Метод статистического моделирования (метод Монте-Карло)

Задание 1.

Метод статистического  моделирования (метод Монте-Карло)

Метод статистических испытаний - численный метод решения различных задач при помощи моделирования случайных событий. В приложении к физике метод Монте-Карло можно определить как метод исследования физического процесса путём создания и эксплуатации стохастической модели, отражающей динамику данного процесса.

Если физический процесс описывается k величинами (переменными) p₁,...,p_k, которые можно рассматривать как случайные величины с плотностью распределения F(p_1,....,p_k), и требуется оценить плотность распределения некоторой характеристики f данного процесса, являющейся функцией переменных, f= f(p₁,...,p_k), или совокупности таких характеристик f₁,...,f_m, то метод Монте-Карло состоит в следующем. Создаётся алгоритм, реализуемый в виде программы на ЭВМ или в виде специального устройства (электронного, механического или др.). Назначение алгоритма - многократно генерировать набор величин q₁,...,q_k. с плотностью вероятности F. Процедуру многократного получения набора {q_j} называют моделированием физического процесса; числа q_j отождествляют с переменными p_j. Для каждого конкретного набора {q_jⁱ}вычисляют величину f(qⁱ₁,...,qⁱ_k); получив достаточно большое число N наборов {q_j}, можно оценить среднее значение величины f, её дисперсию и поведение функции распределения плотности вероятности. Такой подход называется прямым моделированием. При косвенном моделировании процесс описывают одним или несколькими уравнениями (дифференциальными, интегральными или др.), которые решают затем с помощью метода Монте-Карло. С математической точки зрения обе процедуры эквивалентны вычислению интеграла по некоторой многомерной области. Кратность вычисляемого интеграла варьируется от 10-20 (в некоторых задачах физики элементарных частиц) до ~10⁶ (в расчётах на решётке).

Метод Монте-Карло был сформулирован в 1949 в работах Дж. Неймана (J. Neumann), С. Улама (S. Ulam), H. Метрополиса (N. Metropolis). Предшественник метода Монте-Карло. - статистическое моделирование, известное ещё в 19 в. Классическим примером такого моделирования является "игла Бюффона", т. е. получение числа p путём случайного бросания иглы на горизонтальную поверхность, расчерченную сеткой равноотстоящих параллельных линий. С появлением быстродействующих компьютеров метод обрёл второе рождение и получил в 1949 название "метод Монте-Карло".

Техника моделирования. 

Обычно метод Монте-Карло реализуют в виде программы на универсальной ЭВМ. Ранее применялись механические устройства, ныне всё чаще используют специальные моделирующие устройства с применением микропроцессоров. С помощью таких устройств получен ряд результатов в статистической физике и квантовой теории поля.

Для реализации случайной  величины в методе Монте-Карло традиционно используют датчики, генерирующие случайную последовательность чисел, равномерно распределённых на интервале (0,1). Различают три типа случайных чисел. Истинно случайные числа можно вырабатывать, направлять, преобразуя случайные сигналы от радиоактивного источника или от шумового диода. Таким способом можно достаточно быстро получать большие последовательности некоррелированных случайных чисел. В расчётах на ЭВМ используют псевдослучайные числа, полученные с помощью некоторого алгоритма. Назначение такого алгоритма - генерировать числа, которые похожи на случайные, хотя, строго говоря, они детерминированы. Необходимы специальные исследования и тесты, чтобы убедиться в достаточной случайности таких чисел (равномерность распределения, отсутствие корреляций и пр.). Квазислучайные числа также получают при помощи некоторого алгоритма, причём в основу алгоритма закладывают требование равномерного заполнения точками заданного многомерного объёма. Известен ряд алгоритмов, дающих точки, распределённые в гиперкубе более равномерно, чем случайные и псевдослучайные. Следствием лучшей равномерности является более быстрая сходимость результата.

Использование метода Монте-Карло в физике базируется главным образом на возможности его применения для вычисления интегралов, решения интегральных уравнений и др. Пусть требуется вычислить интеграл   , где W - конечная k -мерная область определения. Алгоритм вычисления в методе Монте-Карло основан на теореме о среднем:  , где V - объём области W. Выберем k -мерный параллелепипед с объёмом W, содержащий область W, и выберем случайным образом достаточно большое число N точек, равномерно распределённых в этом параллелепипеде. Для M точек, попавших при этом в область W, вычислим значение функции f.

           Оценку интеграла даёт величина 

 Если в области W точки распределены с плотностью вероятности р(х), то, зная объём V, можно получить следующую оценку интеграла:

Алгоритм решения интегрального  уравнения 

Метод Монте-Карло таков. Для достаточно широкого класса ядер К(х, <у )приближённое решение можно искать в виде суммы 

где 

Пусть далее нам нужно найти функционал 

Построим стохастический процесс, соблюдая следующие правила. Будем многократно строить цепочки из M случайных точек. Первая точка x₀ всегда "бросается" в область W с плотностью вероятности f(x )(с точностью до нормирующего множителя); переход от точки x_m-1 к точке х _т определяется плотностью вероятности К(х _т-1, x_m)dx_m. Можно показать, что математическое ожидание 

случайной величины  равно искомому функционалу Ф. Вообще говоря, можно осуществлять переход x_m-1-> х _т с произвольной плотностью вероятности P(x_m-1,x_m)dx_m. При этом случайная величина, с помощью которой оценивается функционал, вычисляется по формуле 

При моделировании физического процесса важно выбрать оптимальную функцию р(х)[или Р(х _т-1,х _т)]. Разработке методов, позволяющих правильно выбрать эти функции, посвящено большинство работ, связанных с вопросом ускорения сходимости. Перспективным является, направление, адаптивный метод, при котором функция р(х)"настраивается" в процессе моделирования на данную подынтегральную функцию f(x).

Применения метода Монте-Карло.

В нейтронной физике основными задачами являются моделирование прохождения потока нейтронов в среде, расчёт коэффициента размножения нейтронов в ядерном реакторе, расчёт защиты реактора и др. Используют как прямое, так и косвенное моделирование. В первом случае в объёме реактора моделируют набор некоторого числа нейтронов с заданными скоростями (первое поколение). Для каждого нейтрона прослеживают его судьбу (поглощение, вылет из реактора, деление). Образовавшиеся в результате деления нейтроны - это второе поколение, судьбу которых прослеживают аналогично. После моделирования достаточно большого числа поколений можно оценить критичность режима реактора. Метод удобен тем, что позволяет учитывать любую геометрическую форму реактора, наличие неоднородных примесей и пр. Однако время расчётов может быть существенно больше, чем при косвенном моделировании, когда движение нейтронов описывают интегральным уравнением переноса. Для решения уравнения составляют цепь Маркова. Характеристики поведения системы (в т. ч. и коэффициент размножения) являются функционалами от состояний этой цепи и могут быть оценены стандартными методами.

В физике элементарных частиц одним из первых применений метода Монте-Карло было моделирование электронно-фотонных ливней. Успех метода в приложении к этой задаче определяется тем, что классическое описание процесса, хотя и не представляет принципиальных трудностей, практически бесполезно из-за чрезмерно большого числа переменных. Решение проблемы с помощью метода Монте-Карло сводится к последовательному моделированию судьбы каждой частицы (гамма-кванта, электрона или позитрона), участвующей в процессе, и моделированию соответственного элементарного акта взаимодействия. При этом возникают параметры вторичных частиц, судьбу которых прослеживают аналогично. Имеется ряд прикладных программ, работающих по этому принципу, однако для сверхвысоких энергий (~1 ТэВ) прослеживание всех частиц ливня требует нереально большого машинного времени.

Метод Монте-Карло используется также при анализе данных, полученных в экспериментах с элементарными частицами. В результате взаимодействия двух частиц образуется ряд вторичных частиц; некоторые из них нестабильны и распадаются, образуя новые частицы. Весь каскадный процесс описывается совокупностью k переменных p₁, ..., p_k. Плотность распределения этих переменных определяется теорией или моделью, используемой для интерпретации данной реакции. Соответствующая формула может включать ряд неизвестных параметров h₁, ...,h_m, для определения которых проводят физический эксперимент. Tеперь полную плотность вероятности можно записать в виде F (p₁,...,p_k; h₁,...,h_m). С помощью физической установки (детектора) регистрируют все или некоторые из частиц, участвующих в реакции. В каждой конкретной реакции измеряют некоторые величины u₁,..., u_n, являющиеся функциями тех же переменных p_i и параметров h_j. Зарегистрировав достаточно большое число событий, можно экспериментально оценить плотность вероятности величин u_j:r(u₁,..., u_n) и путём сопоставления этой функции с теоретически предсказываемой определить параметры h. Обычно для этого применяют наименьших квадратов метод или (в более общем случае) максимального правдоподобия метод. При использовании конкретной физической методики (фотоэмульсия, пузырьковая камера, спектрометр с искровыми, пропорциональными или дрейфовыми камерами) непосредственным результатом эксперимента является произведение функции r на т. н. приборную функцию или эффективность e(p₁,...,p_k). Очевидно, что при анализе соответственных распределений необходимо учитывать искажения, вносимые детектором. Общепринятым методом расчёта эффективностей к является метод Монте-Карло.

Моделирование взаимодействий и процесса прохождения вторичных  частиц через детектор даёт возможность определить геометрическую эффективность детектора, т. е. долю регистрируемых событий от их полного числа. Имитация траекторий или сигналов в детекторах (сцинтилляционных, черепковских и др.) позволяет производить обратную реконструкцию моделирования событий и сравнивать найденные т. о. кинематической характеристики с истинными. С помощью такой процедуры определяют разрешающую способность детектора.

В квантовой теории поля метод Монте-Карло интенсивно используют для расчётов в калибровочных теориях на решётке. Наиболее эффективно применение этого метода к тем явлениям в квантовой хромодинамике (KXД), которые обусловлены взаимодействием кварков на сравнительно больших расстояниях. Как известно, в КХД с увеличением расстояния растёт и эффективность константа связи, что делает невозможным применение теории возмущений. Одним из основных средств исследования в т. н. непертурбативной области КХД стал метод численного расчёта на четырёхмерной решётке. В таком подходе используют формулировку КХД с помощью функциональных интегралов, при этом средние по квантовым флуктуациям полей в каждой точке пространства-времени представлены в виде интегралов. Эти интегралы вычисляют с применением метода Монте-Карло. Точность расчётов улучшается с увеличением размера решётки, однако при этом существенно растёт время, затрачиваемое на вычисления. Даже наиболее мощные ЭВМ способны обеспечить проведение расчётов на решётках лишь сравнительно небольшого размера. Качественный скачок в этом направлении возможен при использовании специальных счётных устройств, включающих большое количество автономных микропроцессоров. Наиболее интересные результаты: вычисление спектра масс чисто глюонных частиц (глюболов), оценка температуры фазового перехода адронной материи в кварк-глюонную плазму и расчёт потенциала взаимодействия на больших расстояниях. Учёт кварков при расчётах на решётке даёт возможность вычислить спектр масс адронов, т. е. почти всех элементарных частиц. Сделанные до сих пор оценки имеют не очень высокую точность.

В статистической физике использование метода Монте-Карло имеет свою специфику и тесно переплетается с другим численным методом - молекулярной динамики методом. Одно из направлений в этой области - исследование физики жидкости. Традиционная модель, применяемая для описания жидкости,- система твёрдых сфер либо твёрдых дисков. Обычно исследуют модель, содержащую от нескольких десятков до тысячи таких сфер. Варьируя конкретный вид взаимодействия между этими объектами, можно моделировать поведение таких сред, как классическая жидкость, электролитический раствор или жидкий металл. Методика моделирования плазмы различна для различной плотности электронов. При высокой плотности (характерной, напр., для белых карликов) электронный газ вырожден и рассматривается как неподвижная среда, в которой движутся ионы (однокомпонентная плазма). При меньшей плотности необходимо учитывать поляризацию электронного фона и эффекты экранирования. Поведение такой плазмы исследуют, направляют, с помощью модели заряженных твёрдых сфер, движущихся в однородном фоне. Метод Монте-Карло (наряду с молекулярной динамики методом )применяют также для изучения поверхностных явлений в жидкостях.

Метод Монте-Карло даёт возможность практического исследования фазовых диаграмм смесей и магнитных систем. Основные проблемы в этой области связаны с изучением упорядоченных состояний систем и с определением области устойчивости. Много работ посвящено природе фазовых переходов и поведению системы вблизи критической точки, а также динамике этого процесса. Чаще всего эти проблемы исследуются на Изинга модели.

Метод Монте-Карло применяют также для исследования квантовых жидкостей и кристаллов. С помощью этого метода можно решать уравнения Шрёдингера и получать точные численные оценки для характеристик основного состояния бозонной системы.

Важное практическое применение метода Монте-Карло нашёл в ядерной геофизике. Широкое использование нейтронного и гамма-каротажа при поиске полезных ископаемых делает актуальными задачи переноса излучения в многокомпонентной среде и оценки функции отклика прибора с учётом реальных геологических и технических условий измерения. Решение этих задач основано на применении метода Монте-Карло В 1980-х гг. прямое статистическое моделирование стало применяться в аэромеханике и гидромеханике. Типичной задачей в этой области является обтекание тела произвольной геометрии высокоскоростной струёй разреженного газа. Процесс описывается нелинейным уравнением Больцмана, и оценки эксперимента величин (направление, распределение потоков импульса и энергии на поверхности тела) проще получаются с применением метода Монте-Карло.