Теория катастроф

 

Рисунок 13 –  Кривая изменения энергии при  нулевой нагрузке

 

Рисунок 14 – Энергетический барьер между новым состоянием и исходным

 

4 Машина катастроф

 

Для наглядной  иллюстрации применения теории катастроф изобретен ряд приспособлений. Одним из таких простейших приспособлений является машина катастроф Зимана (Рисунок 15).

 

Рисунок 15 – Схема машины катастроф Зимана

 

Машина катастроф состоит из доски (А), диска (В), прикрепленного в центре (С) к доске так, чтобы он мог свободно вращаться, иглы (D) и (Е), двух лент из легко растяжимой резины (F, G), карандаша (Н) и листа бумаги (I).

После того как игла на краю диска соединена с неподвижной иглой и с карандашом резинками, поставим острие карандаша в некоторой точке на листе бумаги, натянув резинки. Диск устанавливается в некотором положении. Теперь при движении острия карандаша диск будет поворачиваться. Оказывается, при некоторых положениях острия карандаша малое изменение его положения способно вызвать «катастрофу», т. е. скачок диска в новое положение. Если отметить на листе бумаги места всех таких «катастроф», то получается «кривая катастроф» (К).

Оказывается, что полученная кривая катастроф  сама имеет четыре точки возврата. При пересечении кривой катастроф  скачок может происходить, а может  и не происходить, в зависимости от того, по какому пути острие карандаша обходило точки возврата кривой катастроф.

Состояние машины катастроф описывается тремя  числами. Действительно, положение острия карандаша задается двумя координатами (управляющими параметрами). Положение диска определяется углом поворота (внутренним параметром системы). Если все три числа заданы, то определены степени растяжения резинок и, следовательно, определена потенциальная энергия всей системы. Диск поворачивается так, чтобы эту энергию минимизировать.

Рассмотрим  трехмерное пространство состояний  машины. Состояния, при которых диск находится в равновесии, образуют в этом пространстве гладкую поверхность. Спроектировав эту поверхность на плоскость управляющих параметров вдоль оси внутреннего параметра, мы увидим проекции точек складок - это и есть кривая катастроф. Используя эту проекцию, можно переходить с одного места поверхности равновесий на другое без скачков.

В большинстве применений теории катастроф предполагается, что изучаемый процесс описывается при помощи некоторого числа управляющих и внутренних параметров. Состояния равновесия процесса образуют поверхность того или иного числа измерений в этом пространстве. Проекция поверхности равновесий на плоскость управляющих параметров может иметь особенности. Предполагается, что это — особенности общего положения. В таком случае теория предсказывает геометрию «катастроф», т. е. перескоков из одного состояния равновесия в другое при изменении управляющих параметров.

Предсказания теории бывают более или менее обоснованными в зависимости от степени обоснованности исходных посылок. Например, в теории хлопков упругих конструкций и в теории опрокидывания кораблей предсказания полностью подтверждаются экспериментом. С другой стороны, в биологии, психологии и социальных науках (например, в приложениях к теории поведения биржевых игроков или к изучению нервных болезней) как исходные предпосылки, так и выводы имеют скорее эвристическое значение.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

 

Для меня теория катастроф стала  настоящим открытием, сорвавшим  еще один ярлык с термина «катастрофа». Оказалось, что это не только разрушительные природные явления, но и повседневные процессы, окружающие нас. Создание и развитие этой части математического анализа связано с широкими возможностями наглядного анализа некоторых сложных явлений, особенно тех, которые встречаются при описании самых разных естественных явлений (радуга, каустика, устойчивость сложных систем, поведение в этологии, и даже бунты в тюрьмах). Теория катастроф – это математическая дисциплина, и сама по себе она не может ни предотвратить резкое ухудшение обстановки, ни обеспечить быстрый выход из застоя. Но, как любая теория, она позволяет глубже познать суть вещей, явлений и процессов реального мира. С точки зрения математики катастрофа совсем не обязательно цунами, техногенная авария или еще что-нибудь подобное, это резкая перестройка системы, качественный скачок ее состояния: неожиданный поворот событий, социальная революция, экономический бум. И очень важно найти нужный путь, не дающий «застрять» в кризисе.

 

 

 

Список  использованных источников

 

1 Теория катастроф. URL: http://ru.wikipedia.org/

2 Арнгольд В.И. Теория катастроф. – 3-е изд., доп. – М.: Наука. Гл. ред. физ. –мат. лит., 1990. – С. 128.

3 Смирнов Г.В. Страшные и нестрашные катастрофы Рене Тома // Журнал «Техника – молодежи». 1978. №12. С. 18-21.