Решение задач по дисциплине "Эконометрика"

Вариант 4

 

Задание 1.

1.10. По данным изменения  социологического процесса построить  математическую модель, используя  интерполяционную формулу Лагранжа. Сделать прогноз по процессу  в 2012 году.

 

Годы	Показатель
2003	35
2009	50
2010	55
2011	57

 

Решение

Составим математическую таблицу

х	у
3	35
9	50
10	55
11	57

 

При интерполяции с помощью формулы Лагранжа, для n=3 имеем:

 

Преобразовав данное выражение (раскрыв скобки и, приведя слагаемые к общему знаменателю) получим:

- интерполянта.

Год 2012 соответствует х=12, прогноз

 

 

 

 

Задание 2.

Экспериментально получены пять значений функции   при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице:

 

	1	2	3	4	5

 

Методом наименьших квадратов найти функцию вида , выражающую приближенно (аппроксимирующую) функцию . Сделать чертеж, на котором в декартовой прямоугольной системе координат построить экспериментальные точки и график аппроксимирующей функции .

  .

Решение

 

Заполним вспомогательную таблицу

х	у	х*х	х*у
1	4,9	1	4,9
2	5,9	4	11,8
3	4,4	9	13,2
4	2,4	16	9,6
5	2,9	25	14,5
15	20,5	55	54

 

Система нормальных уравнений

имеет вид  

искомая зависимость

 

 

 

 

Задание 3.

Имеются три пункта поставки однородного груза пять пунктов потребления этого груза. На пунктах находится груз соответственно в количестве т. В пункты требуется доставить соответственно т груза.

Расстояние между пунктами потребления приведено в следующей матрице таблице:

 

Пункты поставки	Пункты потребления

 

Найти план перевозок данной транспортной задачи методом северо-западного угла.

              

Решение.

При нахождении опорного плана транспортной задачи методом северо-западного угла на каждом шаге рассматривают первый из оставшихся пунктов отправления и первый из оставшихся пунктов назначения. Заполнение клеток таблицы условий начинается с левой верхней клетки для неизвестного («северо-западный угол») и заканчивается клеткой для неизвестного , т. е. идет как бы по диагонали таблицы.

Здесь число пунктов отправления , а число пунктов назначения Следовательно, опорный план задачи определяется числами, стоящими в заполненных клетках.

Заполнение таблицы начнем с клетки для неизвестного , т. е. попытаемся удовлетворить потребности первого пункта назначения за счет запасов первого пункта отправления. Так как запасы пункта больше, чем потребности пункта , то полагаем , записываем это значение в соответствующей клетке временно исключаем из рассмотрения столбец , считая при этом запасы пункта равными 140.

 

Пункты отправления	Пункты назначения										Запасы
	3		12		9		1		7		350
		210		140
	2		4		11		2		10		330
				30		220		80
	7		14		12		5		8		270
								70		200
Потребности	210		170		220		150		200		950

 

Рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления и назначения . Запасы пункта меньше потребностей пункта . Положим , запишем это значение в соответствующей клетке и временно исключим из рассмотрения строку А1. Потребности пункта В2 считаем равными 30. Снова рассмотрим первые из оставшихся пунктов отправления и назначения  . Потребности пункта меньше запасов пункта . Положим и исключим из рассмотрения столбец . Значение запишем в соответствующую клетку и считаем запасы пункта равными 300 ед.

Теперь перейдем к заполнению клетки для неизвестного и т. д. И через четыре шага остается один пункт отправления с запасом груза 200 ед. и один пункт назначения с потребностью 2000 ед. Соответственно имеется одна свободная клетка, которую и заполняем, полагая . В результате получаем опорный план

                                           

Согласно данному плану перевозок, общая стоимость перевозок всего груза составляет

                

 

Задание 4.

 

Задана система линейных уравнений в матричной форме AX=Y,

где      A -  известная матрица,

Y -   известный вектор,            

X -  неизвестный вектор. 

Требуется:

1. Задать матрицу A размером 10x10, вектор Y размером 10. Элементами матрицы A и вектора Y должны быть целые случайные числа от 0до 10.

При задании матрицы использовать следующую формулу: =ОКРВВЕРХ(СЛЧИС()*N;1), где N - номер варианта.

2.   Используя специальную вставку, скопировать только значения матрицы A и вектора Y.

3.   Найти определитель матрицы A.

4.   Найти обратную матрицу B = A-1.

5.   Проверить, что полученная матрица B является обратной.

6.      Найти вектор X по формуле X = BY.

 

Решение

 

1,2 . Задаем матрицу А  размером 10х10

 

3. Определитель матрицы  А

 

4. Обратная матрица В

 

5. Проверка того, что матрица  В является обратной

 

 

6. Нахождение вектора Х

 

 

 

 

 Задание 5.

 

Метод наименьших квадратов

5.4.    Некоторые исходные показатели экономического развития КНР (Источник: МЭ и международные отношения. – 2002. – № 8. – С. 65).

 

1. Методом наименьших  квадратов по табличным данным  найти аппроксимирующие (приближаемые) функции, то есть регрессии: линейную, квадратичную, показательную, гиперболическую.

2. В каждом случае найти  общую ошибку и среднюю ошибку  аппроксимации. Указать функцию лучшей аппроксимации.

3. Построить линии регрессии  на одной плоскости вместе  с исходными данными.

Таблицу (рис. 1) можно считать функцией, заданной таблично. 

 

Решение

1. Определим систему нормальных уравнений для нахождения оценок параметров линейной регрессии: .

 

Заполним вспомогательную таблицу

Год	х	у	х*х	х*у
1985	12,116	42,2	146,797456	511,2952
1986	8,111	42,9	65,788321	347,9619
1988	11,311	55,3	127,938721	625,4983
1989	4,612	59,1	21,270544	272,5692
1990	3,801	53,4	14,447601	202,9734
1991	9,305	63,8	86,583025	593,659
1992	14	80,6	196	1128,4
1993	13,32	104	177,4224	1385,28
1994	11,663	115,7	136,025569	1349,4091
	88,239	617	972,273637	6417,0461

 

Заполним исходные данные в Excel:

 

Для решения данной системы будем использовать надстройку Excel Поиск решения.

 

 

В результате получим решение:

 

Искомая линейная зависимость

Квадратичная зависимость

 

 

 Применим «Поиск решения»:

Решение системы:

Искомая квадратичная зависимость:

 

Показательная зависимость .

Прологорифимируем данное выражение:

 

Применим «Поиск решения»:

Решение системы

 

Искомая показательная зависимость

 

 

Гиперболическая зависимость

Введем обозначение , тогда зависимость принимает вид: .

 

Применим «Поиск решения»:

 

Решение системы

 

 

Искомая гиперболическая зависимость

 

3. Средняя ошибка аппроксимации для линейной функции

 

х	у	у^
12,116	42,2	76,490	0,813
8,111	42,9	62,743	0,463
11,311	55,3	73,727	0,333
4,612	59,1	50,734	0,142
3,801	53,4	47,950	0,102
9,305	63,8	66,842	0,048
14	80,6	82,957	0,029
13,32	104	80,623	0,225
11,663	115,7	74,935	0,352
88,239	617	617,000	2,506