Динамика цен на нефть на мировом рынке (1993- 2008 гг.)

 

 

На основе графика можно предварительно делать вывод, что между  У и  Х₂ существует прямая линейная корреляционная зависимость, поскольку с ростом значения Х₂, значение У в среднем возрастает. В этом случае степень зависимости можон проверять с помощью парного коэффициента зависимости. Поскольку зависимость прямая коэффициент получится положительным.

 

 

Если с помощью формулы посчитать, то получилось r_xy =0.99952 . Это означает очень высокую зависимость.

Проверка занчимости:

Н₀: факторы независимы

Н₁: существует линейная корреляционная зависимость.

 

    ; n=16  → t_н = 120.123

По таблицу Стьюденту t_{кр(0,05;14)}=1,761

t_{н  >} t_кр → принимается гипотеза Н₁: х₂ статистически значим, факторы зависимы.

 

 

 

Построение  корреляционного поля для У и  Х₃

 

Y	16,33	15,33	16,86	20,29	18,68	12,28	17,48	27,6	23,12	24,36	28,1	36,05	50,64	61,08	69,08	94,45	44,66
X3	14,08	14,56	16,26	18,49	18	11,45	16,93	26,02	21,67	23,09	26,34	33,06	47,99	59,27	67,06	94,2	43,92

 

 

 

На основе графика можно предварительно делать вывод, что между  У и  Х₃ существует прямая линейная корреляционная зависимость, поскольку с ростом значения Х₃, значение У в среднем возрастает. В этом случае степень зависимости можон проверять с помощью парного коэффициента зависимости. Поскольку зависимость прямая коэффициент получится положительным.

 

 

Если с помощью формулы посчитать, то получилось r_xy = 0.99944. Это означает очень высокую зависимость.

Проверка занчимости:

Н₀: факторы независимы

Н₁: существует линейная корреляционная зависимость.

 

  ; n=16  → t_н = 111.523

По таблицу Стьюденту t_{кр(0,05;14)}=1,761

t_{н  >} t_кр → принимается гипотеза Н₁: х₃ статистически значим, факторы зависимы.

 

Построение  корреляционного поля для У и  Х₄

 

Y	16,33	15,33	16,86	20,29	18,68	12,28	17,48	27,6	23,12	24,36	28,1	36,05	50,64	61,08	69,08	94,45
X4	14,93	14,74	16,1	18,58	18,1	12,15	17,24	26,25	22,83	23,83	26,77	33,66	49,36	61,54	68,38	93,85

 

 

 

 

 

На основе графика можно предварительно делать вывод, что между  У и  Х₄ существует прямая линейная корреляционная зависимость, поскольку с ростом значения Х₄, значение У в среднем возрастает. В этом случае степень зависимости можон проверять с помощью парного коэффициента зависимости. Поскольку зависимость прямая коэффициент получится положительным.

 

 

Если с помощью формулы посчитать, то получилось r_xy =0.99957. Это означает очень высокую зависимость.

Проверка занчимости:

Н₀: факторы независимы

Н₁: существует линейная корреляционная зависимость.

 

  ; n=16  → t_н = 127.879

По таблицу Стьюденту t_{кр(0,05;14)}=1,761

t_{н  >} t_кр → принимается гипотеза Н₁: х₄ статистически значим, факторы зависимы.

 

2.Построение и анализ  модели регрессии

 

На данном этапе необходимо определить набор факторов, которые будут включены в модель регрессии. Отбор факторов осуществляется на основе метода корреляционного анализа, который сделани на 2-м этапе данной работы.

Метод последовательного исключения факторов: отбор факторов при построении модели осуществляется на основе t – статистик.

На начальном этапе  строится регрессионная модель, включающая все факторные переменные. Потом производится оценка коэффициентов регрессии, для всех коэффициентов определяется t – статистика. Если в построенной модели все | t-статистика | > t-табличное и модель адекватна по другим критериям, то процесс построения модели завершается.

Если же  в модели для  некоторых факторов | t-статистика | < t-табличное, то из модели исключается только один фактор из данной группы переменных, тот, у которого | t-статистика | будет минимальным. Далее производится перерасчет модели регрессии с учетом оставшихся факторных переменных. Снова проводится оценка коэффициентов регрессии, и так до тех пор, пока не будет построена хорошая по статистическим качествам модель. В нашем случае, в результате метода последовательного исключения получилась четырехфакторная модель:

Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃+ a₄X_{4 .}

Для выбранной формы модели, а именно Y = a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃+ a₄X₄ необходимо определить численные значения параметров модели. Содержательный смысл коэффициентов состоит в том, что они показывают, на сколько изменится значение результативного признака при изменении соответствующего фактора на единицу, при условии, что все остальные факторные признаки останутся без изменений.

Численные значения параметров модели находятся путем решения  системы нормальных уравнений, которая  составляется исходя из требований метода  наименьших квадратов.

В результате решения системы  нормальных уравнений находятся  численные значения параметром модели регрессии. Они являются оценками параметров истинной регрессии.

1. Первоначально наше уравнение  имеет следующий вид:

ζ = Y – (a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃ + a₄X₄)

                Y – это фактическое значение Y

Ŷ = (a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃ + a₄X₄) – теоретическое значение Y

2. Возведем это уравнение в  квадрат:

ζ² = (Y – (a₀ + a₁X₁ + a₂X₂ + a₃X₃ + a₄X₄))² = Y² – 2 Y (a₀ + a₁ X₁ + a₂ X₂ +a₃X₃ + a₄ X₄) + ((a₀ + a₁ X₁ + a₂ X₂ + a₃ X₃  + a₄X₄)² = Y² - 2 a₀Y – 2 a₁ X₁ Y – 2 a₂ X₂ Y - 2 a₃ X₃ Y + (a₀ + a₁ X₁)² + 2(a₀ + a₁ X₁)( a₂ X₂ + a₃ X₃) + (a₂ X₂ + a₃ X₃)² = Y² - 2 a₀Y - 2 a₁ X₁ Y - 2 a₂ X₂ Y - 2 a₃ X₃ Y - 2 a₄ X₄ Y + a₀ ² + 2a₀ a₁ X₁  + a₁ ²X₁² + 2a₀ a₂ X₂  + 2a₀ a₃ X₃ + 2a₀ a₄ X₄  + 2a₁ X₁ a₂ X₂  + 2a₁ X₁ a₃ X₃ + 2a₁ X₁ a₄ X₄  + a₂²X₂² + 2a₂ X₂ a₃ X₃ + 2a₂ X₂ a₄ X₄ + 2a₃ X₃ a₄ X₄  + a₃²X₃²+ a₄²X₄²

3. Найдем сумму:

Σ Y² - 2 a₀ ΣY – 2 a₀ Σ X₁Y – 2 a₂ Σ X₂Y - 2 a₃ Σ X₃Y - 2 a₄ Σ X₄Y + na₀ + 2a₀ a₁ Σ X₁  +

a₁²Σ X₁² + 2a₀ a₂ Σ X₂  + 2a₀ a₃ Σ X₃ + 2a₀ a₄ Σ X₄  + 2a₁ a₂ Σ X₁X₂  + 2a₁ a₃ Σ X₁X₃  +

2a₁ a₄ Σ X₁X₄  + a₂² Σ X₂² + 2a₂ a₃ Σ X₂X₃ + 2a₂ a₄ Σ X₂X₄ + 2a₃ a₄ Σ X₃X₄  + a₃² Σ X₃² +

a₄² Σ X₄²

Необходимым условием существования  экстремума функции является равенство  нулю первых частных производных.

4. Найдем первые частные производные:

δf / δa₀ = -2 Σ Y + 2n a₀ + 2 a₁ Σ X₁ + 2 a₂ Σ X₂ + 2 a₃ Σ X₃  + 2 a₄ Σ X₄

δf / δa₁ = -2 Σ X₁ Y + 2 a₀ Σ X₁ + 2 a₁ Σ X₁ ² +  2 a₂ Σ X₁ X₂ + 2 a₃ Σ X₁ X₃+ 2 a₄ Σ X₁ X₄

δf / δa₂ = -2 Σ X₂ Y + 2 a₀ Σ X₂ + 2 a₁ Σ X₁ X₂ + 2 a₂ Σ X₂ ² + 2 a₃ Σ X₂ X₃ + 2 a₄ Σ X₂ X₄

δf / δa₃ = -2 Σ X₃ Y + 2 a₀ Σ X₃ + 2 a₁ Σ X₁ X₃ + 2 a₂ Σ X₂ X₃  + 2 a₃ Σ Х₃ ²  + 2 a₄ Σ X₃ X₄

δf / δa₄ = -2 Σ X₄ Y + 2 a₀ Σ X₄ + 2 a₁ Σ X₁ X₄ + 2 a₂ Σ X₂ X₄  + 2 a₃ Σ X₃ X₄ + 2 a₄ Σ Х₄² 

 

5. Приравняем производные к нулю  и перенесем переменные с  Y в правую часть уравнений:

n a₀ + a₁ Σ X₁ + a₂ Σ X₂ + a₃ Σ X₃ + a₄ Σ X₄  =  Σ Y

a₀ Σ X₁ + a₁ Σ X₁ ² +  a₂ Σ X₁ X₂ + a₃ Σ X₁ X₃ + a₄ Σ X₁ X₄  =  Σ X₁ Y

a₀ Σ X₂ + a₁ Σ X₁ X₂ + a₂ Σ X₂ ² + a₃ Σ X₂ X₃ + a₄ Σ X₂ X₄  = Σ X₂ Y

a₀ Σ X₃ + a₁ Σ X₁ X₃ + a₂ Σ X₂ X₃  + a₃ Σ₃ ² + a₄ Σ X₃ X₄  = Σ X₃ Y

a₀ Σ X₄ + a₁ Σ X₁ X₄ + a₂ Σ X₂ X₄  + a₃ Σ X₃ X₄ + a₄ Σ₄ ² = Σ X₄ Y

6. Для нахождения параметров  четырехфакторной модели линейного  тренда система нормальных уравнений имеет следующий вид:

 

n a₀ + a₁ Σ X₁ + a₂ Σ X₂ + a₃ Σ X₃ + a₄ Σ X₄  =  Σ Y

a₀ Σ X₁ + a₁ Σ X₁ ² +  a₂ Σ X₁ X₂ + a₃ Σ X₁ X₃ + a₄ Σ X₁ X₄  =  Σ X₁ Y

a₀ Σ X₂ + a₁ Σ X₁ X₂ + a₂ Σ X₂ ² + a₃ Σ X₂ X₃ + a₄ Σ X₂ X₄  = Σ X₂ Y

a₀ Σ X₃ + a₁ Σ X₁ X₃ + a₂ Σ X₂ X₃  + a₃ Σ₃ ² + a₄ Σ X₃ X₄  = Σ X₃ Y

a₀ Σ X₄ + a₁ Σ X₁ X₄ + a₂ Σ X₂ X₄  + a₃ Σ X₃ X₄ + a₄ Σ₄ ² = Σ X₄ Y

 

Из решения системы нормальных уравнений мы получаем оценки коэффициентов, которые принято называть параметрами прогнозного уравнения.

 

Матрица системы нормальных уравнений:

n	Σ X1	Σ X2	Σ X3	Σ X4	Σ Y
Σ X1	Σ X12	Σ X1X2	Σ X1X3	Σ X1X4	Σ X1Y
Σ X2	Σ X1X2	Σ X22	Σ X2X3	Σ X2 X4	Σ X2Y
Σ X3	Σ X1X3	Σ X2X3	Σ X32	Σ X3X4	Σ X3Y
Σ X4	Σ X1X4	Σ X2X4	Σ X3X4	Σ X42	Σ X4Y

                                                                                               Таблица №3

 

По расчету на Excel:

 

n	16		Σ X1Y	25805,33
Σ X1	526,85		Σ X2X2	28113,91
Σ X2	546,24		Σ X2X3	26189,89
Σ X3	508,47		Σ X2X4	26589,46
Σ X4	518,31		Σ X2Y	27014,86
Σ Y	531,93		Σ X3X3	24411,43
Σ X1X1	25638,67		Σ X3X4	24775,35
Σ X1X2	26842,40		Σ X3Y	25171,85
Σ X1X3	25012,04		Σ X4X4	25152,05
Σ X1X4	25391,84		Σ X4Y	25554,6

                                                                                                                    Таблица №4