Модель пересекающихся поколений

В модели Солоу, рассматривается неоклассическая производственная функция  , где  - капитал,   - труд,   - переменная, отражающая эффективность труда одного работника, зависящая от квалификации, образования и здоровья работника. Переменная E отражает трудосберегающий технический прогресс и рассматривается всегда вместе с объемом трудовых ресурсов  , а именно рассматривается комплексный фактор   - количество работников с постоянной эффективностью труда. Рост этого фактора может происходить либо за счет роста количества работников с фиксированной эффективностью, либо ростом эффективности с фиксированным количеством работников. Таким образом, в модели Солоу производственная функция имеет вид:

причем с учетом свойства линейной однородности (постоянной отдачи от масштаба) ее можно записать в удельных переменных (на единицу труда с постоянной эффективностью):

 или 

где y и k - соответственно производительность и капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью.

Примером такой функции является функция Кобба-Дугласа с постоянной отдачей от масштаба:

 или 

Сущность модели

Доход расходуется на потребление и инвестиции, соответственно тождество дохода  , или в удельном выражении на единицу труда с постоянной эффективностью -  . Инвестиции равны сбережениям   или на единицу трудовых ресурсов  , где   - норма сбережений. Предполагается постоянный темп износа капитала   и соответственно модель динамики капитала имеет вид:

или в удельном представлении:

С другой стороны, учитывая, что по определению   имеем:

Следовательно, можно записать окончательно базовое дифференциальное уравнение модели Солоу:

где  - темп роста населения (работников);   - темп технического прогресса;

Таким образом, если инвестиции   меньше необходимого уровня  , учитывающего рост населения и износ капитала и технический прогресс, то капиталовооруженность труда с постоянной эффективностью падает и наоборот. Равновесный уровень определяется исходя из условия стабильности  , то есть  . Соответственно условие стационарности следующее (совпадение фактических и необходимых инвестиций):

В модели Солоу в стационарном состоянии темп роста производительности труда равен темпу технического прогресса, а темп экономического роста - сумме темпа технического прогресса и темпа роста населения.

При росте нормы сбережений инвестиции начинают превышать необходимый уровень и   начинает расти до достижения равновесия при более высоком уровне  . В процессе перехода к новому стационарному состоянию темп роста производительности труда будет опережать темп технического прогресса и при достижении нового равновесия они приравняются.

Золотое правило

Модель Солоу позволяет определить оптимальный уровень нормы сбережений, при котором достигается максимальное (удельное) потребление. По определению удельное потребление равно  . В стационарном (равновесном) состоянии  , поэтому окончательно функция удельного потребления в стационарном состоянии имеет вид

С учетом, того, что   зависит от нормы сбережения условие максимума удельного потребления по   примет вид:

Отсюда

С другой стороны, как уже отмечалось в стационарном состоянии

Учитывая эти два условия оптимума получим   или

где   - параметр однородной производственной функции Кобба-Дугласа. То есть норма сбережения должна быть равна показателю эластичности удельного выпуска по капиталовооруженности.

Если экономика находится на уровне ниже уровня "золотого правила", то необходимый для перехода к "золотому правилу" рост нормы сбережений на первоначальном этапе приводит к еще большему падению потребления, однако в будущем потребление будет гораздо больше. Отношение к такому развитию событий зависит от предпочтений текущего или будущего потребления.

Основные недостатки модели связаны с экзогенностью научно-технического прогресса и нормы сбережений.

 

Модель Неймана

 

Классическая (исходная) модель Неймана строится при следующих предпосылках:

1. экономика, характеризуемая линейной технологией, состоит из отраслей, каждая из которых обладает конечным числом производственных процессов, т.е. выпускается несколько видов товаров, причем допускается совместная деятельность отраслей;
2. производственные процессы разворачиваются во времени, причем осуществление затрат и выпуск готовой продукции разделены временным лагом;
3. для производства в данный период можно тратить только те продукты, которые были произведены в предыдущем периоде времени, первичные факторы не участвуют;
4. спрос населения на товары и, соответственно, конечное потребление в явном виде не выделяются;
5. цены товаров изменяются во времени.

Перейдем к описанию модели Неймана. На дискретном временном интервале   с точками   рассматривается производство, в котором n видов затрат с помощью mтехнологических процессов превращаются в n видов продукции. Мы не будем указывать число отраслей, так как в дальнейшем не понадобится подчеркивать принадлежность товаров или технологий к конкретным отраслям. В модели Леонтьева технологические коэффициенты были отнесены к единице продукта. В модели Неймана, принимая в качестве производственных единиц не отрасли, а технологические процессы, удобно отнести эти коэффициенты к интенсивности производственных процессов.

Интенсивностью производственного процесса j называется объем продуктов, выпускаемых этим процессом за единицу времени. Уровень интенсивности j-го процесса в момент времени t обозначим через   ( ). Заметим, что   является вектором, число компонент которого соответствует числу выпускаемых j-ым процессом видов товаров и .

Предположим, что функционирование j-го процесса ( ) с единичной интенсивностью требует затрат продуктов в количестве

и дает выпуск товаров в количестве

Введем обозначения   . Пара   характеризует технологический потенциал, заложенный в j-ом процессе (его функционирование с единичной интенсивностью). Поэтому пару   можно назвать базисом j-го производственного процесса, имея в виду, что для любой интенсивности   соответствующую пару затраты-выпуск можно выразить как   . Поэтому последовательность пар

представляющих собой затраты и выпуски всех производственных процессов в условиях их функционирования с единичными интенсивностями, будем называть базисными процессами.

Все m базисных процессов описываются двумя матрицами

где A- матрица затрат, B- матрица выпуска. Вектор   называется вектором интенсивностей. Соответствующие этому вектору затраты и выпуски по всем mпроцессам можно получить как линейную комбинацию базисных процессов (6.4.1) с коэффициентами   :

Говорят, что в производственном процессе   базисные процессы (6.4.1) участвуют с интенсивностями   . Как видно из (6.4.2) , неймановская технология, описываемая двумя матрицами A и B единичных уровней затрат и выпуска, является линейной (см. предпосылку 1) в начале параграфа). Рассматривая все допустимые "смеси" базисных процессов, получаем расширенное множество производственных процессов

которое и отражает допустимость совместной деятельности отраслей. Возможность совместного производства нескольких продуктов в одном процессе следует из того, что в каждом процессе j может быть отличной от нуля более чем одна из величин  . Множество (6.4.3) представляет собой неймановскую технологию в статике (в момент t ). Если в матрице A положить n=m, матрицу B отождествить с единичной матрицей, а   интерпретировать как вектор валового выпуска, то (6.4.2) превращается в леонтьевскую технологию.

Продолжим описание модели Неймана. Согласно предпосылок 2) и 3), затраты   в момент t не могут превышать выпуска  , соответствующего предыдущему моменту t-1(рис. 6.3).

Поэтому должны выполняться условия:

где   - вектор запаса товаров к началу планируемого периода.

Обозначим через  , вектор цен товаров. Неравенство (6.4.4) можно трактовать как непревышение спроса над предложением в момент t. Поэтому в стоимостном выражении (в ценах момента t) должно быть (см. Определение 5.2 равновесия):

По предположению 5) прибыль базисного процесса   на отрезке [t-1,T] равна величине  , т.е. затраты осуществляются по цене начала периода, а готовая продукция - по цене момента ее реализации. Таким образом, издержки по всем базисным процессам можно записать как  , а выручку - как   (рис. 6.4).

Будем говорить, что базисные процессы неубыточны, если  , неприбыльны - если

В модели Неймана предполагается неприбыльность базисных процессов. Это объясняется тем, что издержки и выручки разведены во времени, т.е. относятся к разным моментам времени, и в условиях расширяющейся экономики "характерен случай падения цен ( )", т.е. покупательская способность денег в момент t будет выше, чем в момент t-1. С таким обоснованием можно согласиться или не согласиться. Главная же причина неприбыльности базисных процессов заложена в определении экономического равновесия. Поясним это чуть подробнее.

Основной предмет исследования Дж. фон Неймана - это возможность существования равновесия в рассматриваемой им динамической модели экономики при заданных в каждый момент ценах. Как следует из определения 5.2, при равновесии в условиях совершенной конкуренции имеет место стоимостной баланс (см. (5.3.8)). Таким образом, в условиях равновесия не создается никакой прибыли, и неравенство (6.4.6) является отражением этого факта. Поэтому, если в (6.4.6) для некоторого базисного процесса j имеет место строгое неравенство, т.е. предложение превышает спрос:

то должно быть  . Иначе говоря, отсутствие "отрицательной прибыли" обеспечивается нулевой интенсивностью. Отсюда получаем

Описание модели Неймана завершено. Совокупность неравенств и уравнений (6.4.4) -(6.4.7) :

где   и   - матрицы затрат и выпуска соответственно, называется (динамической) моделью Неймана.

Определение 6.2. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированный рост производства, если существует такое постоянное число  , что для всех mпроизводственных процессов

Постоянное число   называется темпом сбалансированного роста производства.

Содержательно (6.4.9) означает, что все уровни интенсивности возрастают одинаковыми темпами

Раскрывая рекуррентно правую часть (6.4.9), получаем

где   - интенсивность процесса j , установившаяся к началу планового периода. Заметим, что t в правой части (6.4.10) является показателем степени, а в левой - индексом.

В случае сбалансированного роста производства, с учетом постоянства темпа роста, последовательность   называется стационарной траекторией производства.

Определение 6.3. Говорят, что в экономике наблюдается сбалансированное снижение цен, если существует такое постоянное число  , что для всех n товаров

Постоянное число   называется нормой процента.

Содержательно (6.4.11) означает, что цены на все товары снижаются одинаковыми темпами

Название "норма процента" для темпа снижения   принято по ассоциации с показателем нормы процента (нормы доходности) в формуле сложного процента   , гдеR0 - сумма начального вложения, Rn - получаемая через n периодов конечная сумма,  - норма процента. Так как в определении 6.3 речь идет о снижении, то "норма процента" в(6.4.11) входит с отрицательным знаком ( ).

Из равенства (6.4.10) получаем

где  - цены, установившиеся к началу планового периода.

В случае сбалансированного снижения цен последовательность   называется стационарной траекторией цен.

Подставляя (6.4.10) и (6.4.12) в модель Неймана (6.4.8), получаем ее "стационарную" форму:

Эта система соотношений показывает, что по стационарным траекториям y и p экономика развивается согласно неизменному динамическому закону. Поэтому такую ситуацию естественно назвать равновесной.

Определение 6.4. Четверка  , где y - стационарная траектория производства, p- стационарная траектория цен, а   и   - соответствующие им темп сбалансированного роста производства и норма процента (темп сбалансированного снижения цен), называется состоянием (динамического) равновесия в модели Неймана (6.4.8).

Сделаем следующие предположения:

а)    
в) для каждого j существует хотя бы одно i , такое что   ;  
г) для каждого i существует хотя бы одно j , такое что  ;  
д) для каждого t   .

Теорема 6.4. Если выполнены условия а)-д), то в модели Неймана (6.4.8) существует состояние равновесия.

Условия в) и г) говорят о наличии в каждом столбце матрицы A и каждой строке матрицы B по крайней мере одного положительного элемента. Содержательно это означает, что среди всех производственных процессов нет таких, которые ничего не тратят, и каждый из n видов продуктов действительно производится. Условие д) имеет чисто техническое предназначение.