Теоретические основы портфельного анализа

r - коэффициент корреляции между акциями х и у.

Переход от портфеля из двух ценных бумаг к портфелю из двух бумаг предполагает: во-первых, огромный объем необходимых вычислений и в связи с этим важность использования компьютера и созданного Марковицем алгоритма; во-вторых, увеличение объема исходной информации, необходимой для аналитика. Поэтому на практике чаще используется модель, в основу которой положена корреляция доходов отдельного вида инвестиций с некоторым «индексом», а не со всеми остальными объектами инвестирования, взятыми в отдельности, а также модель ценообразования на капитальные активы.

Модель ценообразования на капитальные активы (САРМ) основывается на том факте, что инвесторы, вкладывающие свои средства в рисковые активы, ожидают некоторого дополнительного дохода, превышающего безрисковую ставку дохода, как компенсацию за риск владения этими активами. Подобное требование описывается техническим термином «неприятие риска» (risk avertioп). Не принимающие риск инвесторы не обязательно избегают его. Однако они требуют компенсацию в форме дополнительного ожидаемого дохода за принятие риска по инвестициям, доходность по которым не является гарантированной.

Другими словами, САРМ предполагает, что норма дохода по рисковому  активу складывается из нормы дохода по безрисковому активу (безрисковой  ставки) и премии за риск, которая  связана с уровнем риска по данному активу.

Фундаментальное допущение, положенное в основу данной мо­дели, состоит в том, что та часть  ожидаемого дохода по ценной бумаге или  другому рисковому активу, которая  приходится на премию за риск, является функцией связанного с данным активом  систематического риска. Поскольку специфический риск достаточно легко можно устранить диверсификацией портфеля, то с точки зрения рынка он не является необходимым. А раз так, то рынок «не вознаграждает» инвестора за этот риск; вознаграждение за риск зависит только от систематического риска.

Для измерения величины систематического риска существует специальный показатель - коэффициент  . Он характеризует неустойчивость (изменчивость) дохода отдельной ценной бумаги или другого финансового инструмента относительно доходности рыночного портфеля. В западных странах данные по -коэффициенту публикуются в открытой печати, но его можно рассчитать, используя следующую формулу:

где  r_x - корреляция между доходностью ценной бумаги х и средним уровнем доходности ценных бумаг на рынке;

_x- стандартное отклонение доходности по конкретной ценной бумаге;

- стандартное отклонение доходности  по рынку ценных бумаг в  целом. 

Уровень риска отдельных  ценных бумаг определяется на основе таких значений:

= 1 - средний уровень риска; 

> 1 - высокий уровень риска;

< 1 - низкий уровень риска. 

По портфелю рассчитывается как средневзвешенный ­коэффициент отдельных видов входящих в портфель инвестиций, где в качестве веса берется их удельный вес в портфеле.

Модель ценообразования  на капитальные, активы описывает уравнение, выражающее отношение между требуемой  нормой дохода по активу и систематическим  риском, измеряемым - коэффициентом.

Любая требуемая доходность ценной бумаги равна безрисковой норме прибыли плюс премия за риск.

Таким образом, чем более  рисковой является ценная бумага, т.е. чем больше , тем больше должен быть и доход, который она приносит, и наоборот.

В соответствии с САРМ, если ожидаемая норма дохода и уро­вень риска, измеряемый , будут такими, что точка, соответствующая данной ценной бумаге, окажется ниже прямой рынка ценных бумаг, то эта ценная бумага недооценена в том смысле, что доход по ней ниже, чем если бы он был в случае корректной оценки. Если норма дохода по ценной бумаге соответствует уровню риска, то такая ценная бумага будет размещаться на прямой рынка ценных бумаг.

Исходя из сказанного можно сформулировать основные постулаты, на которых построена классическая портфельная теория.

1. Рынок состоит из  конечного числа активов, доходности  которых для заданного периода  считаются случайными величинами.

2. Инвестор в состоянии,  например, исходя из статистических  данных, получить оценку ожидаемых  (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций, и степеней возможной диверсификации риска.

3. Инвестор может сформировать  любые допустимые (для дан­ной  модели) портфели из имеющихся  на рынке активов. Доходность  портфелей является также случайной  величиной. 

4. Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях: средней доходности и риске.

5. Инвестор не склонен  к риску: из двух портфелей  с одинаковой доходностью он  обязательно выберет портфель  с меньшим риском.

 

1.4. Методики формирования оптимальной структуры

портфеля

Модель Марковица

На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них  основано на методике Марковица. Он впервые  предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской по экономике.

Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.
2. Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.
3. Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.
4. Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.
5. Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Рассмотрим подробнее  сформировавшиеся на данный момент портфельные  теории, некоторые из которых будут  применены далее при проведении практического расчета оптимального портфеля ценных бумаг.

Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически рассматривать  будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как случайную переменную то есть доходы по отдельным инвестиционным объектам случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом случайно определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по каждой альтернативе вложения средств. Это получило название вероятностной модели рынка. Для упрощения модель Марковица полагает, что доходы распределены нормально.

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем  инвестиций и риск что позволяет  сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для оценки различных комбинаций.

В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

Математическое ожидание дохода по i-й ценной бумаге (m_i) рассчитывается следующим образом:

,                                              

где R_i – возможный доход по i-й ценной бумаге, руб.;

P_ij – вероятность получение дохода;

n – количество ценных бумаг.

Для измерения риска служат показатели рассеивания, поэтому чем больше разброс величин возможных доходов, тем больше опасность, что ожидаемый  доход не будет получен. Мерой рассеивания является среднеквадратическое отклонение:

.         

В отличии от вероятностной  модели, параметрическая модель допускает  эффективную статистическую оценку. Параметры этой модели можно оценить  исходя из имеющихся статистических данных за прошлые периоды. Эти статистические данные представляют собой ряды доходностей за последовательные периоды в прошлом.

Любой портфель ценных бумаг характеризуется  двумя величинами: ожидаемой доходностью

,           

где X_i – доля общего вложения, приходящаяся на i-ю ценную бумагу;

m_i – ожидаемая доходность i-й ценной бумаги, %;

m_p – ожидаемая доходность портфеля, %

и мерой риска – среднеквадратическим отклонением доходности от ожидаемого значения

         

где s_p – мера риска портфеля;

 s_ij – ковариация между доходностями i-й и j-й ценных бумаг;

X_i и X_j – доли общего вложения, приходящиеся на i-ю и j-ю ценные бумаги;

n – число ценных бумаг портфеля.

Ковариация доходностей ценных бумаг (s_ij) равна корреляции между ними, умноженной на произведение их стандартных отклонений:

         

где r_ij – коэффициент корреляции доходностей i-ой и j-ой ценными бумагами;

s_i, s_j – стандартные отклонения доходностей i-ой и j-ой ценных бумаг.

Для i = j ковариация равна дисперсии акции.

Рассматривая теоретически предельный случай, при котором в  портфель можно включать бесконечное  количество ценных бумаг, дисперсия (мера риска портфеля) асимптотически будет  приближаться к среднему значению ковариации.

Графическое представление этого  факта представлено на рисунке  1.1.

 

Рисунок 1.1 – Риск портфеля и диверсификация

Совокупный риск портфеля можно разложить на две составные  части: рыночный риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени, и собственный риск, который можно избежать при помощи диверсификации. При этом сумма вложенных средств по всем объектам должна быть равна общему объему инвестиционных вложений, т.е. сумма относительных долей в общем объеме должна равняться единице.

Проблема заключается  в численном определении относительных  долей акций и облигаций в  портфеле, которые наиболее выгодны  для владельца. Марковиц ограничивает решение модели тем, что из всего  множества «допустимых» портфелей, т.е. удовлетворяющих ограничениям, необходимо выделить те, которые рискованнее, чем другие. При помощи разработанного Марковицем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели. Тем самым остаются только эффективные портфели.

Отобранные таким образом  портфели объединяют в список, содержащий сведения о процентом составе  портфеля из отдельных ценных бумаг, а также о доходе и риске  портфелей.

Объяснение того факта, что инвестор должен рассмотреть  только подмножество возможных портфелей, содержится в следующей теореме об эффективном множестве: «Инвестор выберет свой оптимальный портфель из множества портфелей, каждый из которых обеспечивает максимальную ожидаемую доходность для некоторого уровня риска и минимальный риск для некоторого значения ожидаемой доходности». Набор портфелей, удовлетворяющих этим двум условиям, называется эффективным множеством.

На рисунке  представлены недопустимые, допустимые и эффективные  портфели, а также линия эффективного множества.

Рисунок 1.2 – Допустимое и эффективное множества

В модели Марковица допустимыми  являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Использую  более техническую терминологию, можно сказать, что инвестор по каждому  активу находится в длинной позиции. Длинная позиция – это обычно покупка актива с намерением его последующей продажи (закрытие позиции). Такая покупка обычно осуществляется при ожидании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи.

Из-за недопустимости коротких позиций в модели Марковица на доли ценных бумаг в портфели накладывается условие неотрицательности. Поэтому особенностью этой модели является ограниченность доходности допустимых портфелей, т.к. доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

Для выбора наиболее приемлемого для  инвестора портфеля ценных бумаг  можно использовать кривые безразличия. В данном случае эти кривые отражают предпочтение инвестора в графической  форме. Предположения, сделанные относительно предпочтений, гарантируют, что инвесторы могут указать на предпочтение, отдаваемое одной из альтернатив или на отсутствие различий между ними.

Если же рассматривать  отношение инвестора к риску  и доходности в графической форме, откладывая по горизонтальной оси риск, мерой которого является среднеквадратическое отклонение (s_p), а по вертикальной оси – вознаграждение, мерой которого является ожидаемая доходность (r_p), то можно получить семейство кривых безразличия.

Располагая информацией  об ожидаемой доходности и стандартных отклонениях возможных портфелей ценных бумаг, можно построить карту кривых безразличия, отражающих предпочтения инвесторов. Карта кривых безразличия – это способ описания предпочтений инвестора к возможному риску полностью или частично потерять вкладываемые в портфель ценных бумаг деньги или получить максимальны доход.