Контрольная работа по "Экономической теории"

По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая  зависимость объема выпуска продукции ( , млн. руб.) от объема капиталовложений ( , млн. руб.)

Требуется:

1. Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
2. Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
3. Проверить выполнение предпосылок МНК.
4. Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
5. Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.
6. Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.
7. Представить графически: фактические и модельные значения точки прогноза.
8. Составить уравнения нелинейной регрессии:

• гиперболической;

• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

9. Для указанных моделей найти коэффициенты детерминации, коэффициенты эластичности и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравнить модели по этим характеристикам и сделать вывод. 

	72	52	73	74	76	79	54	68	73	64
	121	84	119	117	129	128	102	111	112	98

 

 

 

РЕШЕНИЕ:

1). Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.

Таблица 1

Наблюдение	Объем капиталовложений, млн. руб.(X)	Объем выпуска продукции, млн. руб. (Y)
1	72	121	8,9	3,5	12,25	31,15	8712	5184
2	52	84	-28,1	-16,5	272,25	463,65	4368	2704
3	73	119	6,9	4,5	20,25	31,05	8687	5329
4	74	117	4,9	5,5	30,25	26,95	8658	5476
5	76	129	16,9	7,5	56,25	126,75	9804	5776
6	79	128	15,9	10,5	110,25	166,95	10112	6241
7	54	102	-10,1	-14,5	210,25	146,45	5508	2916
8	68	111	-1,1	-0,5	0,25	0,55	7548	4624
9	73	112	-0,1	4,5	20,25	-0,45	8176	5329
10	64	98	-14,1	-4,5	20,25	63,45	6272	4096
Сумма	685	1121	0,0	0,0	752,5	1 056,5	77845,0	47675,0
Среднее	68,5	112,1					7 784,5	4 767,5

 

Для вычисления параметров модели следует  воспользоваться формулами и  расчетными данными из таблицы 1.

 

 

 

 
Модель зависимости  объема выпуска продукции от объема капиталовложений имеет вид

Рис. 1

 

 

С увеличением объемов капиталовложений на 1 млн. руб. объем выпускаемой продукции увеличится в среднем  на 1,404 млн. руб.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2). Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.

 

 

 

 

 

                                                                   и т.д.

 

Таблица 2

 

ВЫВОД ОСТАТКОВ
Наблюдение			Предсказанное,	Остатки,
1	72	121	117,01	3,99	15,92
2	52	84	88,93	-4,93	24,30
3	73	119	118,42	0,58	0,34
4	74	117	119,82	-2,82	7,95
5	76	129	122,63	6,37	40,58
6	79	128	126,84	1,16	1,35
7	54	102	91,74	10,26	105,27
8	68	111	111,40	-0,40	0,16
9	73	112	118,42	-6,42	41,22
10	64	98	105,78	-7,78	60,53
ИТОГО	685	1121	1120,99	0	297,61

Дисперсия остатков равна 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

 

 

3). Проверить выполнение предпосылок  МНК. 

Проверка выполнения предпосылок  МНК выполняется на основе анализа  остаточной компоненты.

 Оценим адекватность построенной модели, используя свойства независимости остаточной компоненты, случайности и соответствия нормальному закону распределения (при использовании R/S-критерия взять табулированные границы 2,7—3,7).

Модель является адекватной, если математическое ожидание значений остаточного ряда случайны, независимы и подчинены нормальному закону распределения.¹

3.1. Проверим независимость (отсутствие автокорреляции) с помощью d – критерия Дарбина – Уотсона по формуле:

Используем данные табл. 3

Таблица 3

Наблюдение
1	3,99	15,92	-	-
2	-4,93	24,30	-8,92	79,57
3	0,58	0,34	5,51	30,36
4	-2,82	7,95	-3,4	11,56
5	6,37	40,58	9,19	84,46
6	1,16	1,35	-5,21	27,14
7	10,26	105,27	9,1	82,81
8	-0,40	0,16	-10,66	113,64
9	-6,42	41,22	-6,02	36,24
10	-7,78	60,53	-1,36	1,85
Сумма	0	297,61		467,62

 

,    

Т.к. расчетное значение d попадает в интервал от d₂ до 2 (рис. 4.7). Свойство независимости выполняется. Следовательно, модель по этому критерию адекватна.

Анализ независимости  с помощью критерия Дарбина –  Уотсона    Рис. 3

1)			2)		3)		4)
	d1		d2			2			4
свойство не выполняется			применять другой критерий		свойство выполняется		преобразовать dn=4-d
0	d1		d2			2			4
	1,08		1,36		1,5712
			|r(1)|<0,36

 

3.2. Проверку случайности уровней ряда остатков проведем на основе критерия поворотных точек. P > [2/3(n-2) – 1, 96 – (16n-29)/90]

 Количество поворотных точек равно 6 (рис. 4).

Рис. 4

Неравенство выполняется (6 > 2). Следовательно, свойство случайности выполняется. Модель по этому критерию адекватна.

3.3. Соответствие ряда остатков нормальному закону распределения определим при помощи RS – критерия:

, где

- максимальный уровень ряда остатков,

  - минимальный уровень ряда  остатков,

     - среднеквадратическое отклонение,

,  

 

Расчетное значение попадает в интервал (2,7-3,7), следовательно, выполняется свойство нормальности распределения. Модель по этому критерию адекватна.

3.4. Проверка равенства нулю математического ожидания уровней ряда остатков.