Определение параметров процесса сепарации трудноразделимых зерновых смесей на вибрационных неперфорированных поверхностях

 

2.1. Движение частиц в виде круга со смещенным центром масс по вибрационной поверхности

 

Определим режимы, при которых возможно движение круга со смещенным центром масс с максимальной скоростью вверх по вибрационной плоскости. Это дает возможность определить область параметров, при которой возможно отделить частицы, имеющие в поперечном сечении форму круга со смещенным центром масс от частиц, имеющих форму круга без смещения центра масс.

Рассмотрим безотрывное движение частицы в системе координат хоу (рис. 6), связанной с вибрационной плоскостью. При движении возможны два режима: качение или качение со скольжением.

 

 

 

 

 

Рис. 6. Схема расположения частиц относительно системы координат

 

Уравнения движения при качении со скольжением следующие:

(1)

где m, Iс – масса частицы и момент инерции относительно центра масс;

хсk – координата скольжения частицы, м;

 – координата качения частицы, рад;

R – радиус, м;

асм – расстояние от центра круга до центра масс, м;

А, w – амплитуда и частота вибрации, м, ;

e1 – угол направленности вибрации, рад;

α – угол наклона плоскости, рад;

¦, ¦к – коэффициенты трения скольжения и качения;

 при 

 при 

 при 

 при 

Уравнение движения в режиме качения имеет вид второго из уравнений системы (1), в котором нужно положить = 0.

Безотрывное движение имеет место при N ³ 0, где

    (2)

Качение без скольжения будет при , где

  (3)

¦п – коэффициент трения покоя.

Скорость движения центра масс частиц определялась угловым коэффициентом линейной зависимости координаты центра масс от времени, определяемом при оценке различных вариантов. Время принималось одинаковым, t = 1с.

Решение уравнений было выполнено на ЭВМ. Исходные данные для вычислений следующие:

Начальные условия были приняты нулевыми:

Остальные исходные данные изменялись в процессе вычислений. Значения m, aсм, Iс определялись аналогично для фиктивного цилиндра с вырезанием цилиндрического сектора различной величины в зависимости от значения aсм. При вычислениях принимали значения, приведенные в табл. 1.

Таблица 1

Значения a, m, Iс, принятые при вычислениях

aсм, мм	Iс, гс. мм · с2	m, гс. с2/мм
0	2,245·10-4	4,990·10-5
1	1,050·10-4	3,010·10-5
2	1,387·10-6	2,770·10-6

Вначале были проведены вычисления при отсутствии вибрации. При этом было установлено наличие ряда очевидных физических эффектов.

При отсутствии смещения центра масс (асм=0) при (α≠0) имеет место качение круга, переходящее в качение со скольжением с увеличением a. Причем с увеличением a доля качения уменьшается, а доля качения со скольжением увеличивается. Скорость частицы увеличивается с ростом a.

При смещении центра масс (асм ≠ 0) имеются некоторые отличия в поведении частицы. При небольших a наблюдаются затухающие колебания относительно равновесного положения частицы, зависящего от a. С увеличением a частица движется в режиме качения. С увеличением угла a скорость качения увеличивается и после разгона до предельной скорости (которая наступает за меньшее время при увеличении a) частица отрывается за счет центробежных сил. При дальнейшем увеличении a скорость вращения частицы уменьшается за счет появления скольжения и частица уже не отрывается от плоскости (при одинаковом времени вычислений).

Далее было исследовано влияние частоты вибрации. С увеличением w, как видно из рис. 7, скорость движения частицы увеличивается.

Рис. 7. Изменение скорости движения центра масс частицы в зависимости от частоты вибраций:

1 – асм= 0, (e1=100, a = 00); 2 – асм=1 мм, (e1=100, a = 00);

3 – асм= 2 мм, (e1=100, a = 00);

4 – экспериментальная кривая (асм = 1-2 мм, ε1 = 100, α = 00)

Вычислениями установлено, что при отсутствии смещения центра масс (асм=0), частица при e1 =100 и a=00 движется вправо (в системе координат рис. 6) в режиме качения, с увеличением появляется скольжение, при этом направлении движения частицы меняется. При a ≠ 0 частица движется в режиме качения со скольжением вправо. С увеличением w до предельного значения наступает отрыв частицы от плоскости.

Для исследования влияния угла наклона плоскости было принято e1=10° и возможно большее из значений w, при котором еще имел место безотрывный режим. При a = 0 движение вверх невозможно, при a ≠ 0 движение вверх возможно при a < 4° ¸ 5°. Для асм = 1 мм и асм=2 мм предельный угол a оказался примерно одинаковым (рис. 8). Режим движения при этом – качение со скольжением.

Рис. 8. Изменение скорости в зависимости от угла наклона плоскости:

1 – асм=1 мм, (e1=10°, w = 120 рад/с);

2 – асм=2 мм, (e1=10°, w = 100 рад/с);

3 – экспериментальная кривая (асм = 1...2 мм, ε1 = 10°,  
         ω = 120 рад/с)

Для определения максимальной скорости движения частицы вверх по вибрирующей плоскости при предельных углах a были выполнены вычисления с изменением угла направленности вибрации – e1 (рис. 2.4). При асм= 2 мм найдено оптимальное значение e1=15°, при асм= 1 мм оптимальное значение e1>15°, однако при увеличение e1 до значения e1>25° частица отрывается от плоскости. Наибольшее значение скорости перемещения вправо при u = 0 получено при e1°=5°, режим движения – качение. При асм=1 мм и асм=2 мм имело место качение со скольжением.

Рис. 9. Изменение скорости в зависимости от угла направленности вибрации:

1 – асм=1 мм, (a=40, w=120 рад/с);

2 – асм=2 мм, (a=50, w=100 рад/с);

3 – экспериментальная кривая (асм = 1...2 мм, α = 40,  
     ω = 120 рад/с)

 

Приведенные данные позволяют определить область параметров, при которых частица, имеющая форму поперечного сечения в виде круга со смещенным центром тяжести, совпадающего с плоскостью колебаний, движется вверх в безотрывном режиме с максимальной скоростью. Эти параметры следующие: w=100¸120 рад/с ; e1= 15° ¸ 20°; a £ 4°¸5°. Частица в виде круга без смещения центра масс движется при таких углах наклона плоскости вниз, поэтому возможно принципиальное разделение круга и круга со смещенным центром масс на вибрирующей плоскости. Однако их разделение возможно только в безотрывном режиме движения, при котором скорости виброперемещения частиц очень низкие.

Экспериментальные значения величины и направления скоростей перемещения неплохо согласуются с расчетными (рис. 7, 9) в зависимости от частоты вибраций и угла направленности колебаний. При изменении угла наклона плоскости изменения скорости также идентичны расчетным, но изменение направления скорости наступает при меньших углах наклона α = 38°. Это можно объяснить некоторой неравномерностью шероховатости сепарирующей поверхности при экспериментальных исследованиях.

 

2.2. Движение частиц, имеющих форму улитки Паскаля, по вибрационной поверхности

 

Пусть вибрационная неперфорированная поверхность наклонена под углом a к горизонту и совершает колебания в направлении, определяемом углом e1 (рис. 10). К частице приложены силы: mg – сила тяжести; I – сила инерции переносного движения; N – нормальное давление; FТр – сила трения.

Введем индексы «+» и «-» для буквенных обозначений при движении центра масс вверх или вниз. Сила трения направлена в сторону движения центра масс вследствие того, что эта сила в данном случае не является ни движущей, ни силой сопротивления, так как мы здесь предполагаем, что скольжение отсутствует.

Допустим, что

 

    (4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10. Силы, действующие на частицу с поперечным сечением в виде улитки Паскаля, совпадающим с плоскостью колебаний наклонной плоскости

 

Тогда при движении вверх (опрокидывание и начало качения)

,  (5)

где h1 и h2 – плечи сил, м; I+ – амплитуда силы инерции, приложенной к частице.

Отсюда

    (6)

где

Имея ввиду, что амплитуда силы инерции

где А и w – амплитуда и круговая частота колебаний, из (6) получим

     (7)

Так как для безотрывного движения выполняется условие

     (8)

то с учетом (7) можно получить предельное значение угла направленности колебаний в таком виде

      (9)

Условие (9) дает возможность оценить угол направленности колебаний наклонной плоскости для обеспечения качения частицы вверх. Однако после опрокидывания частицы вокруг точки В форма ее становится округлой  (радиус-вектор кривой изменяется мало). Следовательно, согласно  частица начнет скатываться вниз, а это значит, что она может либо совершать т.н. дребезг вокруг точек А и В, либо просто скатится вниз по наклонной плоскости.

Явление дребезга при движении по наклонной вибрационной плоскости носит название двухударного периодического режима и подробно рассмотрено в литературе.

Определим условие опрокидывания частицы при движении ее вниз. Исходя из предположения, что , и получим

   (10)

Отсюда найдем условие опрокидывания частицы вниз

    (11)

Таким образом, неравенства (6), (7) и (11) определяют условия опрокидывания частицы вверх или вниз.

Из неравенства (6) получим

    (12)

Из (2.5) получим (рис.2.5)

    (13)

где ¦n – коэффициент трения покоя.

Очевидно, что ¦n = gh. Тогда, например, для пшеницы gh =0,2 и ¦n = 0,2, угол трения qтр = 63,430 = 1,11 рад.

Следовательно, для пшеницы условия движения вверх или вниз будут иметь вид

 

вверх 

вниз                (14)

 

Из (2.6) и (2.11) получим (с учетом ¦n = g)

 

вверх  (а);

вниз   (б).             (15)

 

Согласно (15) можно выбором коэффициента трения ¦0 обеспечить движение частицы вверх или вниз при заданных динамических параметрах колебаний наклонной плоскости. Например, для обеспечения двухударного режима следует выбирать коэффициент трения по (15 а), а для скатывания частицы вниз по (15 б).

При движении частицы с поперечным сечением, совпадающим с плоскостью колебаний, в виде улитки Паскаля контакт с вибрационной плоскостью может располагаться либо в особых точках А и В, либо на дуге ВЕА (рис.11, рис.12).

В этих случаях возможны следующие виды движения:

– при расположении точки контакта на дуге: чистое качение, скольжение или качение со скольжением (рис.12 в, с);

– при расположении контакта в особых точках – относительный покой или скольжение (рис.12 а).

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 11. Определение координат особых точек

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12. Кинематика качения кардиоиды

 

Для упрощения выкладок без нарушения общности получаемых результатов будем рассматривать кардиоиду как частный случай улитки Паскаля. Полученное ранее уравнение кардиоиды относительно центра тяжести посредством разложения в ряд преобразуем к виду

   (16)

Тогда                 (17)

Далее, используя известные разложения, получим

   (18)

    (2.19)

Вычислим угол m между радиус-вектором кривой и касательной к ней. Как известно                    (20)

После подстановки (18) и (19) в (20) будем иметь

 

    (21)

 (22)

Учитывая, что

после подстановок и соответствующих преобразований получим

 

(23)

Аналогично

 (24)

Тогда после дифференцирования по времени (2.23) и (2.24) получим

   (25)

Для случая движения с проскальзыванием введем координату хск. Тогда уравнения (25) примут вид

  (26)

Движение в случае (рис. 12 а) происходит следующим образом: либо скольжение по точкам А и В, или относительный покой. В случае (рис. 12 в) возможны поворот вокруг одной из точек А и В или поворот со скольжением в этих же точках.

Для случая скольжения частицы по точкам А и В дифференциальное уравнение имеет вид

 

  (27)

Система уравнений в режиме поворота со скольжением

(28)

В режиме поворота

 (29)

При безотрывном движении

Приравняв , найдем величину нормальной реакции

 (30)

Частица будет опираться на точки А и В, если она не сможет опрокинуться относительно этих точек. Условие невозможности поворота (рис. 13):