Теория катастроф

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕФЕРАТ

 

«Теория катастроф»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Содержание

 

 

Введение 3

1 Термины  и история 4

2 Классификация  катастроф 4

2.1 Катастрофа  типа «Складка» 6

2.2 Катастрофа  типа «Сборка» 7

2.3 Катастрофа  типа «Ласточкин хвост» 8

2.4 Эллиптическая  омбилика 9

3 Демонстрация  катастрофического процесса в  механической системе 10

4 Машина катастроф 13

Заключение 15

Список использованных источников 16

 

 

 

Введение

 

А что, если сейчас день и ночь поменяются местами, мы сможем дышать под водой, и время  пойдет назад? Абсурдно? Невероятно? Мы привыкли думать, что завтра снова взойдет солнце, а под ногами будет твердая поверхность Земли. Исходя из этого, мы планируем свои действия, формируем образ жизни и приоритеты.

Такая «бытовая»  точка зрения на устойчивость мира отразилась в науке XVIII века в процессе создания классического естествознания. Его основой стал математический язык дифференциального и интегрального исчислений. Считалось, что все зависимости можно описать непрерывными функциями, для которых характерно небольшое изменение значения функции при малых приращениях аргументов. Логично: приложено чуть больше усилий – получен чуть больший результат. Более того, если математические модели не отвечали этим условиям, то они считались некорректными, а значит, лишенными реального содержания.

Но как  быть с маленьким камешком, который  при падении вызвал мощнейший горный обвал? Легкий поворот выключателя приводит в действие управляющие механизмы, и открываются створки плотины, огромные потоки воды обрушиваются на лопатки турбин, заставляя крутиться многотонный вал генератора. Наука и техника открыли множество примеров скачкообразного изменения системы при малых воздействиях, но, как ни странно, на наши представления об окружающем мире до недавнего времени это почти не влияло.

Лишь  в XX веке появились серьезные работы, посвященные проблеме неустойчивости мира, как системы. Одной из математических теорий, описывающих резкие переходы состояний системы, стала теория катастроф. Важным достоинством этой теории является то, что она не требует подробных математических моделей и может «качественно», а не «количественно» описывать ситуаций, ее результаты и выводы иллюстрируются простыми геометрическими образами.

Рассмотрим  теорию катастроф подробнее.

 

 

1 Термины и история

 

Теория  катастроф – раздел математики, включающий в себя теорию бифуркаций дифференциальных уравнений (динамических систем) и теорию особенностей гладких отображений.

Теория  бифуркации динамических систем — это теория, которая изучает изменения качественной картины разбиения фазового пространства, в зависимости от изменения параметра (или нескольких параметров).

Фазовое пространство в математике и физике — пространство, на котором представлено множество всех состояний системы, так, что каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства.

Катастрофа (в данном контексте) означает резкое качественное изменение объекта  при плавном количественном изменении  параметров, от которых он зависит.

Термины «катастрофа» и «теория катастроф» были введены Рене Томом и Кристофером  Зиманом в конце 1960-х – начале 1970-х годов.

Первые  фундаментальные результаты в области  динамических систем, относящиеся к теории катастроф, принадлежат А. Пуанкаре (метод нормальных форм в теории дифференциальных уравнений) и А.А. Андронову (бифуркации динамических систем). Основы теории особенностей гладких отображений были заложены, прежде всего, в трудах американского тополога Хасслера Уитни в 1940-х — 1950-х годах, которым предшествовала лемма Морса о нормальной форме функции в окрестности невырожденной критической точки.

В конце 1960-х развитием этого направления занялся известный французский математик и филдсофский лауреат 1958 года Рене Том. Однако популярность к идеям Уитни и Тома пришла благодаря нескольким публикациям К. Зимана в 1970-х, который активно пропагандировал теорию катастроф, сравнивая её значение с изобретением математического анализа и говоря о «революции в математике». Бурное развитие теории катастроф в 1970-е — 1990-е годы связано с деятельностью Дж. Боардмана, Е. Брискорна, Дж. Брюса, Дж. Мазера, Б. Мальгранжа, Р. Тома, Т. Волла, К. Зимана и особенно В. И. Арнольда и его учеников.

 

2 Классификация катастроф

 

Теория  катастроф анализирует критические  точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю производные более  высокого порядка. Динамика развития таких  точек может быть изучена при  помощи разложения потенциальной функции  в рядах Тейлора посредством  малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют  структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, так называемых типов элементарных катастроф. Им можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко).

Структура элементарной катастрофы (Рисунок 1) состоит из пространства управления (определяет управляющие параметры системы), пространства переменных состояния (определяет внутренние параметры системы) и поверхности отклика.

 

Рисунок 1 – Структура элементарной катастрофы

 

Всякая  комбинация значений управляющих параметров определяет точку в пространстве управления. Над данной точкой на высоте, равной значению переменной состояния для заданных управляющих параметров, находится точка поверхности отклика (Рисунок 2). Бифуркационное множество располагается под складкой и представляет собой множество значений в пространстве управления, при которых число возможных откликов меняется. При этих значениях возможны внезапные изменения откликов.

 

Рисунок 2 – Графическое представление катастрофы типа «Сборка»

 

Далее рассмотрим некоторые из семи фундаментальных типов катастроф, известных под названиями, которые дал им Рене Том.

 

2.1 Катастрофа типа «Складка»

 

Катастрофа  типа «Складка» задается стандартной деформацией

 

(1.1)

 

Пространство  управления (ось a) и пространство переменных составляющих (ось х) одномерны, таким образом, поверхность отклика двумерна. Кривая отклика (Рисунок 3) – проекция поверхности отклика на пространство управления определяется уравнением

 

(1.2)

 

Это уравнение  параболы состоит из двух ветвей. Верхняя ветвь определяет устойчивое положение системы, а нижняя – неустойчивое состояние. Проекция точки складки на пространство управления задает бифуркационное множество или точку отображения катастрофы.

 

Рисунок 3 – Кривая отклика

 

2.2 Катастрофа типа «Сборка»

 

Катастрофа  типа «Сборка» задается стандартной деформацией

 

(2.1)

 

Пространство  управления двумерно (оси a и b), а пространство переменных состояний (ось х) одномерно, таким образом, поверхность отклика сборки трехмерно. Многообразие катастрофы задается уравнением

 

(2.2)

 

Катастрофа  типа «Сборка» состоит из двух линий складок. Проекция этих складок на пространство управления формирует бифуркационное множество, описываемое кривой С. Бифуркационное множество содержит особую точку О – точку сборки. Таким образом, пространство управления разбивается на две области: Е и I . В области Е одному значению пространства управления соответствует одно значение (х) на поверхности отклика. В области I одному значению пространства управления соответствует три значения (х₁, х₂, х₃) на поверхности отклика. Бифуркационному множеству кривой С соответствует два значения (х₁, х₂) на поверхности отклика. Заметим, что на бифуркационном множестве происходит изменение числа точек, характеризующих состояние системы.

 

E

I

C

C

O.

Рисунок 4  - Проекция поверхности отклика катастрофы типа «Сборка» на пространство управления

 

2.3 Катастрофа типа «Ласточкин хвост»

 

Катастрофа  типа «Ласточкин хвост» задается стандартной деформацией

 

(3.1)

 

Пространство  управления трехмерно (оси a,b и c), а пространство переменных состояний (ось х) одномерно. Такую  катастрофу можно изобразить только в четырех измерениях, поэтому соответствующее бифуркационное множество (Рисунок 5) состоит из поверхности складок, линий сборок и линии самопересечения. Вдоль линии самопересечения функция деформации имеет две различные точки перегиба. Плоскость складок имеет форму параболы. Многообразие катастрофы задается уравнением

 

(3.2)

 

Рисунок 5 – Бифуркационное множество катастрофы типа «Ласточкин хвост»

 

 

2.4 Эллиптическая омбилика

 

Деформацию  можно представить в виде

 

(6.1)

 

В этом случае пространство управления трехмерно (оси  a, b, c), а пространство переменных состояний двумерно (оси x,y).

Многообразие  катастрофы задается парой уравнений

 

(6.2)

 

Оно имеет  три кривые, представляющие собой  конгруэнтные параболы (Рисунок 6), плоскости которых наклонены друг к другу под углом 120 градусов. Вне этих кривых имеются лишь точки складок. Вся поверхность в целом является образом двойного конуса. Точкой вершины конуса является обезьянье седло. Пространство внутри конуса соответствует трем седлам. Правый конус дает минимум, а, следовательно, устойчив. Левый конус дает максимум, что соответствует неустойчивому состоянию системы.

 

Рисунок 6 – Эллиптическая омбилика

 

 

3 Демонстрация катастрофического процесса в механической системе

 

Концы гибкой линейки закреплены между двумя  опорами. Расстояние между опорами  начинает сокращаться (Рисунок 7), при этом линейка прогибается вверх. Если в таком положении поставить на линейку емкость и начать заполнять ее песком (Рисунок 8), увеличивая нагрузку, прогиб линейки начнет плавно изменяться. При некоторой критической величине прогиба линейка скачком изменит свой прогиб вниз (Рисунок 9). Дальнейшее увеличение нагрузки приводит к плавному увеличению вниз.

 

Рисунок 7 – Процесс деформации линейки путем сокращения расстояния между опорами

 

 

Рисунок 8 – Установленная на линейке емкость с песком

 

 

 

Рисунок 9 – Скачкообразное изменение прогиба линейки при плавном изменении нагрузки

 

Таким образом, плавное изменение нагрузки, которое  называется управляющим параметром, приводит к скачкообразному или  катастрофическому изменению состояния  системы или ее внутреннего параметра. Теперь, если убрать нагрузку, то линейка  не вернется в исходное состояние  с прогибом вверх. Чтобы линейка  снова получила прогиб вверх, необходимо приложить силу равную по модулю и противоположную по направлению первоначальной (Рисунок 10).

 

Рисунок 10 – Схема зависимости деформации линейки от силы

 

Для объяснения скачкообразного состояния процесса обратимся к понятию энергии. Рассмотрим шарик, катящийся вдоль  направления, характеризующего изменение  энергии системы (Рисунок 11). Чем выше находится шарик, тем больше его потенциальная энергия, и, чтобы уменьшить ее, шарик будет скатываться вниз до тех пор, пока его энергия не станет минимальной. Такое состояние системы называется устойчивым состоянием равновесия. По мере того как шарик удаляется от начального положения, он теряет всё больше и больше энергии. Такое состояние является неустойчивым.

Рисунок 11 – Устойчивое (слева) и неустойчивое (справа) состояния равновесия

 

Рассмотрим  энергию в различных точках кривой зависимости нагрузки от прогиба  линейки (Рисунок 12). В точке А зависимость запасенной энергии от прогиба имеет вид потенциальной ямы. В точке В возникает точка прогиба, которая лежит слева от минимума в точке С. Далее, точка перегиба Е становится максимумом, и энергия имеет два минимума, соответствующих двум устойчивым положениям F и D и одному неустойчивому – E. В точке Н наблюдается два устойчивых положения, потенциальная энергия одного из которых увеличивается и в точке перегиба Н. Система испытывает катастрофический скачок в состояние G. При дальнейшем увеличении нагрузки остается один минимум энергии, соответствующий одному устойчивому состоянию системы I.

Рисунок 12 –  Энергия в различных точках кривой зависимости нагрузки от прогиба  линейки

 

При нулевой  нагрузке кривая изменения энергии  имеет W-образную форму (Рисунок 13). Точка D соответствует прогибу линейки вниз, точка Е соответствует нулевому прогибу, а точка F соответствует прогибу вверх. Теперь становится понятным, почему линейка сохранила прогиб вниз после прекращения действия критической нагрузки. Для прогиба вверх линейка должна преодолеть энергетический барьер (Рисунок 14).