Временные ряды и стохастические процессы

Содержание.

 

 

    Введение.

Временные ряды и стохастические процессы………………………………...с.5

Прогнозирование временных рядов…………………………………………...с.9

Аддитивная модель временного ряда……………………………………..…с.10

Прогнозирование по аддитивной модели…………………………………...с.15

Мультипликативная модель временного ряда………………………………с.17

Процесс построения мультипликативной  модели…………………………..с.18

   Заключение

   Список использованной  литературы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение.

 

   Временной ряд (или ряд динамики) — собранный в разные моменты времени статистический материал о значении каких-либо параметров (в простейшем случае одного) исследуемого процесса. Каждая единица статистического материала называется измерением или отсчётом, также допустимо называть его уровнем на указанный с ним момент времени. Во временном ряде каждому отчету должно быть указано время измерения или номер измерения по порядку. Временной ряд существенно отличается от простой выборки данных, так как при анализе учитывается взаимосвязь измерений со временем, а не только статистическое разнообразие и статистические характеристики выборки.

Временные ряды бывают моментные, интервальные и производные. Моментные ряды характеризуют значения показателя на определенные моменты  времени.

Интервальные  ряды характеризуют значения показателя за определенные интервалы времени.

Производные ряды получаются из средних или относительных  величин показателя.

Уровни ряда могут иметь детерминированные  или случайные значения. Ряд последовательных данных о количестве дней в месяце, квартале, годе являются примерами рядов с детерминированными значениями.

Временные ряды состоят из двух элементов:

периода времени, за который или по состоянию на который приводятся числовые значения; числовых значений того или иного  показателя, называемых уровнями ряда. Временные ряды классифицируются по следующим признакам:

• по форме представления уровней:
• ряды абсолютных показателей;
• относительных показателей;
• средних величин.
• по количеству показателей, для который определяются уровни в каждый момент времени: одномерные и многомерные временные ряды;
• по характеру временного параметра: моментные и интервальные временные ряды.

     В детерминированном анализе выделяют следующие типы наиболее часто встречающихся факторных моделей. 1. Аддитивные модели. Они используются в тех случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей. 2. Мультипликативные модели. Этот тип моделей применяется тогда, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов. 3. Смешанные (комбинированные) модели - это сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Временные ряды и стохастические процессы.

    Временной ряд  это множество наблюдений, генерируемых последовательно во времени. Если время непрерывно, временно ряд называется непрерывным. Если время изменяется дискретно, временной ряд дискретен. Наблюдения дискретного временного ряда,  сделанные в моменты времени  могут быть обозначены через . В этой книге  рассматриваются только дискретные  временные ряды,  в которых  наблюдения делаются через фиксированный интервал . Когда имеется  последовательных значений такого ряда, доступных для анализа, мы пишем , обозначая так наблюдения, сделанные в равноотстоящие моменты времени . Во многих случаях значения  и  не важны, но если необходимо точно определить времена наблюдений, нужно указать эти два значения. Если мы принимаем  за начало и  за единицу времени, мы можем рассматривать  как наблюдение в момент времени .

Дискретные временные ряды могут  появляться двумя путями.

1) Выборкой из непрерывных временных  рядов, например, в ситуации, показанной  на рис. 1.2, где значения  непрерывных входа и выхода газовой печи считываются с интервалом 9 с.

2) Накоплением переменной в течение  некоторого периода времени; примерами  могут служить дождевые осадки, которые обычно накапливаются  за такие периоды, как день  или месяц, или выход партий продукта, накапливающегося за время цикла. Например, на рис. 2.1 показан временной ряд, состоящий из значений выхода 70 последовательных партий продукта химического процесса.

Рис. 2.1 Выход 70 последовательных партий продукта химического процесса.

  Детерминированные и случайные временные ряды. Если будущие значения временного ряда точно определены какой-либо математической функцией, например, такой, как

,

временной ряд называют детерминированным. Если будущие значения могут быть описаны только с помощью распределения вероятностей, временной ряд называют недетерминированным, или просто случайным. Данные о партиях продукта на рис. 2.1 – это пример случайного временного ряда. Хотя в этом ряду имеется отчетливая тенденция к чередованию «вверх-вниз», невозможно точно предсказать  выход следующей партии. В этой книге мы будем исследовать именно такие случайные временные ряды.

   Стохастические процессы. Статическое явление, развивающееся во времени согласно законам теории вероятности, называется стохастическим процессом. Мы часто будем называть его просто процессом, опуская слово «стохастический». Подлежащий анализу временной ряд может быть рассматриваться как одна частная реализация изучаемой системы, генерируемая скрытым вероятностным механизмом. Другими словами, анализируя временной ряд, мы рассматриваем его как реализацию стохастического процесса.

Рис. 2.2 Наблюденный временной  ряд (жирная линия) и другие временные  ряды, являющиеся реализациями одного и того же стохастического ряда.

Рис. 2. 3. Изолинии плотности  двумерного распределения вероятности, описывающего стохастический процесс  в моменты времени   и , там же маргинальное распределение в момент .

Например, анализирую данные о выходе партии продукта на рис 2.1, мы можем  представить себе другие множества наблюдений (другие реализации порождающего эти наблюдения стохастического процесса), которые могут быть генерированы той же самой химической системой, за те же  циклов. Так, например, на рис. 2.2 показаны выходы партий продукта с  по (жирная линия) вместе с другими временными рядами, которые могли бы быть получены из популяции временных рядов, определяемых тем же стохастическим процессом. Отсюда следует, что мы можем рассматривать наблюдение в данное время , скажем , как реализацию случайной величины  с плотностью вероятности .

Подобным образом наблюдения в любые два момента времени,   , могут рассматриваться как реализации двух случайных величин и  с совместной плотностью вероятности . Например, на рис. 2.3 показаны изолинии плотности для такого совместного распределения вместе с маргинальным распределением в момент времени . В общем наблюдения, образующие временной ряд могут быть описаны всевозможными -мерными случайными величинами  с плотностью вероятности .

Прогнозирование временных  рядов.

    Использование к моменту времени  наблюдений временного ряда для прогнозирования его значений в некоторый момент времени в будущем может явиться основой для а) планирования в экономике и торговле; б) планирования выпуска продукции; в) складского контроля и контроля выпуска; г) управления и оптимизации промышленных процессов. Как описано Холтом и др., Брауном и в монографии фирмы ICI по краткосрочному прогнозированию, существует необходимость в прогнозах вперёд на интервал, называемый временем упреждения и зависящей от конкретной проблемы. Например, время упреждения  в проблеме складского контроля определено Гаррисоном как период, начинающийся с момента передачи заказа на пополнения склада с завода и длящийся до тех пор, пока заказ не доставлен на склад.

   Предполагается, что наблюдения доступны в дискретные, равноотстоящие моменты времени. Например, в проблеме прогнозирования сбыта сбыт  в текущем месяце  и сбыт , , …,  в предыдущие месяцы могут быть использованы для прогноза сбыта с упреждением мес. Обозначим через сделанный в момент прогноз сбыта  в некоторый момент  в будущем, т. е. с упреждением .

Рис. 1.1. Значение временного ряда (точки) вместе с прогнозирующей функцией (1) и 50%-ными вероятностными пределами (2).

Функция ,  дающая в момент времени  прогнозы для всех будущих времен упреждения, будет называться прогнозирующей функцией в момент времени . Наша цель – получить такую прогнозирующую функцию, у которой среднее значение квадрата отклонения  истинного от прогнозируемого значения является наименьшим для каждого упреждения   . В дополнение к вычислению наилучшего прогноза необходимо также указать его точность, чтобы, например, можно было оценить риск, связанный с решениями основанными на прогнозировании. Точность прогноза может быть выражена вероятностными пределами по обе стороны от каждого прогнозируемого значения, Эти пределы можно вычислить для любого удобного набора вероятностей, например для 50 и 90%. Смысл этих пределов в том, что значения временного ряда, которое появится в соответствующее время, с указанной вероятностью будет лежать внутри этих пределов. Для иллюстрации на рис. 1.1. показаны  20 последних значений временного ряда, обрывающегося на времени  . Там же показаны прогнозируемые величины на момент  для упреждений  вместе с 50%-ными вероятностными пределами.

Аддитивная  модель временного ряда.

   Если временной ряд представляется в виде суммы соответствующих компонент, то полученная модель носит название аддитивной. В общем виде она имеет вид: Y = T+S+E. Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент. Выбор модели осуществляется на основе анализа структурных сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, выбирают аддитивную модель,  в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов.

Построение  модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель).  
Процесс построения модели временного ряда (х), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:  
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (х^c ). Произведем выравнивание исходного ряда, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).  
2) Расчет значений сезонной составляющей S_i, i=1;L , где L– число сезонов в году. Для нашего примера L=4 (сезоны - кварталы).  
Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x - x^c  (столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S_i построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x - x^c . По этим данным  рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке ( S^c_i ). Если сумма всех средних оценок равна нулю ( ), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S_i =S^c_i). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу ( ). Для нашего примера расчет значений S_i представлен в таблице 8.  
 Таблица 8

Номер  сезона	Год 1	Год 2	Год 3	Средняя оценка сезонной составляющей	Скорректированная оценка сезонной составляяющей Si
1	-	-66,67	-70,00	-68,33	-67,15
2	-1,67	-5,00	-1,67	-2,78	-1,60
3	123,33	180 ,00	183,33	162,22	163,40
4	-78,33	-113,33	-	-95,83	-94,66
Итого				-4, 72	0

 
3) Устранение влияния сезонной  составляющей из исходного ряда динамики : x^S = x-S_i . Результаты расчета x^S для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 9.  
4) Аналитическое выравнивание уровней x^S (построение тренда): .  
Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда  можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма  показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени t ^y, такая, что å t ^y =0. Уравнение тренда при этом будет следующим: .  
При нечетном числе уровней ряда динамики для получения å t^y=0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (периоду или моменту времени, соответствующему данному уровню присваивается нулевое значение). Даты времени, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а даты времени, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (1 2  3 ...).  
Если число уровней ряда четное, периоды времени левой половины ряда (до середины) нумеруются –1, -3, -5 и т.д. А периоды правой половины - +1, +3, +5 и.т.д. При этом åt^y  будет равна 0.  
Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:  
 
Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:  
.  
Интерпретация параметров линейного уравнения тренда :  
- уровень ряда за период времени t^у =0;  
- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.  
В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени  для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной _i^y содержатся во 2-ом столбце таблицы 9.  
Параметры линейного тренда будут: =14257,5/572=24,93; =8845/12=737,08. Это значит,  что с каждым кварталом объем выпуска товара в среднем увеличивается на 2∙28,7 усл.ед. А средний за период с 1993 по 1995гг  объем выпуска составил 738,75 усл.ед.  
Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле  (столбец 7 таблицы 9).  
5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда ( = T+S). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 9.  
6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е= x- ) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 9.  
Таблица 9