Лекция по "Финансам"

Тема : «Визначення вартості грошей у часі та її використання у фінансових розрахунках»

ПЛАН

1.      Визначення вартості грошей у часі та її використання у фінансових розрахунках

2.      Методи визначення вартості грошової одиниці

3.      Рентні платежі (ануїтети) та їх оцінка

4.      Доходність фінансових операцій

5.      Оцінка фінансових активів

Тема 4. «Визначення вартості грошей у часі та її використання у фінансових розрахунках».

1. Вартість грошей і час

Згідно з найбільш розповсюдженою точкою зору гроші представляють собою особливого виду товар, який можна без обмежень обміняти на будь-які інші товари. Крім того, гроші – це еквівалент вартості усіх інших товарів, бо саме за допомогою грошей у вигляді фіксованої кількості грошових одиниць вимірюється вартість будь-якого товару.

Для того, щоб виконувати зазначену функцію, гроші самі повинні мати вартість. Причому грошова одиниця, яка є сьогодні, і грошова одиниця, яка очікується до одержання через деякий час, не є рівноцінними. Є принцип, який діє незалежно від зміни загального рівня цін: мати певну суму грошей сьогодні завжди краще, ніж мати її завтра. Це пояснюється дією трьох основних факторів (рис. 1).

Рис. 1. Фактори, що визначають зміну вартості грошей у часі

Інфляція – явище, властиве практично будь-якій економіці. Негативне відношення до неї, яке існувало в нашій країні протягом багатьох років, не є коректним. Перманентне знецінення грошей, що відбувається в умовах інфляції, викликає, з одного боку, природне бажання вкласти їх в певні активи, тобто в деякій мірі стимулює інвестиційний процес. З іншого боку, це частково пояснює, як відрізняються наявні гроші, і ті, що очікуються до одержання в майбутньому.

Ризик неодержання очікуваної суми є іншою вагомою причиною, згідно з якою будь-який договір, за яким очікується надходження грошових коштів в майбутньому, має певну ймовірність бути невиконаним взагалі або виконаним частково. Наприклад, необхідно зробити вибір між двома потенційними покупцями продукції підприємства: перший пропонує гарантовану суму в 5000 грн. у вигляді передоплати, другий – обіцяє сплатити 7500 грн., але через місяць. З неофіційних джерел відомо про те, що другий покупець притягнутий до суду і у випадку негативного результату вірогідно понесе значні збитки, що може призвести до його банкрутства. На думку фінансового консультанта підприємства, ймовірність такого результату дорівнює 0,2. Таким чином, якщо порівняти варіанти без врахування ризику можливого неодержання платежу, то потрібно надати перевагу другому покупцю. Хоча очікуваний доход приблизно такий же (7500 х 0,7 + 0 х 0,2 = 5250 грн.), а ймовірність неодержання грошей є достатньо високою.

Оборотність – здатність грошей до ліквідності – існує тому, що в ринковій економіці грошовий сектор розпадається на дві складові (рис. 2).

Рис. 2. Склад грошового сектору

Грошові кошти, як і будь-який актив, повинні з часом генерувати доход за ставкою, яка задовольняє власника цих коштів. Тому сума, очікувана до одержання через деякий час, повинна перевищувати початкову суму, якою володіє інвестор в момент прийняття рішення, на величину можливого доходу.

У будь-якому випадку, навіть не враховуючи інфляцію та ризики, вартість однієї і тієї самої суми грошей сьогодні завжди є більшою, ніж завтра. Тому що вимірювання вартості грошей ґрунтується на можливості їх використання протягом певного періоду часу.

Саме на базі розрахунку вартості використання грошей протягом певного періоду часу і ґрунтуються концепції майбутньої та теперішньої вартості грошей.

Можливі напрями застосування концепції вартості грошей в часі відображені на рис. 3.

Рис. 3. Напрями застосування концепції вартості грошей в часі

Для того, щоб порівняти окремі грошові суми і потоки за різні проміжки часу, з’ясувати доцільність та ефективність вкладення коштів застосовується фінансова математика.

Методи визначення вартості грошової одиниці

Оскільки існують дві складові концепції вартості грошей в часі, відповідно, існують і два способи визначення і нарахування відсотків.

Декурсивний спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються в кінці кожного інтервалу нарахування. Їх величина визначається, виходячи з величини капіталу, що надається. Відповідно декурсивна відсоткова ставка (позиковий відсоток) представляє собою виражене у відсотках відношення суми нарахованого за певний інтервал доходу до суми, що є на початок даного інтервалу.

                                                                         (4.1)

У фінансових розрахунках перший показник ще називається “відсотковою ставкою”, “відсотком”, “ставкою відсотку”, “нормою прибутку”, “доходністю”.

Антисипативний (попередній) спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума процентних грошей визначається, виходячи з нарощеної суми. Відсотковою ставкою буде відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал, до величини нарощеної суми, одержаної по закінченні цього інтервалу (у відсотках).

                                                                              (4.2)

Визначена таким чином відсоткова ставка називається (в широкому смислі слова) обліковою ставкою, дисконтом або антисипативним відсотком.

Очевидно, що обидві ставки взаємопов’язані, тобто, знаючи один показник, можна розрахувати інший:

                         або                       

Декурсивний спосіб нарахування відсотків є поширеним в світовій практиці; антисипативний метод нарахування відсотків застосовувався в країнах розвинутої ринкової економіки, як правило, в періоди високої інфляції. Але незалежно від способу нарахування відсотків відсоткові ставки можуть бути простими і складними.

Простий відсоток. Простий відсоток – це нарахування відсотку лише на початково інвестовану суму.

Наприклад, на початку року інвестор розміщує на рахунку в банку суму Р під відсоток r. Через рік він одержить суму Р1, яка дорівнює початково інвестованим коштам плюс нараховані відсотки, або

Р1 = Р + Рr = Р (1 + r)

Через два роки сума на рахунку складатиме:

Р2 = Р + Рr + Рr= Р (1 + 2r)

Аналогічно можна представити суму Рn, яку вкладник одержить через n років:

Рn = Р (1 + r n),                                                       (4.3)

де: Рn – майбутня вартість;

Р – сьогоднішня вартість.

Приклад

Розрахуйте нарощену суму з вихідної суми в 20000 грн. при розміщенні її в банку на умовах нарахування простих відсотків, якщо річна ставка 15 %, а період нарахування – 10 років.

Нарощена сума складає:

20000 (1 + 0,15 х 10) = 50000 грн.

(Щоб зробити формули більш компактними, відсотки, що нараховуються, беруть одразу в десяткових значеннях, тому замість 15 % ми поставили 0,15).

Нарахування за схемою простих відсотків застосовується, як правило, в короткострокових фінансових операціях, коли інтервал нарахування співпадає з періодом нарахування (і дорівнює строку менше одного року), або коли після кожного інтервалу нарахування кредитору виплачуються відсотки. Природно, що нарахування простих відсотків може застосовуватись і в будь-яких інших випадках за домовленістю сторін, що беруть участь в операції.

Якщо простий відсоток нараховується протягом періоду, який складає менше року, формула (4.3) набуває вигляду:

                                                                              (4.4)

де: t – кількість днів нарахування відсотку протягом року;

Т – кількість днів в році;

Pt – сума, яка одержується при нарахуванні відсотку за t днів;

r – відсоток, що нараховується.

Якщо не зазначено інше, звичайно нарахований відсоток задається як відсоток в розрахунку на рік. Тоді за t днів буде нарахована тільки його частина, а саме  або .

                                                          (4.5)

або

,                                                        (4.6)

В формулі (4.5) фінансовий рік складатиме 360, а в формулі (4.6) – 365 днів. Вибір формули (4.5) або (4.6) залежить від того, з яким інструментом працює інвестор. Так, в банківській системі рік вважається рівним 360 дням. Тому розрахунки по нарахуванню відсотків по вкладах потрібно робити за допомогою формули (4.5). Розрахунки по операціях з державними короткостроковими облігаціями здійснюються на базі, рівній 365 дням. В даному випадку використовують формулу (4.6).

В залежності від способу визначення тривалості фінансової операції розраховується або точний, або приблизний (комерційний) відсоток.

Дата видачі і дата погашення позики завжди приймаються за один день. При цьому можливі два варіанти:

- використовується точна кількість днів позики, яка визначається по спеціальних таблицях, де вказані порядкові номери кожного дня року; з номеру, який відповідає дню закінчення позики, рахують день першого дня;

- береться приблизна кількість днів позики, коли тривалість повного місяця приймається за 30 днів; цей метод використовується, коли не потрібна велика точність, наприклад, при частковому погашенні позики.

Точний відсоток одержують, коли за часову базу беруть фактичну кількість днів в році (365 або 366) і точне число днів позики.

На практиці вибір того чи іншого способу залежить від величини суми, яка використовується при здійсненні фінансової операції.

Приклад

60000 грн. надані підприємству в кредит на 4 місяці з 1.05. ц. р. за ставкою 14 % річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення, якщо нарахування здійснюється з використанням: а) точних відсотків, б) приблизних відсотків.

Сума кредиту дорівнює: при використанні точного відсотку:

;

при використанні приблизного відсотку:

;

Для порівняльного аналізу фінансові розрахунки необхідно здійснювати на підставі одного часового періоду, тобто 360 або 365 днів. Тому виникає необхідність перерахунку величини відсотку з однієї часової бази на іншу. Це можливо зробити за допомогою формул (4.7) і (4.8):

                                                                             (4.7)

,                                                             (4.8)

де: r365 – ставка відсотку на базі 365 днів;

r360 – ставка відсотку на базі 360 днів.

Приклад

. Визначити ставку відсотку на базі 365 днів.

Відсоткова ставка дорівнює:

В прикладі відсоткова ставка на базі 365 днів дорівнює 15,21 %, а для 360 днів – тільки 15 %. Такий результат одержується в зв’язку з тим, що в першому випадку додатково передбачається нарахування відсотків ще протягом 5 днів.

Якщо період нарахування відсотків вимірюється в місяцях, то формули (4.5) і (4.6) можна представити наступним чином:

,                                                            (4.9)

де: t – кількість місяців, протягом яких нараховується відсоток;

Рt – сума, яку інвестор отримає через t місяців.

Приклад

50000 грн. надані підприємству в кредит на шість місяців за ставкою 8 % річних. Необхідно визначити суму кредиту до погашення.

Вона дорівнює:

Складний відсоток: нарахування відсотку один раз на рік

У довгострокових фінансово-кредитних угодах частіше використовують нарахування складних відсотків. При нарахуванні складних відсотків їх нараховують не тільки на основну суму, а й на суму, що включає як основну суму, так і нараховані раніше відсотки. У цьому випадку кажуть, що відбувається капіталізація відсотків в міру їх нарахування.

Відповідно до ідеології нарахування складних відсотків за перший період нарахування відсотків базою для нарахування є основна сума:

Р1 = Р (1 + r)

Відмінність результатів для складного і простого відсотків виникає, починаючи з другого періоду нарахування, оскільки в кінці другого року його капітал зросте до:

Р2 = Р (1 + r) + Р(1 + r) r = Р (1 + r) (1 + r) = Р (1 + r)2

В кінці третього року він складе:

Р3 = Р (1 + r)2 + Р(1 + r)2 r = Р (1 + r)2 (1 + r) = Р (1 + r)3

Аналогічно можна показати, що через n років сума на рахунку зросте до величини:

Рn = Р (1 + r)n                                                                     (4.10)

Формула складних відсотків є однією з базових формул у фінансових розрахунках, тому для зручності користування значення множника , який носить назву мультиплікованого множника і який забезпечує нарощення вартості, табульовані для різних значень r і n (див. додаток 1).

Приклад

250000 грн. інвестовані на 4 роки під 6 % річних. Яку суму одержить інвестор в кінці строку?

Нарахування відсотків декілька разів на рік. Складний відсоток може нараховуватися частіше, ніж один раз на рік, наприклад, раз в півроку, квартал, місяць тощо. Нарахування складних відсотків декілька разів на рік називається компаундингом. Як правило, у фінансових контрактах фіксується річна відсоткова ставка і при цьому відсотки можуть нараховуватися по півріччях, кварталах, місяцях тощо. Відсотки, що нараховуються з певною періодичністю, називаються дискретними. В цьому випадку річна ставка називається номінальною, а відсоткова ставка за один інтервал нарахування вважається рівною відношенню номінальної ставки до кількості інтервалів в році. Нарощена сума буде розраховуватись за наступною формулою:

,                                        (4.11)

де: m – періодичність нарахування відсотку протягом року.

Приклад

На вклад до банку в розмірі 9000 грн. строком на 5 років банк нараховує 18 % річних. Яка сума буде на рахунку в кінці строку, якщо нарахування відсотків здійснюється за схемою складних відсотків: а) щопівроку; б) щоквартально?

а)

б)

Отже, можна зробити висновок, що при фіксованій номінальній ставці є необхідним зазначення частоти нарахувань, оскільки зі зростанням кількості нарахувань відсотків протягом року абсолютний річний доход зростає.

Безперервні нарахування відсотку. Складний відсоток може нараховуватись дуже часто. Якщо тривалість інтервалу нарахування наближається до нуля, а періодичність нарахування відсотків – до нескінченності , ми одержимо безперервне нарахування відсотків, яке нерідко використовується в світовій практиці. Іншими словами, безперервне нарахування відсотків називається нескінченним компаундингом. Не дивлячись на те, що непросто уявити частоту нарахування відсотків, яка дорівнює нескінченності, математично можливо визначити ту суму коштів, яку одержить інвестор, якщо розмістить гроші на умовах відсотку, що нараховується безперервно. Формула для нескінченно нараховуваного відсотку має наступний вигляд: