Динамика цен на нефть на мировом рынке (1993- 2008 гг.)

 

 

 

Таким образом матрица системы  нормальных уравнений принимает следующий вид:

 

a0	a1	a2	a3	a4	Y
16	526,85	546,24	508,47	518,31	531,93
526,85	25638,67	26842,40	25012,04	25391,84	25805,33
546,24	26842,40	28113,91	26189,89	26589,46	27014,86
508,47	25012,04	26189,89	24411,43	24775,35	25171,85
518,31	25391,84	26589,46	24775,35	25152,05	25554,6

                                                                                                   Таблица №5

Общий определитель = 4317635

 

 

a₀:

531,93	526,85	546,24	508,47	518,31
25805,33	25638,67	26842,40	25012,04	25391,84
27014,86	26842,40	28113,91	26189,89	26589,46
25171,85	25012,04	26189,89	24411,43	24775,35
25554,6	25391,84	26589,46	24775,35	25152,05

                                                    Таблица №6

Определитель а₀ = -412669

 

a_1:

16	531,93	546,24	508,47	518,31
526,85	25805,33	26842,40	25012,04	25391,84
546,24	27014,86	28113,91	26189,89	26589,46
508,47	25171,85	26189,89	24411,43	24775,35
518,31	25554,6	26589,46	24775,35	25152,05

Таблица № 7

Определитель а₁ =6851830

 

a_2:

16	526,85	531,93	508,47	518,31
526,85	25638,67	25805,33	25012,04	25391,84
546,24	26842,40	27014,86	26189,89	26589,46
508,47	25012,04	25171,85	24411,43	24775,35
518,31	25391,84	25554,6	24775,35	25152,05

Таблица №8

Определитель а₂ =350690.6

 

a_3:

16	526,85	546,24	518,31	531,93
526,85	25638,67	26842,40	25391,84	25805,33
546,24	26842,40	28113,91	26589,46	27014,86
508,47	25012,04	26189,89	24775,35	25171,85
518,31	25391,84	26589,46	25152,05	25554,6

                                                                                                  Таблица №9

Определитель а₃ =539232

 

 

a_4:

16	526,85	546,24	508,47	531,93
526,85	25638,67	26842,40	25012,04	25805,33
546,24	26842,40	28113,91	26189,89	27014,86
508,47	25012,04	26189,89	24411,43	25171,85
518,31	25391,84	26589,46	24775,35	25554,6

Таблица №10

Определитель а₄ = -2361488

 

a0 =	-0,09558	~-0,10
a1 =	1,586941	~1,59
a2 =	0,081223	~0,08
a3 =	0,124891	~0,12
a4 =	-0,54694	~-0,55

    Таблица №11

 

В результате мы получаем четырехфакторную модель регрессии следующего вида:

 

Y = -0,1+1,59X1+0,08X2+0,12X3-0,55X4

 

-0,095577647

1,58694077

0,08122285

0,124891

-0,54694

 

Анализ остатков: Остатками в регрессионной модели называется последовательный ряд чисел е_i, полученный как разности между фактическими значениями случайной величины Y и значениями Ŷ, полученных на основе модели регрессии путем подстановки в уравнение модели численных значений факториальных признаков, то есть е_i = Y – Ŷ (таблица № 12). Остатки с содержательной стороны можно объяснить как ту часть вариации признака Y, которую нельзя объяснить с помощью построенной модели. Эта та часть вариации Y, которая объясняется влиянием тех факторов, которые не включены в модель. Если влияние неучтенных факторов на Y довольно сильное и постоянное, то это будет сказываться на остатках. По величине остатков можно судить о качестве модели, о полноте набора включенных факторов, о правильности формы выбранной модели и т.д.

 

 

n	y	y^	ei
1993	16,33	239,88	-243,25
1994	15,53	240,44	-244,28
1995	16,86	239,84	-244,02
1996	20,29	238,09	-243,03
1997	18,68	239,09	-243,90
1998	12,28	242,72	-245,51
1999	17,48	240,00	-244,24
2000	27,6	234,59	-240,52
2001	23,12	237,17	-242,69
2002	24,36	236,61	-242,58
2003	28,1	234,69	-241,32
2004	36,05	230,47	-237,77
2005	50,64	222,61	-234,90
2006	61,08	217,03	-231,87
2007	69,08	212,78	-229,55
2008	94,45	199,03	-222,62

 

Таблица №12

На основе полученных величин остатков необходимо построить график остатков, отложив на оси абсцисс номер  наблюдения, а на оси ординат –  величину остатка.

Среди остатков иногда встречается  остаток, который по абсолютной величине значительно превосходит остальные остатки (не менее чем в 3 раза среднее значение остатков). Такие остатки называются выбросами.

                                           

 

Проверка наличия автокорреляции в остатках: Одним из требований к остаткам является отсутствие в них автокорреляции. Причинами автокорреляции являются следующие:

Проверка наличия автокорреляции в остатках осуществляется путем вычисления коэффициента Дарбина – Уотсона, который рассчитывается на основе следующего показателя:

Критерий Дарбина – Уотсона  принимает значение равное 0,8104, следовательно, используя затабулированные значения статистики, мы определяем, что в нашей регрессионной модели между остатками наблюдается автокорреляция.

                                                                                                             Таблица №13

ei	ei-ei-1	(ei-ei-1)2	ei2
-3,37			11,33615
-3,84	-0,47	0,2228	14,73712
-4,18	-0,34	0,1148	17,45389
-4,94	-0,76	0,5781	24,38473
-4,81	0,13	0,0172	23,10649
-2,79	2,02	4,0715	7,779199
-4,24	-1,45	2,0914	17,93753
-5,93	-1,70	2,8780	35,18549
-5,53	0,40	0,1636	30,55042
-5,97	-0,44	0,1939	35,61167
-6,63	-0,66	0,4390	43,95818
-7,30	-0,67	0,4467	53,26737
-12,28	-4,98	24,8500	150,8826
-14,84	-2,56	6,5424	220,2623
-16,78	-1,94	3,7466	281,4626
-23,60	-6,82	46,5100	556,8028

 

                                                    0.0609

 

По таблице Дарбина-Уотсана находим  значение заданного уровня значимости α=0,05 и числа наблюдений n=16 теоритические значения d_L и d_U. Они равны   d_L=0.74 и d_U=1.93

 

                             

 

В результате анализа остатков в  модели регрессии мы приходим к следующему выводу:  остатки не удовлетворяют  основным требованиям регрессионного анализа, необходимо вернуться к  исследованию спецификации модели на первом и втором этапах.

 

После процедуры анализа остатков можно перейти к проверке статистических гипотез относительно свойств регрессионной модели. На основе построенной по выборочным данным регрессионной модели можно проверить гипотезу о величине коэффициента регрессии генеральной совокупности. Чаще всего рассматривается гипотеза о равенстве коэффициента регрессии a_i нулю, то есть H_o: a_i = 0. Проверка этой гипотезы осуществляется с помощью t – статистики. На основе данных регрессионной модели рассчитывается показатель:

                                                     ,

где a_i - оценка  коэффициента регрессии ( i = 0, 1, 2, …,k), S_ai – оценка стандартной ошибки коэффициента регрессии a_i в модели:

                                            ,

 где e_i  - остатки,

n – число наблюдений

k – число включенных в модель факторов

b _jj – диагональный элемент обратной матрицы системы нормальных уравнений.

Отношение при выполнении предпосылок регрессионного анализа представляет собой случайную величину, характеризующуюся t – распределением. Поэтому вычисленные значения t можно сравнить с табличными значениями t для разных уровней значимости α и для разных степеней свободы n –k -1. Если | t – расчетное | ≥ t – табличное, то нулевую гипотезу H_o: a_i = 0 при выбранном уровне значимости нужно отвергнуть, как не согласующуюся с данными наблюдений. При этом считают, что коэффициент регрессии значимо отличается от нуля, и фактор вносит статистически значимый вклад в изменение результативного признака.

Если | t – наблюдаемое | < t – табличное, то гипотеза принимается и при заданном уровне значимости считается, что коэффициент регрессии a_i существенно не отличается от нуля. Это означает, что соответствующий этому коэффициенту фактор Х_i не вносит статистически значимого вклада в уравнение регрессии, при этом говорят, что коэффициент регрессии статистически не значим. Проверку статистической значимости осуществляют для всех коэффициентов модели регрессии. Если те или иные коэффициента модели статистически не значимы, то соответствующие им факторы можно исключить из модели, так как они не оказывают существенного воздействия на результативный признак.