Формирование портфеля ценных бумаг ОАО «МДМ Банк»

• рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами;
• инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей, их дисперсий и попарных ковариаций;
• инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами. Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске, который формализуется как дисперсия или среднеквадратическое отклонение случайной величины. Предполагается, что инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

      Рассмотрим  подробнее сформировавшиеся на данный момент портфельные теории, которые будут применены далее при проведении практического расчета оптимального портфеля ценных бумаг. 

      1.2.1 Модель Марковица 

      Основная  идея модели Марковица заключается  в том, чтобы рассматривать будущий  доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную величину, то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах.

      Рассмотрим  набор из N видов ценных бумаг. Пусть S₀ⁱ– стоимость покупки i-ой ценной бумаги, S_Tⁱ – стоимость i-ой ценной бумаги в момент времени T, тогда доходность ценной бумаги i-ого вида, определяется формулой  

       ^{х х} , 

      где iÎ1,N.

      Заметим, что r_i – случайная величина.

      Будем ассоциировать портфель с N-мерным вектором y, каждая компонента которого y_i соответствует доли содержания ценных бумаг i –го вида в портфеле, следовательно, выполняется равенство 

      

      Тогда случайная доходность портфеля ценных бумаг r_y определится по формуле 

        ^х  

      ожидаемая (средняя) доходность портфеля находится из соотношения

       ^{х х}  

      Здесь x_i=E[r_i] – ожидаемое значение доходности ценной бумаги i-ого вида.

      Ожидаемый разброс, отклонение доходности портфеля от среднего значения находится как среднеквадратическое отклонение s_p в соответствии с формулой  

      

       , 

      где i,jÎ1,N.

      Величина s_ij = E[(r_i-x_i)(r_j-x_j)] – коэффициент ковариации, характеризует линейную зависимость между доходностью ценных бумаг i-го и j-го вида, а V= {s_ij} – матрица ковариаций. Величину s_p – среднеквадратическое отклонение, называют степенью неопределенности или риском портфеля, а измеряется она в тех же единицах, что и доходность портфеля. Параметры s_p, являются ключевыми в теории портфеля.

      Перед инвестором стоит задача – найти портфель, имеющий минимальный риск s_p при заданной доходности .

      Для выбора наиболее приемлемого для  инвестора портфеля ценных бумаг можно использовать кривые безразличия. Располагая информацией об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальный доход.

      Рассмотрим  отношение инвестора к риску  и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск s_p, а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность . Таким образом, получим семейство кривых безразличия, изображенные на рисунке 1.

 

Рисунок 1 – Кривые безразличия 

      Инвестор  должен выбирать портфели, лежащие на кривой безразличия, расположенной выше и левее всех остальных кривых. А оптимальный портфель находится в точке касания одной из кривых безразличия и множества эффективных портфелей.

      Определение кривой безразличия клиента является нелегкой задачей. На практике ее можно получить в косвенной или приближенной форме, определяемой как наибольший риск, который инвестор готов принять для данного увеличения ожидаемой доходности. 
 

      1.2.2 Индексная модель Шарпа 

      В 1960-х годах Уильям Шарп осуществил регрессионный анализ рынка акций  США. Для избежания высокой трудоемкости Шарп предложил индексную модель. Фактически он не разработал нового метода составления портфеля, а лишь упростил известный таким образом, чтобы приближенное решение могло быть найдено со значительно меньшими усилиями. Шарп ввел b-фактор, который играет особую роль в современной теории портфеля. 

       , 

      где _iM – ковариация между темпами роста курса ценной бумаги i-го вида и темпами роста рынка;

      s²_M – дисперсия доходности рынка.

      В индексной модели Шарпа используется корреляция между изменением курсов отдельных акций. Предполагается, что необходимые данные можно приблизительно определить при помощи всего лишь одного базисного фактора и отношений, связывающих его с изменением курсов отдельных акций. Как правило, за такой фактор берется значение какого-либо индекса. Зависимость доходности ценной бумаги от индекса описывается формулой  

       х , 

      где r_i – доходность ценной бумаги i вида за данный период;

      r_I – “доходность” рыночного индекса I за этот же период;

      a_iI – коэффициент смещения;

      b _iI – коэффициент наклона;

      e _iI – случайная погрешность.

      Как следует из уравнения, коэффициент бета ценной бумаги можно интерпретировать как наклон линии. Если этот коэффициент был постоянным от периода к периоду, то “историческую бету” бумаги можно оценить путем сопоставления прошлых данных о соотношении доходности рассматриваемой бумаги и доходности рынка (индекса). Статистическая процедура для получения таких апостериорных значений коэффициента бета представляет собой расчет линейной регрессии.

      Уравнение, записанное без случайной погрешности, является уравнением линейной регрессии. Поэтому параметр бета является коэффициентом регрессии и может быть определен по формуле  

       , 

      где x_j – доходность рынка в j-й период времени;

      y_j – доходность ценной бумаги в j-й период времени;

      k – количество периодов.

      По  Шарпу показатель альфа (его также называют сдвигом) определяет составляющую доходности бумаги, которая не зависит от движения рынка. Его можно найти по формуле 

        

      В соответствие с одной из точек  зрения, альфа является своего рода мерой недо- или переоценки рынком данной бумаги.

      Случайная погрешность e показывает, что индексная модель Шарпа не очень точно объясняет доходности ценной бумаги. Разность между действительным и ожидаемым значениями при известной доходности рыночного индекса приписывается случайной погрешности. Эту погрешность можно рассматривать как случайную переменную, которая имеет распределение вероятностей с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением, вычисляемым по формуле  

        

      Истинное  значение коэффициента бета ценной бумаги невозможно установить, можно лишь оценить это значение. Так что даже если бы истинное значение коэффициента бета оставалось постоянным всегда, его оценка, полученная по методу наименьших квадратов, все равно бы менялась бы во времени из-за ошибок при оценке – ошибок выборки. Стандартная ошибка бета служит для оценки величины таких ошибок и определяется по формуле  

        

      Аналогично  стандартная ошибка для альфа  дает оценку величины отклонения прогнозируемого значения от истинного, и определяется в соответствии с формулой  

        

      Для характеристики конкретной ценной бумаги используются и другие параметры. R-squared (R²), или коэффициент детерминации, равен квадрату коэффициента корреляции доходности бумаги и рынка. Его можно определить из соотношения 

        

      R-squared меняется от нуля до единицы и определяет степень согласованности движения рынка и бумаги. Если этот коэффициент равен единице, то бумага полностью коррелирует с рынком, если равен нулю, то движение рынка и бумаги абсолютно независимы.

      Ошибки  показателей бета и альфа определяются непосредственно ошибкой регрессионной  модели. Естественно, в первую очередь  они зависят от глубины расчета. На западных рынках значения a, b, R² регулярно рассчитываются для всех ценных бумаг и публикуются вместе с индексами. Пользуясь этой информацией, инвестор может сформировать собственный портфель ценных бумаг. На российском рынке профессионалы постепенно тоже начинают использовать a-, b-, R²-анализ. 
 
 

      1.2.3 Алгоритм Элтона-Грубера-Падберга 

      Предполагается, что доходность ценной бумаги может  быть описана рыночной моделью (индексной моделью Шарпа), а также, что существует возможность безрискового заимствования и кредитования по ставке r₀. Искомым портфелем будет являться портфель, для которого параметр g будет максимальным. Метод разработан Элтоном, Грубером и Падбергом .

      Для поиска  такого портфеля применяется  следующий пятишаговый алгоритм:

   a) Упорядочить ценные бумаги в порядке убывания отношений доходности к коэффициенту β: 

       , 

      где r_i – ожидаемая доходность i-й ЦБ;

      r₀ – безрисковая ставка;

      b_iI – коэффициент бета.

      Числитель этого выражения представляет собой  ожидаемое «вознаграждение» за приобретение ценной бумаги, а знаменателем является соответствующий ей b-коэффициент.

   b) Начиная с ЦБ, имеющей наибольшее RVOLi, добавлять ценные бумаги одну за другой и вычислять Fi, определяемый с помощью формулы  

       ,