Лекция по "Финансам"

,                                                                            (4.12)

де: rn – відсоток, що нараховується безперервно;

n – період часу нарахування відсотку;

е – 2,71828...

Приклад

Знайти нарощену за два роки суму при безперервному нарахуванні відсотків на 500 грн. за ставкою 6 % річних.

Формулу (4.12) можна одержати наступним чином:

де:

При безперервному нарахуванні відсотків m > ? і, відповідно, а > ?. В даному випадку:

Тоді

Еквівалентний і ефективний відсотки. В практиці фінансового ринку відсоток, що нараховується по активу, задають як простий відсоток з розрахунку на рік. Однак, якщо в рамках року по активу передбачено нарахування складного відсотку, то загальний результат, який одержить інвестор, буде вище декларованого. Щоб його визначити, необхідно розрахувати ефективний або реальний відсоток.

Ефективний (реальний) відсоток – це відсоток, який одержується за результатами року при нарахуванні складного відсотку.

Ефективний відсоток можна визначити з наступного співвідношення:

,                                                     (4.13)

де: rеф – ефективний відсоток;

r – простий відсоток з розрахунку на рік, який заданий за умовами фінансового інструменту.

                                                       (4.14)

Приклад

Знайти річну ефективну відсоткову ставку, еквівалентну номінальній ставці 16 % при щоквартальному нарахуванні відсотків.

або 16,99 %

Якщо відомий ефективний відсоток, то за формулою (4.15), яка випливає з формули (4.14), можна визначити еквівалентний йому простий відсоток з розрахунку на рік:

                                                     (4.15)

Приклад

, нарахування проводяться раз у півроку. Визначити еквівалентний простий відсоток.

або 14,48 %

Еквівалентність безперервно нарахованого відсотку і відсотку, нарахованого m разів на рік. У фінансових розрахунках може виникнути необхідність знайти еквівалентність між безперервно нарахованим відсотком і відсотком, нарахованим m разів на рік. Наприклад, у формулах визначення курсової вартості опціону використовується відсоток, що нараховується безперервно. В той же час на фінансовому ринку інвестори, головним чином, оперують ставками, що передбачають нарахування відсотку m разів на рік, півроку, квартал і місяць.

Еквівалентність між двома видами відсотків можна знайти, прирівнявши суми, отримані з врахуванням безперервно нарахованого відсотку і нарахування відсотку m раз на рік, а саме:

,                                     (4.16)

де: rn – безперервно нарахований відсоток

або                                                                                 (4.17)

Звідси

                                         (4.18)

або

                                                            (4.19)

Приклад

Знайти відсоткову ставку, що відповідає безперервному нарахуванню відсотків, еквівалентну номінальній ставці 12 % при нарахуванні по півріччях.

або 11,654 %

З формули (4.15) відсоток r можна одержати наступним чином:

                                                                               (4.20)

Приклад

rn =20 %. Визначити еквівалентний йому відсоток з розрахунку на рік, якщо він нараховується щомісячно.

або 20,17 %

Комбінація простого і складного відсотків. Досить часто фінансові контракти укладаються на період, що відрізняється від цілої кількості років. В даному випадку відсотки можуть нараховуватись або за схемою складних відсотків (формула (4.10)), або за схемою, яка передбачає нарахування відсотків, що включає і складний, і простий відсотки (за змішаною схемою). Наприклад, кошти вкладника знаходяться на рахунку в банку n років і t днів. Відсотки капіталізуються (тобто приєднуються до основної суми коштів, на яку нараховується відсоток) в кінці кожного року. Протягом року нараховується простий відсоток. Для такого випадку суму, яку одержить інвестор, можна розрахувати за наступною формулою:

,                             (4.21)

де: Pn+t – сума, яку одержить інвестор за n років і t днів;

P – початково інвестована сума;

t – число днів, за які нараховується простий відсоток;

r – відсоток, що нараховується протягом року.

На практиці в даному випадку часто користуються формулою складних відсотків з відповідними нецілими показниками ступеня. Але потрібно взяти до уваги, що з точки зору сутності нарахування відсотків цей спосіб є приблизним і погрішність при розрахунках буде тим більшою, чим більше значення величин, що входять до формули. Потрібно враховувати, що приблизний метод дає менший, ніж є в дійсності, результат.

Таким чином, в ситуації, коли номінали грошових сум досить високі, від цього методу краще взагалі відмовитися. 

Приклад

Нехай 6000 грн. інвестовані на 1 рік і 4 місяці під складні відсотки за ставкою 22 % річних. Знайти нарощену до кінця строку суму а) за схемою складних відсотків; б) за змішаною схемою.

а)

б)

В залежності від того, коли вкладник розміщує кошти на рахунку, простий відсоток може нараховуватись також на початку періоду інвестування коштів або і на початку, і в кінці. Суми, які одержить вкладник, можна розрахувати за допомогою формул (4.22) і (4.23) (капіталізація відсотків здійснюється щорічно):

,                                   (4.22)

,                         (4.23)

Дисконтована вартість. У фінансових розрахунках виникає необхідність порівнювати між собою різні суми грошей в різні моменти часу.

Щоб порівняти суми грошей в часі, їх необхідно привести до одного часового знаменника. В практиці фінансових розрахунків прийнято приводити суми коштів, які одержить інвестор, до сьогоднішнього дня (початкової точки відліку), тобто визначити величину суми Р, яка в майбутньому повинна скласти задану величину Pn. В цьому випадку Р буде називатись поточною (теперішньою, приведеною) величиною суми Pn.

Теперішня вартість – грошова вартість майбутніх доходів на теперішній час. Розрахунки теперішньої вартості здійснюють за допомогою дисконтування.

Дисконтування – це зведення економічних показників різних років до порівнянного в часі вигляду. Дисконтування здійснюється за допомогою коефіцієнта дисконтування (дисконтуючого множника), в основі якого лежить формула складних відсотків і значення якого також табульовані

Цю задачу вирішують за допомогою формули (4.24), яка називається формулою дисконтованої або приведеної вартості. Вона випливає з формули (4.10):

.                                                                 (4.24)

де Pn – це майбутня вартість;

Р – дисконтована або приведена вартість (в літературі в якості синонімів використовують також терміни сьогоднішня, дійсна, поточна вартість);

 – це коефіцієнт дисконтування. Економічний зміст даного коефіцієнта полягає в тому, що його величина відповідає поточній вартості однієї грошової одиниці, яка буде одержана в кінці періоду n при складному відсотку r. Його величина залежить від тривалості часового періоду і необхідної ставки дисконту.

Формула (4.24) використовується і при оцінці облігацій з нульовим купоном. Оскільки грошові надходження по цій облігації за роками, за винятком останнього, дорівнюють нулю.

Приклад

Визначити поточну вартість облігації з нульовим купоном номінальною вартістю 5000 і строком погашення 12 років, якщо прийнятна норма прибутку складає 14 %.

Vt =

При нарахуванні складного відсотку m разів на рік формула (4.24) набуває вигляду:

,                                                       (4.25)

а для відсотку, що нараховується безперервно:

.                                                                                          (4.26)

На підставі формул (4.24), (4.25) і (4.26) одержуємо відповідно формули дисконтованої вартості для простого відсотку:

.                                                                     (4.27)

.                                                                              (4.28)

.                                                                              (4.29)

Визначення періоду нарахування відсотків. На практиці виникають питання визначення періоду часу, який необхідний для збільшення суми Р до значення Рn при нарахуванні відсотку r.

Для простого відсотку з формули (4.27) одержимо:

                                                                            (4.30)

Приклад

За який строк вклад в 8000 грн. збільшиться в 3 рази при ставці 20 % річних?

Приклад

За який строк вклад в 5000 грн. зросте до 13500 грн. при ставці 25 % річних?

Нехай рік дорівнює 365 дням, тоді 0,8 року еквівалентно . Таким чином, вклад буде дорівнювати 13500 грн. через 6 років і 292 дні.

З формул (4.28) і (4.29) період t буде дорівнювати відповідно:

                                                 (4.31)

На підставі формули (4.10) період часу інвестування дорівнює:

3. Рентні платежі (ануїтети) та їх оцінка

Визначення майбутньої вартості потоку платежів. Нехай інвестор протягом певного періоду часу в кінці кожного року одержує платежі, які не є однаковими. Якщо він буде інвестувати суму кожного платежу на час до закінчення даного періоду, то після його завершення одержить деяку суму грошей, яку називають майбутньою вартістю потоку платежів.

Майбутню вартість потоку платежів можна визначити за формулою:

,                                                   (4.34)

де: F – майбутня вартість потоку платежів;

Ct – сума платежу за рік t;

r – відсоток, під який інвестується сума Ct;

n – кількість років, протягом яких проводяться виплати.

Як видно з формули (4.34), нарахування відсотків на перший платіж здійснюється протягом (n – 1) року, тоді як сама виплата відбувається тільки в кінці першого року.

Приклад

Підприємством були інвестовані кошти на 5 років. В кінці першого року воно одержало 100000 грн., в кінці другого – 200000 грн., третього – 200000 грн., четвертого – 300000 грн., п’ятого – 300000 грн. та інвестувало суму кожного платежу під 30 % річних до закінчення цього п’ятирічного періоду. Визначити майбутню вартість потоку платежів.

100000(1 + О.3)5-1 + 200000(1 + 0,3)5-2 +200000(1 + 0,3)5-3 +300000(1 + 0,3) 5-4  +300000(1 + 0,3)5 -5 =1753010 грн.

Майбутня вартість звичайного ануїтету при нарахуванні складного відсотку один раз на рік.

Виникають ситуації, коли отримують (або виплачують) не одну суму, а декілька. Причому виплату (отримання) цих сум проводять за такими правилами: однакова сума через рівні проміжки часу за однієї й тієї самої діючої відсоткової ставки.

Такий механізм припливу (відпливу) грошей одержав назву ануїтету або ренти. Теорія ануїтетів є важливою частиною фінансової математики. Вона застосовується при розгляді питань доходності цінних паперів, в інвестиційному аналізі. Прикладами ануїтету є однакові суми коштів, які перераховують один раз на місяць на депозитний рахунок; однакові суми коштів, які отримують за договором фінансової оренди; однакові щомісячні виплати за кредитом; виплати по облігаціях; премії по страхуванню; регулярні внески до Пенсійного фонду.

Розрізняють два основних типи рент: безумовні й умовні ренти. Безумовні – ренти з фіксованим строком, тобто дати першої і останньої виплати визначені до початку ренти. Умовні – ренти, в яких дата першої та останньої виплат залежить від деякої події. Наприклад, пенсія чи премія по страхуванню життя. Рента називається звичайною або постнумерандо, якщо виплати здійснюються в кінці кожного періоду, і приведеною (авансованою, вексельною або пренумерандо), якщо виплати відбуваються на початку кожного періоду. В зв’язку з тим, що період ренти може співпадати або не співпадати з періодом нарахування відсотків, ренти класифікують на прості і загальні.

Найбільший інтерес з практичної точки зору представляють ануїтети, в яких всі платежі рівні між собою (постійні ануїтети) або змінюються у відповідності до деякої закономірності.

Як і для простої величини, для ануїтету можна визначити його майбутню та теперішню вартість.

Майбутню вартість ануїтету визначають як суму всіх платежів і складних відсотків, що їх нараховують на кожний платіж за період часу, який пройшов від моменту кожного платежу до моменту останнього платежу. Майбутня вартість ануїтету визначається на момент останнього платежу.

Визначити майбутню вартість звичайного ануїтету можливо за допомогою формули (4.34). Однак її можна привести до більш зручного вигляду, так як величина кожного платежу є однаковою. Помножимо обидві частини рівняння (4.14) на (1 + r) і віднімемо одержаний результат з рівняння (4.34). Одержимо:

або

або

                                                    (4.35)

Приклад

В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2000 грн. на умовах 9 % річних при щорічному нарахуванні відсотків. Яка сума буде на рахунку через 12 років?

Перетворимо формулу (4.35), щоб одержати значення С:

.                                                                          (4.36)

Цю формулу можна використати, щоб визначити розмір щорічних відрахувань для формування фонду грошових коштів необхідного розміру, наприклад, пенсійного фонду або фонду по викупу підприємством своїх облігацій.

Приклад.

Підприємство повинно погасити через 3 роки облігації на суму 5000 грн. Визначити розмір щорічних відрахувань для формування викупного фонду, якщо дані кошти до моменту погашення облігації інвестуються під 30 % річних.

Сума щорічних відрахувань складе:

Майбутня вартість звичайного ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік. Якщо умови ануїтету передбачають здійснення платежів m разів на рік, то формула (4.34) набуває вигляду:

,                                         (4.37)

де: С – величина виплати за рік.

Помножимо обидві частини рівняння (4.37) на і вирахуємо результат з рівняння (4.37). Після перетворення одержимо: