Контрольная работа по "Экономической теории"

В нашем случае , поэтому гипотеза о равенстве математического ожидания значений остаточного ряда нулю выполняется.

3.5. Обнаружение гетероскедастичности.

Чтобы оценить нарушение гомоскедастичности по тесту Гольфельда-Квандта, необходимо упорядочить имеющиеся наблюдения по мере возрастания, разделить совокупности на две группы, определить уравнения регрессии (с помощью Excel), определить остаточные суммы квадратов для регрессии, вычислить отношение между ними и сравнить с F- критерием.

х1	У1	ŷ1	ε²1		х2	У2	ŷ2	ε²2
52	84	95,71	137,11		73	119	116,23	7,67
54	102	97,68	18,70		73	112	116,23	17,90
64	98	107,51	90,41		74	117	118,62	2,61
68	111	111,44	0,19		76	129	123,38	31,53
72	121	115,37	31,65		79	128	130,54	6,44
		сумма	278,06				сумма	66,15

 

 

 

Используя надстройки Excel, найдем F – критерий равный 6,389.

Наблюдаемое F = 4,203 меньше критического, что означает, что модель гомоскедастична.

В таблице 4 собраны данные анализа ряда остатков.

 

Анализ ряда остатков    Таблица 4

 

Проверяемое свойство	Используемые статистики		Граница		Вывод
	наименование	значение	нижняя	верхняя
Независимость	d – критерий Дарбина-Уотсона		1,36	2	адекватна
Случайность	Критерий пиков (поворотных точек)	6 > 2	2		адекватна
Нормальность	RS – критерий	2,96	2,7	3,7	адекватна
Среднее = 0 ?	t – статистика Стьюдента	0,000	-2,179	2,179	адекватна
Вывод: модель статистически адекватна

 

 

4). Осуществить проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента

Проверка значимости отдельных  коэффициентов регрессии связана  с определением расчетных значений t – критерия (t – статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

                                       

Где

 

 

Расчетная таблица

Таблица 5

		Коэффициенты	Стандартная ошибка	t-статистика
Y-пересечение	а0	15,927	15,352	1,037
Объем капиталовложений, млн. руб.(X)	а1	1,404	0,222	6,315

 

 

 

 

 

Сравнивая расчетное значение с  табличным значением (при n-2 и степеней свободы 0,05 табличное равно 2,306004). Делаем вывод о том, что фактор а₀ следует исключить из модели, так как расчетное значение t меньше табличного (при этом качество модели не ухудшится).

 

5). Вычислить коэффициент детерминации, проверить значимость уравнения  регрессии с помощью  - критерия Фишера , найти среднюю относительную ошибку аппроксимации. Сделать вывод о качестве модели.

Коэффициент множественной  корреляции (индекс корреляции), возведенный  в квадрат (R²), называется коэффициентом детерминации.

 

Таблица 6

Расчет коэффициента детерминации

Наблюдение
1	15,92	8,9	79,21
2	24,30	-28,1	789,61
3	0,34	6,9	47,61
4	7,95	4,9	24,01
5	40,58	16,9	285,61
6	1,35	15,9	252,81
7	105,27	-10,1	102,01
8	0,16	-1,1	1,21
9	41,22	-0,1	0,01
10	60,53	-14,1	198,81
Сумма	297,61	0,0	1780,9

 

 

Чем ближе R² к 1, тем качество модели лучше.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 83,29 % объясняется вариацией фактора X (объемом капиталовложений).

Для проверки значимости модели регрессии  используется F – критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несмещенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

                                                                               , где k – количество факторов, включенных в модель.

 

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Оценим точность модели на основе использования средней относительной ошибки аппроксимации.

Для оценки точности полученной модели будем использовать показатель относительной  ошибки аппроксимации, который вычисляется  по формуле:

, где 

Таблица 7

Расчет относительной ошибки аппроксимации

 

Наблюдение	Y	Предсказанное Y
1	121	117,01	3,99	0,03
2	84	88,93	-4,93	0,06
3	119	118,42	0,58	0,005
4	117	119,82	-2,82	0,02
5	129	122,63	6,37	0,05
6	128	126,84	1,16	0,01
7	102	91,74	10,26	0,10
8	111	111,40	-0,40	0,00
9	112	118,42	-6,42	0,06
10	98	105,78	-7,78	0,08
Сумма	1121	1120,99	0	0,41

 

 

В среднем расчетные значения предсказанного у для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,13 %.

Если ошибка, вычисленная по формуле, не превосходит 15%, точность модели считается приемлемой.²

 

6). Осуществить прогнозирование среднего значения показателя при уровне значимости  ,  если прогнозное значения фактора Х составит 80% от его максимального значения.

Прогнозное значение Х = 79*80 % = 63,2

Прогнозируемое значение переменной у получается при подстановке в уравнение регрессии                                                                          

 

ожидаемой величины фактора х.

 

 

Используя данные таблицы 2, найдем величину отклонения от линии регрессии.

 

Коэффициент Стьюдента         для m = 8 степеней свободы (m = n-2) и уровня значимости равен 3,3554.

 

Таким образом, прогнозное значение                              будет находиться между верхней  границей, равной 104,6588 + 21,8246 = 126,4834 и  нижней границей, равной 104,6588 - 21,8246 = 82,8342.

Эластичность линейной модели равна 

 

 

На 85,79% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора  X  (объемом капиталовложений) на один процент.

 

 Преобразуем график подбора (рис. 1), дополнив его данными прогноза.

Рис. 5

 

8). Составить уравнения  нелинейной регрессии:

• гиперболической;
• степенной;
• показательной.

Привести графики построенных  уравнений регрессии.

8.1. Составить уравнения нелинейной регрессии гиперболической.

Уравнение гиперболической функции               

Произведем линеаризацию модели путем  замены                В результате получим линейное уравнение

Рассчитаем его параметры по данным таблицы 8.

 

 

Таблица 8

 

Гиперболическая модель
Наблюдение	x	y	X	yX	X^2						|ε/y|*100%
1	72	121	0,0139	1,6806	0,0001929	8,9	79,21	117,551	3,449	11,899	2,851
2	52	84	0,0192	1,6154	0,0003698	-28,1	789,61	87,861	-3,861	14,911	4,597
3	73	119	0,0137	1,6301	0,0001877	6,9	47,61	118,608	0,392	0,154	0,329
4	74	117	0,0135	1,5811	0,0001826	4,9	24,01	119,637	-2,637	6,953	2,254
5	76	129	0,0132	1,6974	0,0001731	16,9	285,61	121,613	7,387	54,564	5,726
6	79	128	0,0127	1,6203	0,0001602	15,9	252,81	124,390	3,610	13,030	2,820
7	54	102	0,0185	1,8889	0,0003429	-10,1	102,01	91,820	10,180	103,632	9,980
8	68	111	0,0147	1,6324	0,0002163	-1,1	1,21	113,010	-2,010	4,040	1,811
9	73	112	0,0137	1,5342	0,0001877	-0,1	0,01	118,608	-6,608	43,665	5,900
10	64	98	0,0156	1,5313	0,0002441	-14,1	198,81	107,902	-9,902	98,042	10,104
Сумма	685	1121	0,1487	16,412	0,0022573		1 780,9	1121,0	0,00	350,888	46,373
Среднее	68,5	112,1	0,01487	1,6412	0,0002257						4,637

                                                                                                                          Получим следующее уравнение                                                         гиперболической модели:

 
Определим индекс корреляции:

Связь между показателем у и фактором х можно считать достаточно сильной.

Индекс детерминации:

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 80,30% объясняется вариацией фактора  X  (объемом капиталовложений).

Рассчитаем F- критерий Фишера:

 

F > F_таб. =5, 32 для a = 0, 05; k₁ = 1, k₂ = 8.

Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 в целом статистически значимое, т.к. F > F_таб.

Средняя относительная ошибка

                                                   

В среднем расчетные значения       для гиперболической модели отличаются от фактических значений на 4,64%.

 

Эластичность гиперболической  модели равна 

 

На 71,42% изменяется Y (объема выпуска продукции) при изменении фактора  X  (объемом капиталовложений) на один процент.

Рис. 6

Гиперболическая модель

 

 

 

8.2. Составить уравнения нелинейной регрессии степенной.

Уравнение степенной модели имеет  вид:

 Для построения этой модели  необходимо произвести линеаризацию  переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

 

 

Таблица 9

Логарифмирование

Наблюдение	y	lg(y)	x	lg(x)
1	121	2,0828	72	1,8573
2	84	1,9243	52	1,7160
3	119	2,0755	73	1,8633
4	117	2,0682	74	1,8692
5	129	2,1106	76	1,8808
6	128	2,1072	79	1,8976
7	102	2,0086	54	1,7324
8	111	2,0453	68	1,8325
9	112	2,0492	73	1,8633
10	98	1,9912	64	1,8062
Сумма	1121	20,4630	685	18,3187
Среднее	112,1	2,0463	68,5	1,8319