Применение оптимизационных методов к решению экономических задач

    Событиями называются начало или завершение одной или нескольких работ. Они не имеют протяженности во времени. Событие совершается в тот момент, когда оканчивается последняя работа, входящая в него. На графе события изображаются кружками, внутри которых записывается номер события. В моделях СПУ имеется одно начальное событие (номер 0), одно конечное событие или завершающее (номер N) и промежуточные события (номер i).

    Путь – цепочка следующих друг за другом работ (дуг), соединяющих начальную и конечную его вершины. Полный путь L – путь, начало которого совпадает с начальным событием сети, а конец – с завершающим. Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей составляющих его работ. . Путь, имеющий максимальную продолжительность, называют критическим (обозначение L_кр). Продолжительность критического пути обозначается как t_кр_. Работы, принадлежащие критическому пути, называются критическими. Их несвоевременное выполнение ведет к срыву сроков всего комплекса работ.

    Сетевая модель должна удовлетворяет следующим  требованиям:

1. Не должно быть событий с одинаковыми номерами.
2. Для каждой работы (i,j) должно выполняться i <j
3. Должны быть только одно начальное и одно конечное события.
4. Должны отсутствовать циклы, т.е. замкнутые пути, соединяющие событие с ним же самим.

    При выполнении этих требований можно приступать к вычислениям числовых характеристик  СМ.

    При расчетах для сетевой модели определяются следующие характеристики ее элементов.

    Характеристики событий

    1. Ранний срок свершения события tp(0) = 0, tР(j) =тахi{tр(i) + t(ij)}, j=1—N характеризует самый ранний срок завершения всех путей, в него входящих.

    2. Поздний срок свершения события t_п(N) = t_р(N), t_п (i) = min_j {(t_п(j)–t(ij)}, i=1—(N-1) характеризует самый поздний срок, после которого остается ровно столько времени, сколько требуется для завершения всех путей, следующих за этим событием.

    3. Резерв времени события R(T) = t_п(i) – t_р(i) показывает, на какой максимальный срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ. 

    Характеристики  работы (i,j)

1. Ранний срок начала работы: .
2. Ранний срок окончания работы:
3. Поздний срок начала работы:
4. Поздний срок окончания работы:
5. Резервы времени работ:

    - полный резерв – максимальный запас времени, на который можно отсрочить начало или увеличить длительность работы без увеличения длительности критического пути.

    - частный резерв – часть полного резерва, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив позднего срока ее начального события;

    - свободный резерв  – максимальный запас времени, на который можно задержать начало работы или (если она началась в ранний срок) увеличит ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ;

    - независимый резерв – – запас времени, при котором все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие – начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

    Характеристики  путей.

    Путь  характеризуется двумя показателями — продолжительностью и резервом. 

    Продолжительность пути равна сумме продолжительностей составляющих ее работ.

    Резерв  времени пути равен разности между длинами критического пути и рассматриваемого пути.

    Резерв  времени пути показывает, на сколько  может увеличиться продолжительность  работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности срока выполнения всех работ.

    Сетевое моделирование находит широкое  применение при планировании научно-исследовательских  и проектно-конструкторских работ. Достоинством сетевых моделей является то, что они позволяют повысить эффективность планирования. При этом следует отметить, что несмотря на все преимущества методов СПУ, их нельзя считать окончательно сформировавшимися, а сетевые модели идеальными, поскольку они не исключают влияния субъективных оценок и не обеспечивают нахождение оптимального решения.

    1.3 Теория игр

    При решении ряда практических задач  в области экономики и организации  сельского хозяйства приходится встречать случаи, когда две стороны  преследуют противоположные цели, причем результат действий одной из сторон зависит от того, какой образ действий выберет другая сторона. Такие случаи называются конфликтными ситуациями. Конфликтные ситуации в различных областях человеческой деятельности изучает теория игр. Эта теория вырабатывает рекомендации по такому экономическому поведению противных сторон в процессе конфликтной ситуации, которое приводит к максимально возможному выигрышу.

    Конфликтные ситуации, встречающиеся в реальной жизни, обусловливаются многочисленными  факторами и являются весьма сложными. Чтобы можно было их изучать, необходимо отвлечься от всего второстепенного и сосредоточить внимание на анализе главных факторов, иначе говоря, надо формализовать реальную ситуацию и построить ее модель. Такую модель называют игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается тем, что она ведется по предварительно оговоренным правилам и условиям. Стороны, участвующие в игре, называются игроками. В игре могут участвовать двое, тогда она называется парной. Если же в ней сталкиваются интересы многих лиц, то игра называется кооперативной. Ее участники могут образовывать постоянные или временные коалиции. При наличии двух коалиций кооперативная игра превращается в парную.

    Игра  представляет собой мероприятие, состоящее  из ряда действий двух игроков, определяемых правилами игры. Частная возможная реализация этих правил называется партией. Результат или исход игры, к которому приводит совокупность принятых решений в процессе игры, называется выигрышем. В большинстве игр сумма выигрыша одного игрока равна сумме проигрыша другого, поэтому в любой их партии имеет место равенство:

    Число  может быть положительным, отрицательным и равным нулю. При  - выигрыш,  - проигрыш и  - ничейный исход. Выигрыш или проигрыш не всегда имеет количественное выражение, например, в шахматной игре. В этих случаях результат выражают условными числами: выигрыш (+1), проигрыш (-1), ничья (0). Если один игрок выигрывает то, что проигрывает другой, то алгебраическая сумма выигрышей будет равна нулю. В этом случае имеет место игра с нулевой суммой. Бывает еще игра двух лиц с постоянной суммой. Бывает еще игра двух лиц с постоянной суммой. В этой игре два партнера непримиримо конкурируют из-за возможно большей доли разыгрываемой суммы. Посредством соответствующего преобразования такая игра может быть превращена в игру с нулевой суммой.

    В общем виде постановка задачи парной игры с нулевой суммой сводится к  следующему виду : если два игрока Р1 и Р2 играют в какую-либо игру, то как должен вести партию каждый из этих игроков, чтобы достигнуть наиболее благоприятного для себя исхода. При случайных ходах этих двух игроков естественной оценкой благоприятного исхода является среднее значение, которое обозначается символом аij. Если известны значения aij выигрыша, то парную игру можно записать в виде прямоугольной таблицы, которая называется матрицей выигрышей или платежной матрицей. Она имеет такой вид: 

        В матрице xi обозначают ходы игрока Р1, а yi – ходы игрока Р2.

    Развитие  игры во времени сводится к ряду последовательных действий или вариантов принятия решений. Выбор одного из предусмотренных правилами игры вариантов называется ходом. Ходы делятся на личные и случайные. Личным ходом называется сознательный выбор одним из игроков одного из возможных в данной ситуации ходов и его осуществление. Случайным ходом называется выбор из ряда возможностей, осуществляемых не игроком, а каким-либо механизмом случайного выбора. Игры могут состоять из личных, случайных и смешанных ходов.

    Теория  игр может быть полезным инструментом планирования и управления сельскохозяйственным производством, а также прогнозирования. В задачах с конфликтными ситуациями ведется поиск хозяйственных стратегий, с помощью которых достигается максимально возможный (оптимальный) результат.

    В любой игре важное значение имеет  стратегия, под которой принимается совокупность правил, определяющих выбор при каждом личном ходе игрока, в зависимости от ситуации, сложившейся в процессе игры. В матричных играх применяются чистые и смешанные стратегии. Стратегии с компонентом, равным единице, называются чистыми стратегиями. Стратегии с отличными от единицы компонентами, представляющими вероятные ее доли, называются смешанными.

    Задачей теории игр является нахождение решения  игры, т. е. определение для каждого  игрока его оптимальной стратегии  и цены игры. Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний проигрыш) независимо от поведения противника. Ценой игры называется выигрыш (проигрыш), соответствующий оптимальным стратегиям игроков.

    1.4 Теория массового  обслуживания

    Теория  массового обслуживания впервые  применялась в телефонии, а затем  и в других областях хозяйственной  деятельности.       

    Например, организация нормального процесса обслуживания покупателей связана с правильным определением следующих показателей: количества предприятий данного торгового профиля, численности продавцов в них, наличия соответствующих основных фондов, частоты завоза товаров, численности обслуживаемого населения, плотности обращаемости и потребности в соответствующих товарах. Если предположить, что предприятие располагает необходимыми основными фондами, торгует товарами, имеющимися в достаточном количестве, то и тогда в процессе обслуживания остаются такие переменные величины, которые могут существенно повлиять на качество обслуживания. Надлежит, следовательно, выбрать такой оптимальный вариант организации торгового обслуживания населения, при котором время обслуживания будет минимальным, качество – высоким, не будет излишних народохозяйственных затрат. Системы массового обслуживания (СМО) занимают важное место во многих сферах хозяйственной деятельности. Математический аппарат теории массового обслуживания облегчает решение этой задачи.