Временные ряды и стохастические процессы

T	tу	x	xc	x- xc	x s		T		E
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	-11	410	-	-		477,15	462,9 0	395,75	14,25
2	-9	560	561,67	-1,67		561,60	512,75	511,15	48,85
3	-7	715	591,67	123,33		551,60	562,60	726,00	-11,01
4	-5	500	578,33	-78,33		594,65	612,45	517,80	-17,80
5	-3	520	586,67	-66,67		587,15	662,31	595,15	-75,15
6	-1	740	745 ,00	-5 ,00		741,60	712,16	710,56	29,44
7	1	975	795 ,00	180 ,00		811,60	762,00	925,41	49,59
8	3	670	783,33	-113,33		764,65	811,86	717,21	-47,21
9	5	705	775 ,00	-70 ,00		772,15	861,71	794,56	-89,56
10	7	950	951,67	-1,67		951,60	911,56	909,97	40,03
11	9	1200	1016,67	183,33		1036, 60	961,41	1124,82	75,18
12	11	900	-	-		994,65	1011,27	916,61	-16,61
Итого		8845				8845 ,00	8845 ,00	8845 ,00	16,61

 
Значимость параметров линейного  уравнения тренда (Т) определяется на основе  t -критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.

 

 

 

                     Прогнозирование по аддитивной модели.

Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n +1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х _{n +1} в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i –ому сезону прогноза): = T_{n +1}+S_i .  
Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:

 
m ^р =

,

 
где h- число параметров в уравнении тренда;  
t^yp – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.  
Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D ^р =t_a · m_р,  
где t_a- коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным ( n-h).  
Окончательно получим:  ( - D^р; + D ^р).

 

 

 

 

 

 

 

 

  Мультипликативная модель временного  ряда.

    Если компоненты временного ряда умножаются, то получим мультипликативную модель. Общий вид данной модели следующий: Y = T*S*E. Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой (T), сезонной (S) и случайной (E) компонент.

   Выбор модели осуществляется на основе анализа структурных сезонных колебаний. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает иди уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимости от значений сезонной компоненты.

   Построение модели сводится к расчету значений T, S и E для каждого уровня ряда.

Процесс построение модели включает в себя следующие шаги:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений компоненты S.
3. Установление сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выравненных данных (T*E).
4. Аналитическое выравнивание уровней (T*E) и расчет значений T с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений (T*S).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

    В классической мультипликативной модели временных рядов определяется, что наблюдаемое значение в любой точке временного ряда является произведением трех факторов — тренда, циклической и нерегулярной компонент (в случае короткошаговых наблюдений — четырех, здесь добавляется еще и сезонная компонента), и любое значение ряда может быть представлено в виде:

                (11.2)

где - значение временного ряда, а - соответственно значения трендовой, циклической, сезонной и нерегулярной компонент в любой точке ряда.

Процесс построения мультипликативной модели.

Рассмотрим процесс  построения мультипликативной модели на примере данных об объеме правонарушений на таможне за четыре года, представленным в табл. 9.1.

Таблица 9.1

Год	Квартал	t	Количество возбужденных дел, y i
1999	I	1	375
	II	2	371
	III	3	869
	IV	4	1015
2000	I	5	357
	II	6	471
	III	7	992
	IV	8	1020
2001	I	9	390
	II	10	355
	III	11	992
	IV	12	905
2002	I	13	461
	II	14	454
	III	15	920
	IV	16	927

Рассчитаем компоненты мультипликативной модели временного ряда.

Шаг 1. Методика, применяемая на этом шаге, полностью совпадает с методикой построения аддитивной модели.

Таблица 9.5

№ квартала,  t	Количество правонарушений,  yt	Итого за четыре квартала	Скользящая средняя за четыре квартала	Центрированная скользящая средняя	Оценка сезонной компоненты
1	2	3	4	5	6
1	375	–	–	–	–
2	371	2630	657,5	–	–
3	869	2612	653	655,25	1,3262
4	1015	2712	678	665,5	1,5252
5	357	2835	708,75	693,75	0,5146
6	471	2840	710	709,375	0,6640
7	992	2873	718,25	714,125	1,3891
8	1020	2757	689,25	703,75	1,4494
9	390	2757	689,25	689,25	0,5658
10	355	2642	660,5	674,875	0,5260
11	992	2713	678,25	669,375	1,4820
12	905	2812	703	690,625	1,3104
13	461	2740	685	694	0,6643
14	454	2762	690,5	687,75	0,6601
15	920	–	–	–	–
16	927	–	–	–	–

 

 Шаг 2. Найдем оценки сезонной компоненты как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние (гр. 6 табл. 9.5). Эти оценки используются для расчета сезонной компоненты S (табл. 9.6). Для этого найдем средние за каждый квартал оценки сезонной компоненты S_i. Так же как и в аддитивной модели считается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле. В нашем случае число периодов одного цикла равно 4.

Таблица 9.6

Показатели	Год	№ квартала, i
		I	II	III	IV
	1999	–	–	1,3262	1,5252
	2000	0,5146	0,6640	1,3891	1,4494
	2001	0,5658	0,5260	1,4820	1,3104
	2002	0,6643	0,6601	–	–
Всего за i-й квартал		1,7447	1,8501	4,1973	4,2850
Средняя оценка сезонной компоненты для i-го квартала,		0,5816	0,6167	1,3991	1,4283
Скорректированная сезонная компонента, Si		0,5779	0,6128	1,3901	1,4192

 

Имеем:

0,5816+0,6167+1,3991+1,4283=4,0257.

  Скорректированные значения сезонной компоненты S_i получаются при умножении ее средней оценки на S_i корректирующий коэффициент k.

Проверяем условие равенство 4 суммы значений сезонной компоненты: 0,5779+0,6128+1,3901+1,4192=4.

Шаг 3. Разделим каждый уровень исходного ряда на соответствующие значения сезонной компоненты. В результате получим величины T·E=Y/S (гр. 4 табл. 9.7), которые содержат только тенденцию и случайную компоненту.

Таблица 9.7

t	yt	Si	yt / Si	T	T·S	E= yt / (T·S)
1	2	3	4	5	6	7
1	375	0,5779	648,9012	654,9173	378,4767	0,9908
2	371	0,6128	605,4178	658,1982	403,3439	0,9198
3	869	1,3901	625,1349	661,4791	919,5221	0,9451
4	1015	1,4192	715,1917	664,7600	943,4274	1,0759
5	357	0,5779	617,7539	668,0409	386,0608	0,9247
6	471	0,6128	768,6031	671,3218	411,3860	1,1449
7	992	1,3901	713,6177	674,6027	937,7652	1,0578
8	1020	1,4192	718,7148	677,8836	962,0524	1,0602
9	390	0,5779	674,8572	681,1645	393,6450	0,9907
10	355	0,6128	579,3081	684,4454	419,4281	0,8464
11	992	1,3901	713,6177	687,7263	956,0083	1,0377
12	905	1,4192	637,6832	691,0072	980,6774	0,9228
13	461	0,5779	797,7159	694,2881	401,2291	1,1490
14	454	0,6128	740,8616	697,5690	427,4703	1,0621
15	920	1,3901	661,8229	700,8499	974,2515	0,9443
16	927	1,4192	653,1849	704,1308	999,3024	0,9277