Цели и задачи метрологического обеспечения

 

Y=Х,                                                         (2.1)

 

При этом диапазон возможных  значений Х ограничен пределами Х_min и Х_max диапазона измерений (Х_min - нижний  и Х_max - верхний пределы диапазона измерений). В ЦИУ осуществляется квантование измеряемой величины по уровню, поэтому каждому из возможных показаний Y_i (i =1, 2,..., М) соответствует несчетное подмножество [Х_li; Х_ri] значений измеряемой величины, где Х_li  и Х_ri - левая и правая границы i-ro подмножества. Зависимость показаний ЦИУ, реализующего преобразование измеряемой величины по (2.1) имеет вид ступенчатой кривой с разрывами в точках Х_li  и Х_ri. Для всех 1 £ i £ М, которая должна наилучшим образом приближаться к прямой (2.1). Ступенчатая кривая рис. 2.1(a) описывается формулой

 

Y = q Int [X/q + 0,5 sign X],                                     (2.2)

 

где:

Int [А] - функция "целая часть A": Int [A + b] = A sign (А + b), если А - целое, а 0 £ b < 1; sign A - функция "знак числа А ":  sign А = 1 при A ³  0 и sign А = -1 при А < 0.

Функция преобразования ЦИУ, наилучшим  образом приближающаяся к (2.1), представляется формулой: Y =q Int [X/q +0,5 sign X]

Рисунок 2.1 - Ступенчатые кривые, наилучшим образом приближающиеся к номинальным функциям преобразования.

 

Функция (2.2) совпадает с (2.1) только в пределе, при q Þ 0, поэтому даже идеальный квантователь обладает погрешностью. Эта погрешность обусловлена самим принципом (методом) аналого-цифрового преобразования, при котором бесконечному множеству возможных значений измеряемой величины ставится в соответствие конечное счетное множество возможных (разрешенных) показаний; она может быть отнесена к методическим. По определению, абсолютная погрешность любого измерительного устройства равна разности D =Y - Х. Из (2.2) можно получить выражение для методической погрешности идеального квантователя:

 

D_met = Y - Х= q Int [X/q + 0,5 sign X] -Х= q Int [X/q + 0,5 sign X] + q Fr [X/q + 0,5 signX] - q Fr [X/q + 0,5 sign X] - X = 0,5 q sign X - q Fr [X/q + +0,5 sign X],                                 (2.3)

 

где:

Fr [A] - функция "дробная часть числа А": Fr [А + b] = b sign (А + b),  если А- целое и 0 £ b < 1.

Погрешность идеального квантователя является периодической функцией измеряемой величины.

Период этой функции равен q, а  ее экстремумы ± 0,5 q. График функции (2.3) приведен на рис. 2.2.

Рисунок 2.2 - Погрешность идеального квантователя как функция измеряемой величины.

Погрешность идеального квантователя должна быть отнесена к числу систематических, так как она изменяется по известному закону [см. рис. 2.2 и формулу (2.3)], и не изменяется при повторных измерениях неизменной во времени величины. Однако такое представление о методической погрешности аналого-цифрового преобразования оказывается не вполне корректным. Если погрешность D_met - систематическая, то должны существовать методы ее исключения путем введения поправок. Известно, что для исключения каждой систематической погрешности необходимо произвести, по крайней мере один специально поставленный эксперимент. Таким экспериментом в рассматриваемом случае должно бы явиться определение действительного значения измеряемой величины X, зная которое, можно рассчитать соответствующее значение D_met по (2.3) и ввести поправку. Получается парадоксальная ситуация: чтобы ввести поправку в результат измерения, необходимо знать значение измеряемой величины, но если это значение известно, зачем же его измерять?

Отсюда следует, что методическая погрешность аналого-цифрового преобразования должна рассматриваться как неслучайная функция случайной величины, так как измеряемая величина Х для наблюдателя является случайной по совокупности возможных значений (ее значение не может быть заранее предсказано). Погрешность D_met может рассматриваться как случайная величина только по совокупности всех возможных значений измеряемой величины X. По совокупности результатов измерения неизменного значения Х погрешность D_met остается постоянной, но неизвестной.

Если генеральная совокупность возможных значений измеряемой величины имеет закон распределения с дисперсией, существенно превышающей q²/12, можно принять (обычно так безоговорочно и принимают), что D_met распределена по закону равной плотности в пределах ±0,5 q с математическим ожиданием, равным нулю, т.е. ее дисперсия (по ансамблю всех возможных значений измеряемой величины) равна q²/12.

 

2.2 Состав погрешности цифрового измерительного прибора

По способу выражения  различают абсолютные и относительные погрешности измерения.

Абсолютная погрешность Δ измерения представляет собой алгебраическую разность между результатом измерения или измеренным значением величины х и действительным ее значением , т.е.

 

,                                                (2.4)

 

Под действительным, понимают значение измеряемой величины, найденное экспериментальным путем и настолько приближающееся к истинному значению, что для данной цели может быть использовано вместо него.

Результат деления абсолютной погрешности на действительное (или  измеренное) значение измеряемой величины называют относительной погрешностью, т.е.

 

,                                                   (2.5)

 

По источникам их возникновения погрешности подразделяют на инструментальные методические и субъективные (личные).

Инструментальные погрешности (инструментальные составляющие погрешности измерений) обусловливаются свойствами средств измерений (стабильностью, чувствительностью к внешним воздействиям и т.п.), их влиянием на объект измерений, технологией, и качеством их изготовления (например, неточностью градуировки или нанесения шкалы).

Методические погрешности возникают вследствие несовершенства, неполноты теоретические обоснований принятого метода измерений, непостоянства теоретических или эмпирических коэффициентов рабочих уравнений, используемых для оценки результата измерений, при изменении, свойств измеряемых объектов, режимов и условий измерений и, наконец, из-за неправильного выбора измеряемых величин (неадекватно описывающих модели интересующих свойств объекта).

Субъективные погрешности вызываются состоянием оператора, проводящего измерения, его положением во время работы, несовершенством органов чувств, эргономическими свойствами средств измерений. Все это, как правило, сказывается на точности визирования и отсчета.

По характеру проявления, по способам обнаружения и учета погрешности измерений подразделяют на систематические и случайные.

Систематической погрешностью называют составляющую погрешности измерения, остающуюся постоянной или изменяющуюся по определенному закону при повторных измерениях одной и той же величины. Это вызвано тем, что остаются постоянными или изменяются определенным образом причины, вызывающие систематическую погрешность, в имеется строгая функциональная зависимость, связывающая эти причины с погрешностью.

Случайная погрешность — составляющая погрешности измерении, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.

Случайные погрешности  обусловливаются как случайным  характером проявления физических процессов, происходящих в работающем приборе (трением, случайным дрейфом характеристик  элементов, шумами), так и случайными изменениями условий измерений, учет которых практически неосуществим.

В отличие от систематических  погрешностей случайные нельзя исключить из результатов измерений путем введения поправок, даже если известны причины и источники, их вызывающие. Однако их влияние на результаты измерений может быть уменьшено увеличением числа измерений.

Природа и физическая сущность случайных и систематических  составляющих погрешности измерений, как уже отмечалось, различны. Однако практически во всех случаях при оценке как систематических (неисключенных остатков), так и случайных погрешностей, обрабатывают определенный статистический материал, представляющий собой совокупность результатов измерений, на основе комплекса определенных статистических правил, составляющих основы любой методики определения погрешности.

Функция преобразования реального ЦИУ отличается от функции преобразования идеального квантователя тем, что она может иметь смещение от функции преобразования идеального квантователя и действительный размер ступени квантования может отличаться от номинального. Характеристика преобразования реального ЦИУ может быть представлена формулой:

 

Y = q Int [(X + а) / q_c + 0,5 sign (X + а)],                                       (2.6)

 

где:

 q_c - действительная ступень квантования;

а - смещение нулевого уровня реального ЦИУ.

В общем случае действительное значение ступени квантования может быть представлено в виде некоторой функции измеряемой величины:

 

q_c = q [l + b(X)]                                                      (2.7)

 

где:

 b(X) « 1 - некоторая, в общем случае нелинейная, функция измеряемой величины X.

Смещение a также может быть нелинейной функцией измеряемой величины:

a = a (X)                                                       (2.8)

 

Подставляя (2.5), (2.6) в (2.4) и пренебрегая величинами второго порядка малости, получаем после преобразований выражение для функции преобразования реального ЦИУ:

 

                   (2.9)

 

Из (2.2) и (2.9) следует, что реальное ЦИУ может быть всегда представлено в виде эквивалентной схемы рис. 2.3

Рисунок 2.3 - Эквивалентная схема ЦИУ

 

Любое линейное ЦИУ может  быть представлено эквивалентной схемой рис. 2.3, где АП - аналоговый преобразователь и KB - квантователь, имеющий функцию преобразования (2.5). Функция преобразования АП, в общем случае, может быть отличной от линейной. В ней отражаются все отклонения действительной функции преобразования:

 

                       X’ = [l - b(X)]X + a(X),                                           (2.10)

 

которая может иметь разрывы, а  квантователь имеет идеальную функцию преобразования (2.2). Следовательно, любые отличия функции преобразования реального ЦИУ от функции преобразования идеального квантователя могут быть представлены на эквивалентной схеме (рис. 2.3) путем соответствующих искажений функции преобразования аналогового преобразователя, т.е. все составляющие погрешности ЦИУ могут быть приведены к его входу.

Проведя преобразования, получим с учетом (2.2) и (2.7) выражение для погрешности реального ЦИУ:

 

D = Y – Х = Хb(Х) + a(X) + 0,5 q sign X' – q Fr [X'/q  + 0,5 sign X'] = Xb(X) + а(X) + D'_met                                                                                                         (2.11)

 

где:

 D'_met - погрешность идеального квантователя, выраженная как функция X'.

Первые два слагаемых (2.11) полностью определяются свойствами элементов схемы ЦИУ, т.е. представляют собой инструментальную составляющую D_ins погрешности ЦИУ, которая равна:

 

D_ins = X b(X) + a(X),                                       (2.12)

 

Последнее слагаемое (2.6) D'_met может рассматриваться как методическая погрешность ЦИУ, так как его наличие обусловлено только квантованием измеряемой величины по уровню. Действительно, из (2.6) следует, что:

 

                                                 (2.13)

 

Экстремальные значения методической погрешности ЦИУ не зависят от свойств элементов  схемы и определяются номинальным значением ступени квантования, они равны по модулю 0,5q.

На рисунке 2.4 штриховой линией показаны номинальная функция преобразования ЦИУ и функция преобразования идеального квантователя, сплошной линией - функция преобразования реального ЦИУ, построенная в соответствии с (2.9). Кривая, соединяющая центры площадок функции преобразования реального ЦИУ, является функцией преобразования аналогового преобразователя по эквивалентной схеме (рис. 2.3).

Рисунок 2.4 - Графическая интерпретация инструментальной и методической составляющих погрешности ЦИУ.

 

Из рис. 2.4 видно, что инструментальная составляющая D_ins погрешности реального ЦИУ, т.е. смещение реальной функции преобразования относительно функции преобразования идеального квантователя, может рассматриваться как непрерывная функция D_ins(Х) измеряемой величины или как точечная функция D_ins(Y) показаний реального ЦИП или выходного кода АЦП.

На основании (2.6), (2.8), (2.9) функция преобразования реального ЦИУ может быть представлена формулой

 

 

                       (2.14)

 

На основании изложенного  ниже рассматриваются две составляющие погрешности ЦИУ: инструментальная, обусловленная свойствами элементов схемы реального ЦИУ, и методическая, обусловленная принципом аналого-цифрового преобразования. Таким образом можно записать:

 

,                                               (2.15)

 

где:

  D -  абсолютная погрешность измерения;

D_ins – инструментальная погрешность измерения;

D_met - методическая погрешность измерения.

Учитывая состав инструментальной погрешности, можно записать:

 

D =                         (2.16)

 

где:

D_ад – адитивная погрешность измерения;

D_мульт – мультипликативная погрешность измерения;

D_нелин – нелинейная погрешность измерения;

x - случайная составляющая инструментальной погрешности, представляющая собой центрированную нормально распределенную величину с среднеквадратическим отклонением s;

Н – вариация функции преобразования.

Общая характеристика методик определения  погрешности цифровых приборов