Применение оптимизационных методов к решению экономических задач

Министерство  сельского хозяйства Российской Федерации

ФГОУ  ВПО  «Оренбургский государственный  аграрный университет» 
 

кафедра организации производства и 

моделирование экономических систем 
 
 

Реферативно-прикладное

исследование

Тема: «Применение  оптимизационных методов

к решению  экономических задач» 
 

                                                                           Выполнил:

                                                                                         студент 41 группы

                                                                  отделения экономика и                                                                                                                                                                              управление на предприятии

Олейник Татьяна 

Проверила:

Спешилова Н.В.  
 
 
 

Оренбург  – 2011 г.

    Цель  работы: Большое число экономических и планово-производственных задач связано с распределением различных ограниченных ресурсов (сырья, рабочей силы, энергии, топлива и т.п.). Часто распределение ресурсов можно провести не единственным образом. В связи с этим возникает стремление найти оптимальный вариант распределения, который гарантировал бы наибольший экономический эффект для предприятия, и, следовательно, получение большей прибыли. Методы математического программирования - основное средство решения задач оптимизации производственно-хозяйственной деятельности. Целью реферативно-прикладного исследования является описание различных оптимизационных методов: динамического программирования, сетевого планирования и управления, теории игр, теории массового обслуживания, параметрического программирования, а также изучение практического применения параметрического программирования к решению экономических задач. 

    Содержание

I Теоретические вопросы…………………………………………………………….3

1.1 Динамическое  программированием……………………………………………..3

1.2 Сетевое  планирование и управление……………………………………………7

1.3 Теория  игр ………………………………………………………………………11

1.4 Теория  массового обслуживания ……………………………………………...14

1.5 Параметрическое  программирование …………………………………………17

II Практические вопросы …………………………………………………………..21

2.1 Применение  параметрического программирования  к решению экономических задач ……………………………………………………………….21

Выводы ……………………………………………………………………………...25

Литература …………………………………………………………………………..27 
 

    I Теоретические вопросы

    1.1 Динамическое программирование

    Динамическое  программирование представляет собой  математический аппарат, позволяющий  осуществлять оптимальное планирование многошаговых управляемых процессов и процессов, зависящих от времени.

    Экономический процесс называется управляемым, если можно влиять на ход его развития. Управлением называется совокупность решений, принимаемых на каждом этапе  с целью влияния на ход процесса. В экономических процессах управление заключается в распределении и перераспределении средств на каждом этапе. Например, выпуск продукции – управляемый процесс, так как он определяется изменением состава оборудования, объемом поставок сырья, величиной финансирования и т. д. Совокупность решений, принимаемых в начале каждого года планируемого периода, по обеспечению предприятия сырьем, замене оборудования, размерам финансирования и т. д. является управлением. Выпуск продукции надо спланировать так, чтобы избежать нежелательных эффектов (например, быстрый износ оборудования при использовании его на полную мощность). Необходимо предусмотреть мероприятия, обеспечивающие пополнение оборудования по мере изнашивания, т. е. по периодам времени. Последнее хотя и приводит к уменьшению выпуска продукции, но обеспечивает в дальнейшем возможность расширения производства. Таким образом, экономический процесс выпуска продукции можно считать состоящим из нескольких этапов (шагов), на каждом из которых осуществляется влияние на его развитие.

    Началом этапа (шага) управляемого процесса считается момент принятия решения. Под этапом обычно понимают хозяйственный год. Однако динамическое программирование используется и в таких задачах, где время вообще не фигурирует.

    Планируя  многоэтапный процесс, исходят из интересов всего процесса в целом, т. е. при принятии решения на отдельном этапе всегда необходимо иметь в виду конечную цель.

    Предметом динамического программирования являются задачи оптимального планирования, носящие  динамический характер в том смысле, что при их решении приходится учитывать фактор времени или последовательность операций. Существенная особенность динамического программирования состоит в том, что решение любой задачи этим методом сводится к многоэтапному процессу нахождения оптимального решения. Это означает, что процесс поиска оптимального решения разбивается на относительно небольшие и, следовательно, легче поддающиеся решению подзадачи.

    Пусть предполагается к осуществлению  некоторое мероприятие или серию  мероприятий («операции»), преследующую определенную цель. Как нужно организовать (спланировать) операцию для того, чтобы она была наиболее эффективной? Для того, чтобы поставленная задача приобрела количественный, математический характер, необходимо ввести в рассмотрение некоторый численный критерий W, которым мы будем характеризовать качество, успешность, эффективность операции. Критерий эффективности в каждом конкретном случаи выбирается исходя из целевой направленности операции и задачи исследования (какой элемент управления оптимизируется и для чего).

    При постановке задач динамического  программирования следует руководствоваться  следующими принципами:

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.
2. Расчленить операцию на этапы (шаги).
3. Выяснить набор шаговых управлений x_i для каждого шага и налагаемые на них ограничения.
4. Определить какой выигрыш приносит на i-ом шаге управление x_i, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать «функцию выигрыша»:

    

.

5. Определить, как изменяется состояние системы S под влиянием управления x_i на i-ом шаге: оно переходит в новое состояние

    

 

6. Записать основное рекуррентное уравнение динамического программирования, выражающее условный оптимальный выигрыш W_i(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию W_i+1(S):

    

 

    Этому выигрышу соответствует условное оптимальное  управление на i-м шаге x_i(S) (причем в уже известную функцию W_i+1(S) надо вместо S подставить измененное состояние

    

 

7. Произвести условную оптимизацию последнего (m-го) шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле

    

 

8. Произвести условную оптимизацию (m-1)-го, (m-2)-го и т.д. шагов по формуле (1.3), полагая в ней i=(m-1),(m-2),…, и для каждого из шагов указать условное оптимальное управление x_i(S), при котором максимум достигается.

    Заметим, что если состояние системы в начальный момент известно, то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно - прямо находим оптимальный выигрыш для данного начального состояния S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию

    

 

9. Произвести безусловную оптимизацию управления, «читая» соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное оптимальное управление на первом шаге ; изменить состояние системы по формуле (1.2); для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге х₂^* и т.д. до конца.

    Отыскание оптимальной стратегии принятия набора последовательных решений, в большинстве случаях, производится следующим образом: сначала осуществляется выбор последнего во времени решения, затем при движении в направлении, обратном течению времени, выбираются все остальные решения вплоть до исходного.

    Методом динамического программирования решаются, например, задачи оптимального распределения  капиталовложений, замены оборудования, оптимального управления запасами и многие другие.

    Для большинства задач динамического  программирования классические методы анализа или вариационного исчисления оказываются неэффективными, так  как приводят первоначально поставленную задачу отыскания максимального  значения функции к задаче, которая не проще, а сложнее исходной. Достоинством динамического программирования является то, что, используя поэтапное планирование, оно позволяет не только упростить решение задач, но и решить те из них, к которым нельзя применить методы математического анализа. Упрощение решения достигается за счет значительного уменьшения количества исследуемых вариантов, так как вместо того, чтобы один раз решать сложную многовариантную задачу, метод поэтапного планирования предполагает многократное решение относительно простых задач. Однако динамическое программирование имеет и свои недостатки. В отличие от линейного программирования, в котором симплексный метод является универсальным, в динамическом программировании такого метода не существует. Каждая задача имеет свои трудности, и в каждом случае необходимо найти наиболее подходящую методику решения. Недостаток динамического программирования также заключается в трудоемкости решения многомерных задач.

    1.2 Сетевое планирование  и управление

    Система сетевого планирования и управления (СПУ) представляет собой комплекс графических и расчетных методов, организационных мероприятий с целью моделирования, анализа и оптимизации плана работ по проектированию или изготовлению некоторого изделия.

    Метод сетевого планирования и управления пригоден как в промышленности, так и в сельском хозяйстве.

    Методы  сетевого планирования и управления дают возможность:

    1. заранее планировать все действия, которые необходимо предпринять для достижения желаемого результата в будущем;

    2. предсказать вероятное время выполнения;

    3. улучшить план, если предсказанное  время выполнения является недостаточно  хорошим;

    4. проверить ход выполнения работ  по плану;

    5. использовать информацию о ходе работ для своевременного планирования времени и затрат.

    Особенность СПУ состоит в использовании новой, более совершенной формы представления плана, которая значительно облегчает его восприятие и упрощает процесс руководства работами. Сетевая модель дает больше информации, чем модели типа ленточных.

    Объектом  управления в системах СПУ является коллектив исполнителей, располагающий определенными материальными и денежными ресурсами и выполняющий комплекс работ, направленных на достижение конечного результата в установленные сроки.

    В основе сетевого моделирования лежит  изображение планируемого комплекса работ в виде графа. Граф – это схема, состоящая из заданных точек – вершин, соединенных определенной системой линий, которые также называются ребрами или дугами графа. В СПУ применяются связные, ориентированные графы без циклов, имеющие одну начальную и одну конечную вершину.

    Основные  понятия сетевой модели: событие, работа, путь.

    На  рис. 1 графически представлена сетевая модель, состоящая из 7 событий и 9 работ, продолжительность выполнения которых указана над работами.

    

    Рисунок 1.

    Работа характеризует любое действие, требующее затрат времени или ресурсов. Работами считаются и процессы, не требующие затрат времени и ресурсов, а устанавливающие зависимости выполнения работ. Такие работы называются фиктивными. Работа обозначается парой чисел (i,j) где i – номер события, являющимся начальным для данной работы, j – номер события, являющимся конечным для данной работы, в которое она входит. Каждая работа имеет свою продолжительность t(i,j). Работы на графах обозначаются дугами (стрелками), фиктивные работы обозначаются пунктирными стрелками.