Лекция по "Финансам"

                                                           (4.38)

Майбутня вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Випадок, що розглядається, відрізняється від попереднього тим, що складний відсоток нараховується протягом року m разів, а платежі по ануїтету здійснюються тільки в кінці кожного року. Це означає, що відсотки по першому платежу нараховуються з початку другого року і здійснюються m разів на рік; по другому платежу – з початку третього року і також здійснюються m разів на рік тощо.

В даному випадку майбутня вартість ануїтету дорівнює:

                                       (4.39)

Помножимо обидві частини рівняння (4.38) на (1 + r/m)m і вирахуємо результат із рівняння (4.39). Після перетворення одержимо:

                                                           (4.40)

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку один раз на рік

Оберненим до поняття майбутньої вартості ануїтету є поняття теперішньої вартості ануїтету. Це – теперішня, поточна або сьогоднішня вартість майбутніх рівномірних платежів, які здійснюють через рівні проміжки часу.

Теперішня вартість ануїтету розраховується шляхом дисконтування на задану ставку і задану кількість періодів, тобто на величину :

або

,                                                 (4.41)

де: Р – приведена вартість ануїтету.

Приклад

В кінці кожного року робиться внесок на депозит в сумі 2000 грн. на умовах 9 % річних при щорічному нарахуванні відсотків протягом 12 років. Визначити приведену вартість ануїтету.

Формулу приведеної вартості ануїтету можна також використати у випадку, коли позичальник бере кредит на умовах його погашення в майбутньому щорічними рівними платежами. Для цього знайдемо з формули (4.41) величину С:

,                                                          (4.42)

де: P – сума кредиту;

r – відсоток по кредиту;

C – платіж по кредиту;

N – термін кредиту.

 Приклад

Ви позичили на чотири роки 10000 грн. під 14 % річних, що нараховуються за схемою складних відсотків на непогашений залишок. Повертати потрібно рівними сумами в кінці кожного року. Визначити величину річного платежу.

Він складе:

Приведена вартість ануїтету при здійсненні виплат m разів на рік. Для випадку, що розглядається, приведену вартість ануїтету знаходять дисконтуванням майбутньої вартості ануїтету на (1 + r/m)mn.

Тоді

                                        (4.43)

Приведена вартість ануїтету при нарахуванні відсотку m разів на рік. Майбутня вартість такого ануїтету розраховується за формулою (4.40). Приведена вартість визначається дисконтуванням правої частини формули (4.40) на .

Тоді

                         (4.44)

Довічна рента. Довічна рента – рента, виплати якої не обмежені ніякими строками. Інша назва довічної ренти – перпетуїтет. Майбутню вартість такого ануїтету визначити неможливо, так як вона не є кінцевою величиною. Однак можна розрахувати приведену вартість довічної ренти, скориставшись формулою (4.41). Оскільки для такого ануїтету n > ?, то вона набуває вигляду:

                                                                               (4.45)

Прикладом довічного ануїтету є безстрокові облігації (наприклад, англійська безстрокова державна облігація (консоль), яка випущена у 18 столітті і по ній сплачується дохід кожні півроку) та привілейовані акції, що генерують доход невизначено тривалий час, тому їх поточна теоретична вартість визначається за формулою (4.45).

Найбільш простим варіантом оцінки привілейованої акції є відношення величини дивіденду до ринкової норми прибутку за акціями даного класу ризику (наприклад, ставки банківського проценту за депозитами з поправкою на ризик).

Приклад

Розрахувати поточну ціну безстрокової облігації, якщо річний дохід, що сплачується, складає 100 грн., а ринкова доходність – 12 %.

Vt = 100/0,12 = 833,33 грн.

Таким чином, в умовах рівноважного ринку в даний момент часу облігації даного типу будуть продаватися за ціною 8333,33 грн.

Негайний ануїтет. Ми розглянули звичайний ануїтет, відповідно до якого періодичні та рівномірні платежі здійснюють наприкінці кожного періоду нарахування відсотків.

Існує також авансовий ануїтет (або обернений ануїтет). При авансованому ануїтеті платежі здійснюють не наприкінці кожного періоду нарахування відсотків, а на початку. При цьому кількість платежів однакова, а ось періодів нарахування відсотків на один більше.

Прикладами приведеної ренти є рахунок в банку, земельна рента, премії по страхуванню.

Для розрахунку майбутньої або теперішньої вартості авансованих ануїтетів можна використати формули розрахунку вартості звичайного ануїтету, трохи переробивши їх шляхом множення відповідної величини на (1 + r).

Майбутню вартість ануїтету можна визначити, помноживши формулу (4.45) на (1 + r), так як на кожний платіж відсотки будуть нараховуватися на один рік більше в порівнянні з умовою відкладеного ануїтету.

                                       (4.46)

де: Fn – майбутня вартість негайного ануїтету;

n – кількість років, протягом яких сплачується ануїтет.

Приведену вартість негайного ануїтету знайдемо дисконтуванням правої частини формули (4.46) на (1 + r)n.

Тоді

або

,                                                  (4.47)

де: Pn – приведена вартість негайного ануїтету.

Аналогічно рентам з кінцевим строком довічна приведена рента визначається як послідовність періодичних виплат, що здійснюються на початку кожного періоду нескінченно тривалий час.

Приведену вартість негайної довічної ренти можна одержати, помноживши формулу (4.45) на (1 + r).

Тоді

                                                                               (4.48)

4. Доходність фінансових операцій

На фінансовому ринку інвестора цікавить результативність його операцій.

Результативність інвестицій порівнюють за допомогою такого показника, як доходність. Доходність – це відносний показник, що показує, який відсоток приносить 1 гривня інвестованих коштів за певний період. Наприклад, доходність інвестиції складає 20 %. Це означає, що інвестована гривня приносить 20 копійок прибутку. Більш високий рівень доходності означає кращі результати для інвестора.

У загальному вигляді показник доходності можна визначити як відношення одержаного результату до витрат, що сприяли отриманню даного результату. Доходність виражають у відсотках. Коли ми розглядали питання нарахування відсотків, то оперували певними відсотковими ставками. Ці відсоткові ставки є не що інше, як показники доходності для операцій інвесторів. У фінансовій практиці прийнято, що показник доходності або відсоток на інвестиції звичайно задають або визначають з розрахунку на рік, якщо спеціально не сказано про другий часовий період. Тому, якщо відомо, що деякий цінний папір приносить 30 %, то це потрібно розуміти, як 30 % річних. В той же час реально папір може обертатися на ринку протягом періоду, який складає більше або менше року. Така практика існує тому, що виникає необхідність порівнювати доходність інвестицій, що відрізняються за строками тривалості. Розглянемо деякі різновиди показника доходності.

Доходність за період. Доходність за період – це доходність, яку інвестор одержить за певний період часу. Вона визначається за формулою:

,                                                                       (4.49)

де: r – доходність за період;

P – початково інвестовані кошти;

Pn – сума, одержана через n років.

Приклад

Підприємство має 10000 грн. і бажає подвоїти цю суму через 3 роки. Яка доходність цієї операції?

    або 100 %

Таким чином, капітал підприємства за 3 роки зросте на 100 %.

Доходність з розрахунку на рік. На фінансовому ринку виникає необхідність порівнювати доходності різних фінансових інструментів. Тому показником доходності, що зустрічається найчастіше, є доходність в розрахунку на рік. Він визначається як середнє геометричне, а саме:

,                                                                   (4.50)

де: r – доходність в розрахунку на рік;

n – число років.

Приклад

Знайти вартість кредиту, вираженого річною відсотковою ставкою, якщо основна сума кредиту 30000 грн., а сума при погашенні – 70000 грн. Кредит виданий на 2 роки.

або 52,75 %

Якщо складний відсоток нараховується m разів на рік, то доходність за рік визначається за формулою:

,                                                        (4.51)

Величина, яка отримується в круглих дужках правої частини рівняння (4.51), – це доходність за один період нарахування складного періоду. Тому, щоб одержати доходність з розрахунку на рік, її множать на кількість періодів.

Приклад

Знайти вартість кредиту, вираженого річною відсотковою ставкою, якщо основна сума кредиту 30000 грн., а сума при погашенні – 70000 грн. Кредит виданий на 2 роки з нарахуванням відсотків раз у півроку.

або 47,19 %

Якщо відсоток нараховується безперервно, то доходність в розрахунку на рік можна визначити за формулою:

,                                                                            (4.52)

де: rn – доходність, виражена як відсоток, що нараховується безперервно.

До цього часу ми визначали показник доходності за операціями, які тривали більше року. Тому розрахунки здійснювались за формулами з використанням складного відсотку. Коли фінансова операція триває менше року, в розрахунках, як правило, оперують простим відсотком. Якщо бути більш точним, то більш суворим критерієм в цьому випадку виступає можливість на практиці інвестувати кошти з врахуванням складного відсотку.

Наприклад, якщо на ринку випускаються цінні папери з погашенням через півроку і рік, то доходність річних цінних паперів потрібно визначати з врахуванням складного відсотку. Таке правило існує тому, що вкладник може одержати складний відсоток в рамках року, інвестувавши свої кошти спочатку в шестимісячний папір і після його погашення реінвестувати одержані кошти в наступний шестимісячний папір.

Для короткострокових операцій доходність визначається на підставі формул (4.53) і (4.54).

                                                                           (4.53)

і                                                                  (4.54) 

Приклад

Знайти доходність інвестицій, виражену річною відсотковою ставкою, основна і нарощена суми яких складають 18000 грн. і 16000 грн. відповідно. Термін інвестування – 3 місяці. Фінансовий рік дорівнює 360 днів.

    або 50 %

Для короткострокових цінних паперів також можна розрахувати ефективну доходність, тобто ефективний відсоток. Для цього можна скористатися наступною формулою (для прикладу візьмемо фінансовий рік, що дорівнює 360 дням).

                                           (4.55)

або

,                                                          (4.56)

де: rеф – ефективна доходність в розрахунку на рік;

t – період фінансової операції (час з моменту купівлі до продажу або погашення цінного паперу);

r – простий відсоток в розрахунку на рік;

rt – доходність за період t.

Продовжуючи вищенаведений приклад, розглянемо ефективну доходність операції. Вона дорівнює:

або 60,18 %

Оскільки    , то формулу (4.36) можна також представити наступним чином:

                                                                           (4.57)

В нашому прикладі доходність за 90 днів складає або 12,5 %, а 90/360 = 0,25, тоді ефективна доходність за рік дорівнює:

 або 60,18 %

Відсоткові ставки та інфляція. Нерідко ринковій економіці властива інфляція. Тому для відсоткових ставок (відповідно для показника доходності) необхідно розрізняти номінальні і реальні величини, щоб визначити діючу ефективність фінансових операцій. Якщо темп інфляції перевищує ставку відсотку, яку одержує вкладник на інвестовані кошти, то для нього результат від фінансової операції виявиться негативним. Не дивлячись на те, що за абсолютною величиною (в грошових одиницях, наприклад, в гривнях) його кошти збільшаться, їх сукупна купівельна спроможність зменшиться. Таким чином, він зможе купити на нову суму грошей менше товарів та послуг, ніж на ті кошти, якими володів до початку операції.

Номінальна відсоткова ставка – це відсоткова ставка без врахування інфляції. В якості номінальних виступають відсоткові ставки банківських установ. Номінальна ставка свідчить про абсолютне зростання грошових коштів інвестора.

Реальна відсоткова ставка – це ставка, що скоригована на відсоток інфляції. Реальна ставка свідчить про приріст купівельної спроможності коштів інвестора.

Взаємозв’язок між номінальною і реальною відсотковими ставками можна представити наступним чином:

або

Вищенаведене рівняння називають рівнянням Фішера. Запишемо його в літерному позначенні:

,                                                   (4.58)

де: r – номінальна ставка відсотку;

y – реальна ставка відсотку;

i – темп інфляції.

З рівняння (4.58) можна одержати реальну відсоткову ставку:

                                                                    (4.59)

або

                                                                                           (4.60)

Приклад

Номінальна ставка відсотку дорівнює 12 % річних, темп інфляції – 6 %. Визначити реальну ставку відсотку.

Розкриємо дужки в рівнянні (4.38)

                                                    (4.61)

Якщо значення реальної відсоткової ставки та інфляції невисокі, то величина уі в рівнянні (4.61) буде дуже малою і нею можна буде знехтувати. Тоді рівняння Фішера набуде наступного вигляду:

                                                                                            (4.62)