Уровень и динамика цен на рынке жилья Улан-Удэ

Если расчетное значение F_расч меньше критического F_a, то гипотеза о равенстве дисперсий принимается и переходят к четвертому этапу. Если F_расч больше или равно F_a, гипотеза о равенстве дисперсий отклоняется и делается вывод, что данный метод для определения наличия тренда ответа не дает. Для получения критического значения воспользуйтесь функцией FРАСПОБР(a; n₁; n₂).

На четвертом этапе проверяется  гипотеза об отсутствии тренда с использованием t-критерия Стыодента. Для этого определяется расчетное значение критерия Стыодента по формуле:

                                             .       (2.2)

где s — среднеквадратическое отклонение разности средних:

.

Если расчетное значение t меньше критического значения статистики Стьюдента t_a с заданным уровнем значимости a, гипотеза принимается, т.е. тренда нет, в противном случае тренд есть. Для получения критического значения воспользуйтесь функцией CTЬЮДРАСПРОБР(a; n₁ + n₂ -2). Заметим, что данный метод применим только для рядов с монотонной тенденцией.

 

2.1. Построение трендовой модели.

Формирование набора моделей, одна из которых будет использована для  получения прогноза, происходит на основе интуитивных приемов (таких, например, как анализ графика ряда динамики), формализованных статистических процедур (исследование приростов уровней), а также содержательного анализа  процесса. Предпочтение, как правило, отдается простым моделям, допускающим  содержательную интерпретацию. К числу  наиболее простых относятся линейные модели роста:

   (2.3)

 

где a₀ и a₁ параметры модели, а t = 1, 2, …, n.

Рассмотрим оценку параметров модели по методу, сводящемуся к поиску таких значений a₀ и a₁, при которых сумма квадратов отклонений эмпирических (опытных) данных от рассчитанных по модели (2.4) является наименьшей – метод наименьших квадратов (МНК). Математически критерий такой оценки параметров записывается в виде

 

Для нахождения минимума функции двух переменных следует взять частные производные по a₀ и a₁, а затем приравнять их к нулю.

Упрощая, получаем

В результате получаем систему нормальных уравнений

Решая эту систему двух линейных уравнений  с двумя неизвестными, получим:

где ,  ,  , 

Из  второго уравнения получаем: ,

,

Найдя а₁, подставим в первое уравнение и получим .

Таким образом, формулы для нахождения параметров а₀ и а₁:

  (2.4)

 

Проверка адекватности моделей.

Важным этапом прогнозирования  социально-экономических процессов  является проверка адекватности (соответствия) модели реальному явлению. Для ее осуществления исследуют ряд  остатков , то есть отклонений расчетных значений от фактических. Если модель выбрана правильно, то для остатков характерны:

1. случайный характер значений. Проверяется с помощью критерия поворотных точек;
2. отсутствие автокорреляции (самозависимости). Остатки должны быть независимыми друг от друга. Проверяется с помощью критерия Дарбина – Уотсона;
3. нормальный закон распределения. Проверяется с помощью R/S – критерия;
4. математическое ожидание остатков должно быть равно нулю и дисперсия остатков должна быть неизменна во времени. Проверяется с помощью t– критерия Стьюдента[5].

 

Рассмотрим перечисленные требования подробнее.

1. Для проверки условия случайности возникновения отдельных отклонений от модели часто используется критерий, основанный на поворотных точках. Уровень последовательности E_i считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих уровней, т.е. E_{i -1} < E_i > E_{i +1} и минимумом, если он меньше обоих соседних уровней, т.е. E_{i -1} > E_i < E_{i +1}. В обоих случаях E_i считается поворотной точкой; общее число поворотных точек для остаточной последовательности E_i обозначим через p.

В случайной  выборке математическое ожидание числа  точек поворота p и дисперсия s²_p выражаются формулами:

Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства , где квадратные скобки означают целую часть числа. Если неравенство выполняется, то с вероятностью 95% делаем вывод о случайном характере ряда остатков. Если это неравенство не выполняется, модель считается неадекватной.

2. Проверка независимости значений уровней случайной компоненты, т.е. проверка отсутствия существенной автокорреляции в остаточной последовательности может осуществляться по ряду критериев, наиболее распространенным из которых является d-критерий Дарбина—Уотсона. Необходимо вычислить расчетное значение , где Е_i – i- тый уровень остаточной последовательности (i=1..9). Теоретическое обоснование применения этого критерия обусловлено тем, что в динамических рядах как сами наблюдения, так и отклонения от них расположены в хронологическом порядке.

Значение d может располагаться в пределах от 0 до 4. При отсутствии автокорреляции значение d примерно равно 2. При полной автокорреляции – 0 или 4. Следовательно, оценки, получаемые по этому критерию, являются не точечными, а интервальными. Верхние (d₂) и нижние (d₁) критические значения, позволяющие принять или опровергнуть гипотезу об отсутствия автокорреляции, зависят от количества уровней динамического ряда и числа независимых переменных модели. Значения для этих границ при 5% уровне значимости приведены в Приложении 3. При сравнении расчетного значения d  с табличным могут возникнуть следующие ситуации:

• d₂<d<2 – ряд остатков не коррелирован;
• d<d₁ – остатки содержат автокорреляцию;
• d₁<d<d₂ – область неопределенности, когда нет оснований ни принять, ни отвергнуть гипотезу о существовании автокорреляции. Необходимо применять другой критерий;
• d>2, то это свидетельствует об отрицательной связи, и его надо преобразовать по формуле d' = 4-d и посмотреть, в какой из трех первых интервалов попадает значение d'.

 

Установив наличие  автокорреляции остатков, надо улучшать модель.

Если  же ситуация оказалась неопределенной (d₁<d<d₂), применяют другие критерии. В частности, можно воспользоваться первым коэффициентом автокорреляции: . Для суждения о наличии или отсутствии автокорреляции в исследуемом ряду расчетное значение коэффициента r₁  сравнивают с критическим для 5%-го уровня значимости (в нашем случае можно взять в качестве r_крит = 0,36). Если │r₁│ меньше критического значения, то делается вывод об отсутствии автокорреляции в ряду остатков. Если │r₁│ больше

3. Проверка гипотезы о нормальном распределении остаточной последовательности по R/S_E – критерию. В нашем случае R = E_max - E_min, где E_max и E_min соответственно максимальный и минимальный уровни ряда остатков; . Вычисленное значение R/S_E-критерия сравнивается с критическими нижней и верхней границами данного отношения. Критические границы приведены в Приложении 3. Если значение R/S_E попадает в интервал между критическими границами, то с заданным уровнем значимости гипотеза о том, что остаточная последовательность распределена по нормальному закону, принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается.
4. Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания случайной компоненты нулю на основе t - критерия Стьюдента. Расчетное значение этого критерия задается формулой где — среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности E_t; S_E — стандартное (среднеквадратическое) отклонение для этой последовательности. Если расчетное значение t меньше критического значения t_a,v статистики Стьюдента с заданным уровнем значимости a и числом степеней свободы v=n-1, то гипотеза о равенстве нулю математического ожидания случайной последовательности принимается; в противном случае эта гипотеза отвергается и модель считается неадекватной. Для получения критического значения t_a,v воспользуйтесь статистической функцией Excel CTЬЮДРАСПРОБР(a;v);

Если  ВСЕ четыре вышеперечисленные критерии дают положительный ответ, делается вывод о том, что выбранная  модель является адекватной реальному  ряду экономической динамики. Только в этом случае ее можно использовать для построения прогнозных оценок. В противном случае модель надо улучшать[5].

 

  Оценка качества, значимости и точности модели.

Если  модель оказалась статистически  адекватной эмпирическим данным, то предстоит  оценить ее качество, значимость и  точность.

Проверка  качества модели проводится с помощью коэффициента детерминации . Он показывает, какую долю вариации исследуемого признака Y описывает наша модель под воздействием изучаемого фактора. Чем ближе к единице R², тем лучше качество модели.

Проверка значимости модели проводится с помощью F – теста. Если расчетное значение F_расч больше критического F_a,n1,n2 при заданном уровне значимости a и со степенями свободы v₁=m и v₂=n-m (где m – число факторов, включенных в модель), то модель считается значимой.

Для получения критического значения воспользуйтесь функцией FРАСПОБР(a; v₁,; v₂).

Для оценки точности модели используйте стандартную ошибку оценки прогнозируемого показателя (или среднеквадратическое отклонение от линии тренда)

,  (2.5)

где n- число опытов, m - число факторов, включенных в модель, и среднюю относительную ошибку аппроксимации Если ошибка Е_отн не превышает 15%, то точность модели считается приемлемой. В общем случае допустимый уровень точности, а, значит, и надежности прогноза, устанавливает пользователь модели, который в результате содержательного анализа проблемы выясняет, насколько она чувствительна к точности решения и насколько велики потери из-за неточного решения[9].

 

 

2.3. Построение прогнозов.

Если в ходе проверки разрабатываемая  модель признана значимой, достаточно точной, и ее качество нас устраивает, то на ее основе разрабатывается точечный прогноз. Он получается путем подстановки  в модель значений времени t, соответствующих периоду упреждения k (количество шагов прогноза): t=n+k. Так в случае трендовой модели в виде полинома первой степени – линейной модели роста (4) – экстраполяция на k шагов вперед имеет вид:

 (2.6)

Для учета случайных колебаний  при прогнозировании рассчитываются доверительные интервалы, зависящие  от стандартной ошибки (2.6), периода  упреждения k, длины временного интервала n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза (2.7) будущие значения с вероятностью (1–α) попадут в интервал:

 где  . (2.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Эконометрическое моделирование  рынка жилья г. Улан-Удэ.

 

3.1. Анализ рынка жилья г. Улан-Удэ

За последние годы улучшились потребительские  свойства жилья. Увеличился средний  размер построенных квартир: с 63,4 кв. метра в 1990 году до 71,6 кв. метра в 2009 году. В 2010 году были сданы в эксплуатацию многоэтажные дома,  в которых  средний размер квартиры уменьшился до 51,4 кв. метра, а в индивидуальных жилых домах увеличился до 78,6 кв. метра общей площади. Всего, с  учетом индивидуальных жилых домов, средний размер квартиры составил 68,3 кв. метра общей площади.

Таблица 1. Число построенных квартир и  их средний размер.

	1995	2005	2006	2007	2008	2009	2010
За счет всех источников финансирования
Число квартир	3152	2349	2883	3405	4017	3463	3965
из них по видам квартир,              в процентах от общего  ввода:
Однокомнатные	11,5	16,1	28,6	30,4	32,1	33,2	...
Двухкомнатные	26,1	30,0	29,6	23,3	30,9	28,5	…
Трехкомнатные	50,4	38,9	30,7	32,5	26,9	27,8	…
четырехкомнатные и более	12,0	15,0	11,1	13,8	10,1	10,5	…
Средний размер квартир, кв. м общей площади	69,6	85,1	74,7	79,0	75,8	71,6	68,3
За счет индивидуальных застройщиков
Число квартир	1203	1579	1684	2377	2310	2169	2524
Средний размер квартир, кв. м   общей площади	71,2	79,9	81,6	83,7	83,3	78,6	78,6