что при увеличении затрат на рекламу в нашем примере на 4.91 тыс. руб. объем реализации увеличится на 47 тыс. руб. (0.457*102.865).

Долю влияния фактора  в суммарном влиянии всех факторов можно оценить по величине дельта - коэффициентов D (j):

 

Прогнозирование с применением  уравнения регрессии

Прогнозируемое значение переменной получается при подстановке в уравнение регрессии ожидаемой величины фактора .

Прогнозные значеня  независимых переменнх Х могут  быть заданы извне, могутбыть получены по определенной методике расчета, определены с помощью методов экспертных оценок или вычислены на основе экстраполяционных методов (если исходные данные – временные ряды). Данный прогноз называется точечным.

Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна  нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.

доверительные интервалы, зависят от следующих параметров:

• стандартной ошибки,
• удаления от своего среднего значения ,
• количества наблюдений n
• и уровня значимости прогноза α.

В нашей задаче необходимо построить прогноз Объёма реализации на два месяца (Y₁₇, Y₁₈).

Сначала найдем прогнозные значеия факторов Х.  Так как исходные данные представлены временными рядами, то для получения прогнозных значеий факторов , и , воспользуемся средством Мастер диаграмм в EXCEL .

Для фактора  Х₁ Затраты на рекламу выбрана модель

Х₁ = 12.83-11.616t +4.319t² –0.552t³+0.0292t⁴-0.0006t⁵,

по которой получен  прогноз на 2 месяца вперед (табл. 8). График модели временного ряда Затраты на рекламу приведен на Рис.6.

Таблица 8.

Упреждение	Прогноз
1(t=17)	5.75
2 (t=18)	4.85

 

 

 

Рис. 6. Прогноз показателя Затраты на рекламу с помощью Мастера  диаграмм.

Для временного ряда Индекс потребительских расходов в качестве аппроксимирующей функции выбран полином второй степени (парабола), по которой построен прогноз на 2 шага вперед. На рисунке 7. приведен результат построения тренда для временного ряда Индекс потребительских расходов. Прогноз этого фактора на два месяца получен по модели   X2 = -0.0488t2 + 1.739t + 97.008 (табл. 9).

 

Таблица 9.

Упреждение	Прогноз
1 (t=17)	112.468
2 (t=18)	112.488

 

Рис. 7. Прогноз показателя Индекс потребительских расходов с помощью Мастера  диаграмм.

 

 

Для получения прогнозных оценок зависимостей переменной по модели

Y = -1471.438  +    9.568X₁ + 15.754X₂

подставим в нее найденные прогнозные значения факторов X₁ и X₂.

Y_t=17 = -1471.438  + 9.568×5.75 + 15.754×112.468=355.398

Y_t=18 = -1471.438  +   9.568×4.85 + 15.754×112.488=347.101

Доверительный интервал прогноза будет иметь следующие границы:

Верхняя граница прогноза: (N+l)+ U(l),

Нижняя граница прогноза: (N+ l) - U(l).

u(l) = =

= 41.473 ( Стандартная ошибка получена из табл. 4 Регрессионная статистика) t_кр = 1.77 (Значение t_кр получено с помощью функции СТЬЮДРАСПРОБР(0.1;13)  для выбранной вероятности 90% с числом степеней свободы равным 13). Вычисление доверительных интервалов в EXCEL свзязано с определенными вычислительными сложностями поэтому доверительные интервалы были получены с помощью программы SPSS.

 

Результаты прогнозных оценок модели регрессии представим в табл. 9.

Табл. 9.

Таблица прогнозов (p = 90%)
Упреждение	Прогноз	Нижняя граница	Верхняя граница
1 (t=17)	355.398	273.943	436.853
2 (t=18)	347.101	264.635	429.568