Использование инструментария электронных таблиц в анализе денежных потоков

Непрерывные проценты представляют главным образом теоретический интерес и редко используются на практике. Они применяются в особых случаях, когда вычисления необходимо производить за бесконечно малые промежутки времени.

В дальнейшем по ходу изложения материала данной главы  будут использоваться сложные проценты, техника исчисления которых является базой для количественного анализа операций с долгосрочными ценными бумагами .

Методы наращения  и дисконтирования играют важную роль в финансовом анализе, так как  являются инструментарием для оценки потоков платежей (cash flows).

 

2 Оценка потоков платежей

Как было сказано выше, проведение практически любой финансовой операции порождает движение денежных средств. Такое движение может характеризоваться возникновением отдельных платежей, или множеством выплат и поступлений, распределенных во времени.

В процессе количественного анализа финансовых операций, удобно абстрагироваться от их конкретного экономического содержания и рассматривать порождаемые ими движения денежных средств как численный ряд, состоящий из последовательности распределенных во времени платежей CF₀, CF₁, ..., Cf_n. Для обозначения подобного ряда в мировой практике широко используется термин “поток платежей” или “денежный поток” (cash flow – CF).

Отдельный элемент  такого численного ряда CF_t представляет собой разность между всеми поступлениями (притоками) денежных средств и их расходованием (оттоками) на конкретном временном отрезке проведения финансовой операции. Таким образом, величина CF_t может иметь как положительный, так и отрицательный знак.

Количественный  анализ денежных потоков, генерируемых за определенный период времени в результате реализации финансовой операции, или функционирования каких-либо активов, в общем случае сводится к исчислению следующих характеристик [7, 9, 13, 15, 16]:

FV_n – будущей стоимости потока за n периодов;

PV_n – современной стоимости потока за n периодов.

Часто возникает  необходимость определения и  ряда других параметров финансовых операций, важнейшими из которых являются:

CF_t – величина потока платежей в периоде t;

r – процентная ставка;

n – срок (количество периодов) проведения операции. Ниже будут рассмотрены наиболее распространенные виды денежных потоков, их свойства, а также технология автоматизации исчисления перечисленных характеристик и параметров с применением  EXCEL.

2.1 Финансовые операции с элементарными потоками платежей

Простейший (элементарный) денежный поток состоит из одной  выплаты и последующего поступления, либо разового поступления с последующей  выплатой, разделенных n - периодами времени (например – лет).

Примерами финансовых операций с подобными потоками платежей являются срочные депозиты, единовременные ссуды, некоторые виды ценных бумаг и др. Нетрудно заметить, что численный ряд в этом случае состоит всего из двух элементов – {-PV; FV} или {PV; -FV}.

Операции с  элементарными потоками платежей характеризуются четырьмя параметрами – FV, PV, r, n. При этом величина любого из них может быть определена по известным значениям трех остальных.

Будущая величина элементарного потока платежей

Рассмотрим  технологию исчисления будущей величины элементарного потока платежей на следующем примере.

Пример 1.2

Сумма в 10000 помещена в банк на депозит сроком на 4 года. Ставка по депозиту – 10% годовых. Проценты по депозиту начисляются раз в год. Какова будет величина депозита в конце срока?

По условиям данной операции известными величинами являются: первоначальная сумма вклада PV = 10000, процентная ставка r = 10% и срок n = 4 года.

Определим будущую величину вклада на конец  первого периода:

FV₁ = PV + PV´ r = PV(1 + r) = 10000(1 + 0,1) = 11000.

Соответственно для второго периода величина FV будет равна:

FV₂ = FV₁ + FV_1´ r = PV(1 + r) + PV(1 + r)´ r = PV(1 + r)² =

= 10000(1 + 0,1)² = 12100.

Для последнего периода (n = 4):

FV₄ = FV₃ + FV_3´ r = PV(1 + r)⁴ = 10000(1 + 0,1)⁴ = 14641.

Общее соотношение  для определения будущей величины имеет следующий вид:

. (1.3)

Нетрудно заметить, что величина FV существенно зависит от значений r и n. Например, будущая величина суммы всего в 1,00 при годовой ставке 15% через 100 лет составит 1174313,45!

На рис. 1.1 приведен график, отражающий рост суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

 

Рис. 1.1. Рост суммы  в 1.00 по ставкам сложных процентов

На практике, в зависимости от условий финансовой сделки, проценты могут начисляться  несколько раз в году, например, ежемесячно, ежеквартально и т.д. В этом случае соотношение (1.3) для исчисления будущей стоимости будет иметь следующий вид:

, (1.4)

где m – число периодов начисления в году.

Очевидно, что  чем больше m, тем быстрее идет наращение суммы.

Допустим, что в примере 1.2 проценты выплачиваются ежеквартально (т = 4). Определим FV_4,4 :

FV_4,4 = 10000,00 (1 + 0,10/4)¹⁶ = 14845,06, т.е. на 204,06 больше, чем при начислении процентов раз в год.

Часто возникает  необходимость сравнения условий  финансовых операций, предусматривающих различные периоды начисления процентов. В этом случае осуществляют приведение соответствующих процентных ставок к их годовому эквиваленту:

, (1.5)

где r – номинальная ставка; m – число периодов начисления.

Полученную при этом величину называют эффективной процентной ставкой (effective percentage rate – EPR) или ставкой сравнения.

Осуществим расчет эффективной  процентной ставки и будущей величины вклада для примера 1.2:

ЕPR = (1 + 0,1/4)⁴- 1 = 0,103813

FV = 10000,00 (1 + 0,103813)⁴ = 14845,06.

Таким образом, условия помещения  суммы в 10000,00 на депозит сроком на 4 года под 10% годовых при ежеквартальном начислении процентов и под 10,3813%, начисляемых раз в год, являются эквивалентными.

Современная величина элементарного потока платежей

Формулу для определения  современной величины элементарного  потока платежей можно легко вывести  из соотношения (1.3), путем деления  его обеих частей на величину (1 + r)ⁿ. Выполнив соответствующие математические преобразования, получим:

. (1.6)

Пример 1.3

Выплаченная по 4-х летнему депозиту сумма  составила величину в 14641,00. Определить первоначальную величину вклада, если ставка по депозиту равна 10% годовых.

PV = 14641,00 / (1 + 0,1)⁴ = 10000,00.

На рис 1.2 приведена  графическая диаграмма, отражающая процесс дисконтирования суммы в 1,00 при различных ставках сложных процентов.

Рис. 1.2. Дисконтирование  суммы в 1,00 при различных ставках r

Как и следовало  ожидать, величина PV также зависит от продолжительности операции и процентной ставки, однако зависимость здесь обратная – чем больше r и n, тем меньше текущая (современная) величина.

В случае, если начисление процентов осуществляется m-раз в году, соотношение (1.6) будет иметь следующий вид:

. (1.7)

Исчисление процентной ставки и  продолжительности операции

Формулы для  определения величин r и n могут быть получены из (1.3) и приводятся ниже в готовом виде.

При известных  величинах FV, PV и n, процентную ставку можно определить по формуле:

. (1.8)

Пример 1.4

Сумма в 10000,00 помещенная в банк на 4 года составила величину в 14641,00. Определить процентную ставку (доходность операции).

r = (14141,00 / 10000,00)^1/4 - 1 = 0,10 (10%).

Длительность  операции определяется путем логарифмирования:

. (1.9)

Приведенные соотношения (1.3 – 1.9) позволяют определить основные количественные характеристики финансовых операций, в результате проведения которых возникают элементарные потоки платежей.

Автоматизация анализа элементарных потоков платежей

Соотношения (1.3 – 1.9) могут быть легко реализованы  в виде соответствующих формул EXCEL. Например, соотношение (1.9), могло бы быть задано следующим арифметическим выражением:

=LOG(FV / PV) / LOG(1 + r), где 

LOG – имя функции  для вычисления логарифма; 

FV, PV, r – соответствующие числовые значения.

Однако современные  табличные процессоры содержат множество  готовых функций, автоматизирующих проведение финансовых расчетов.

В  EXCEL для  этих целей реализована специальная  группа из 52 функций, получивших название финансовых.

Для исчисления характеристик финансовых операций с элементарными потоками платежей удобно использовать функции БЗ(), КПЕР(), НОРМА(), ПЗ() (табл. 1.1).

 

Таблица 1.1

Функции для  анализа потоков платежей

Наименование  функции		Формат  функции
Англоязычная  версия	Русская версия
FV	БС	БС(ставка; кпер; платеж; нc; [тип])
NPER	КПЕР	КПЕР(ставка; платеж; нз; бс; [тип])
RATE	НОРМА	НОРМА(кпер; платеж; нз; бс; [тип])
PV	ПЗ	ПЗ(ставка; кпер; платеж; бс; [тип])
PMT	ППЛАТ	ППЛАТ(ставка; кпер; нз; [бс]; [тип])
FVSHEDULE	БЗРАСПИС	БЗРАСПИС(сумма; массив ставок)
NOMINAL	НОМИНАЛ	НОМИНАЛ(эф_ставка; кол_пер )
EFFECT	ЭФФЕКТ	ЭФФЕКТ(ном_ставка; кол_пер)

Как следует  из табл. 1.1, большинство функций  имеют одинаковый набор базовых  аргументов :

ставка  – процентная ставка (норма доходности или цена заемных средств – r);

кпер  – срок (число периодов – п) проведения операции;

выплата – величина периодического платежа (CF);

нз  – начальное значение (величина PV);

бс – будущее значение (FV);

[тип] – тип  начисления процентов (1 – начало  периода, 0 – конец периода), необязательный аргумент.

Как вы уже знаете, любая из 4-х характеристик FV, PV, r и п подобных операций может быть определена по известным величинам трех остальных. Поэтому список аргументов каждой функции состоит из трех известных величин (аргумент “выплата” здесь не требуется, так как денежный поток состоит из единственного платежа), при задании которых мы будем использовать обозначения, введенные выше.

Для простого расчета  необходимой характеристики достаточно ввести в любую ячейку электронной таблицы имя соответствующей функции с заданными аргументами.

Напомним, что  аргументы функций в русифицированной версии ППП EXCEL разделяются символом “;”, а признаком ввода функции служит символ “=”.

Функция БС(ставка; кпер; выплата; нз; [тип])

Эта функция позволяет определить будущее значение потока платежей, т.е. величину FV.

Пример 1.5

Определить  будущую величину вклада в 10000,00, помещенного в банк на 5 лет под 5% годовых, если начисление процентов осуществляется:

а) раз  в году; б) раз в месяц.

Введите в любую ячейку ЭТ:

=БЗ(0,05; 5; 0; -10000) (Результат: 12762,82)

=БЗ(0,05/12; 5*12; 0; -10000) (Результат: 12833,59).

Нужно обратить особое внимание на способы задания аргументов.

Значение процентной ставки (аргумент “ставка”) обычно задается в виде десятичной дроби: 5% – 0,05; 10% – 0,1; 100% – 1 и т.д.

Если начисление процентов осуществляется m-раз в году, аргументы необходимо откорректировать соответствующим образом:

r = r/m и n = n ´ m.

Аргумент “начальное значение – нз” здесь задан в виде отрицательной величины (-10000), так как с точки зрения вкладчика эта операция влечет за собой отток его денежных средств в текущем периоде с целью получения положительной величины (12762,82) через 5 лет.

Однако для  банка, определяющего будущую сумму возврата средств по данному депозиту, этот аргумент должен быть задан в виде положительной величины, так как означает поступление средств (увеличение пассивов):

=БС(0,05; 5; 0; 10000) (Результат: -12762,82).

Полученный  же при этом результат – отрицательная величина, так как операция означает расходование средств (возврат денег банком вкладчику).

Как уже отмечалось, аргумент "выплата" не используется при анализе элементарных потоков, поэтому здесь и в дальнейшем он имеет нулевое значение. Его также можно задать в виде пустого параметра – ";", например: