Операции с основными ценными бумагами

Министерство образования  республики Беларусь

Учреждение образования

«БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ»

Институт информационных технологий

 

Специальность   Информационные системы и технологии

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

 

По курсу__ Математика рынка ценных бумаг ___________

 

Вариант № 14

 

Студент-заочник _III_ курса

Группы №   982321_________           

ФИО  Костюкович Андрей___

________Васильевич__________

Адрес_г.Борисов, ул. Н-Нёман

_________д.170  кв.134__________

Тел.     8-044-754-84-85_______

 

 

 

Минск, 2012

 

1. Тема «Операции с основными ценными бумагами»

 

 

1.Наращение  и дисконтирование. Кредитные  расчеты.

 

 

1.14. Необходимо учесть долговое обязательство на сумму 50 000 д.е: за 4 года до погашения. Банк для учета обязательства применяет сложную процентную ставку 5% годовых. Проценты могут начисляться 1, 2 или 4 раза в год. Указать условия договора, по которому это обязательство может быть учтено.

 

Решение.

 

Учет  по  сложной  ставке  процентов.

P = S / (1 + i)ⁿ 

Если проценты начисляются m раз в году:

P = S / (1 + j/m)  

 

Проценты начисляются 1 раз в год:

P = S / (1 + i)ⁿ = 50000 / (1 + 0,05)⁴ = 41135 д.е.

 

Проценты начисляются 2 раза в год:

P = S / (1 + i)ⁿ = 50000 / (1 + 0,05/2)^4*2 = 41037 д.е.

 

Проценты начисляются 4 раза в год:

P = S / (1 + i)ⁿ = 50000 / (1 + 0,05/4)^4*4 = 40987 д.е.

 

Ответ: для банка выгоднее учесть указанное обязательство на следующих условиях: 50 000 д.е. за 4 года до погашения под сложную процентную ставку 5% годовых с начислением 4 раза в год.

 

 

 

2.Потоки платежей. Ренты

 

2.14. Провести детальный анализ ренты длительностью 4 года, годовым платежом R = 1000 д.е. и переменной процентной ставкой: i 2 = 5% во 2-й год, i 3 = 8% - в 3-й, i 4 = 10% - в 4-й год. Определить современную величину этой ренты.

 

Решение.

Сначала определим приведенную  величину платежей первого промежутка на начальный момент:

.

i1=0% (по условию за 1-й год) следовательно А1=1000 д.е.

Приведённая величина платежей второго промежутка на его начало (то есть на момент ):

.

a_n2,i2=0,95238

A₂=90000*0,95238=952,38 д.е.

Эта  же величина, приведенная  на начало  всего срока (на нулевой  момент):

*v₁ⁿ¹

v₁ⁿ¹=1, следовательно A₂=952,38 д.е.

Вычисляем приведённая  величину платежей третьего, четвертого промежутка

Приведённая величина платежей третьего промежутка

v₁ⁿ¹=1

v₂ⁿ²=0,95238

a_n3,i3=0,9259259

A₃=1000*0,9259259*1*0,95238=881,83 д.е.

Приведённая величина платежей четвертого промежутка

v₁ⁿ¹=1

v₂ⁿ²=0,95238

v₃ⁿ³=0,92592

a_n4,i4=0,909090

A₄=1000*0,909090*1*0,95238*0,92592=801,66 д.е.

A = 1000+952,38+881,83+801,66 = 3635,87 д.е.

Ответ: 3635,87 д.е.

3. Реальная и эффективная ставки. Анализ облигаций.

 

 

3.14. Брокер предлагает  своему клиенту два типа договоров  па обслуживание. По договору 1 типа брокер удерживает с клиента комиссионные в размере 0,04% от суммы каждой сделки купли-продажи облигаций. По договору 2 типа брокер удерживает 4% прибыли, полученной от прироста курсовой стоимости облигаций, приобретенных для клиента. Укажите минимальный уровень доходности от операций купли-продажи облигаций, при котором клиенту выгоднее заключить договор 1 типа. Предполагается, что брокером будет совершено только две операции (покупка и продажа) с облигациями клиента. Налогообложение не учитывать.

 

Решение.

 

Сумма комиссий брокера  по первому варианту составит:

0,04%*Ц пок + 0,04%*Цпр

 

По второму варианту: 4%*(Ц курс - Цпок)

 

Цена продажи по сути равна цене облигаций с учетом курсовой стоимости, поэтому по условию  задачи получаем:

0,04%*Ц пок + 0,04%*Цпр  > 4%*(Ц курс - Цпок)

3,96%*Ц пр > 4,04%*Ц пок

Ц пр > 1,02*Ц пок

 

Отсюда минимальная  доходность равна:

Д мин = (Цпр- Цпок)/Ц пок = (1,02* Ц пок- Ц пок)/ Ц пок *100% =  2%.

 

Ответ: 2%.

 

 

 

2. Тема «Оценка стоимости вторичных ценных бумаг»

 

С помощью компьютера найден оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг с доходностью и риском: (4, 10); (10,40); (40, 80) (те же ценные бумаги, что и в примере 1); верхняя граница риска задана равной 50. Доли бумаг оказались равными 6, 34 и 60%. Проверить компьютерные расчеты.

Решить аналогичную задачу, взяв данные из табл. 11.2.

 

Таблица 11.2.

Вариант	(m1, r1)	(m2, r2)	(m3, r3)	rp	(х1, х2, х3), %	mmax	r
11	(5, 15)	(16, 35)	(40, 70)	35	(4, 54, 42)	24,64	34,96
12	(7, 10)	(20, 30)	(40, 50)	25	(13, 45, 42)	26,71	25
13	(8, 15)	(15, 30)	(30, 60)	30	(4, 54, 42)	21,02	29,96
14	(9, 15)	(13,35)	(45, 80)	40	(22, 3, 48)	27,48	39,95
15	(10,21)	(20, 34)	(30, 47)	27	(6, 49, 45)	23,9	26,95
16	(11,20)	(20, 35)	(40, 70)	29	(18,49, 33)	24,98	28,99
17	(12, 18)	(23, 32)	(37, 45)	27	(5,44,51)	29,59	26,94
18	(13, 16)	(26, 29)	(41,83)	29	(2, 75, 23)	29,19	28,94
19	(14, 22)	(20, 29)	(34,45)	26	(10, 38, 52)	26,68	25,96
20	(15, 25)	(21,37)	(35, 43)	30	(6, 29, 65)	29,74	29,98

 

Решение.

 

При  помощи средств Exсel создадим оптимальный портфель для 3 ценных бумаг.

Портфель – это совокупность финансовых активов, объединенных вместе для реализации целей инвестора, для максимизации прибыли и минимизации убытков.В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели, портфели без коротких позиций(без продаж), то есть портфель состоящий только из купленных акций.

Отсюда первое ограничение, которое  накладывается на портфель, это положительные  доли всех ценных бумаг (хi). 

(1)

Второе ограничение состоит в том, что сумма всех долей ценных бумаг должна составлять 1, это правило нормировки долей. Формула 2 показывает это ограничение.

(2)

Так же доходность портфеля будет  выглядеть как сумма доходностей  отдельных акций с выбранными весовыми коэффициентами. Так как  каждый инвестор пытается максимизировать получаемую доходность, то необходимо будет максимизировать эту целевую функцию. В итоге это будет выглядеть в виде формулы 3.

(3)

Помимо доходности инвестору необходимо так же учесть и риск, связанный с той или иной акцией. Риск по Г. Марковицу выражается в виде среднеквадратического отклонения δi каждой акции. Значение  δр - это уровень приемлемого риска для инвестора. Помимо учета средне квадратического отклонения отдельных акций необходимо учесть корреляцию между доходностями акций - rij .   Корреляция в нашем случае для модели Марковица равняется нулю. В итоге риск всего портфеля представлен формулой 4.

(4)

Экономико-математическая модель задачи формирования оптимального портфеля акций максимальной эффективности при которой риск портфеля не превышает заданного значения δр , и при учете всех ограничений на портфель, примет следующий вид (5):

(5)

Обратная задача оптимизации  портфеля сводится к выбору такой  структуры портфеля, доходность которого выше либо равна заданному значению mp, а риск минимален. Экономико-математическая модель задачи в этом случае примет вид (6):

 

(6)

На основании представленной модели (5) построим следующую систему уравнений:

1. Пусть Х1, Х2, Х3 —  доли бумаг каждого вида. Тогда  Х1+Х2+Х3=1.

2. Доходность портфеля  определяется следующим уравнением:

4*Х1+10*Х2+40*Х3 → к максимуму

3. Так же зададим  функцию  уровня риска 

√(100*Х1+1600*Х2+6400*Х3) <50.

В пакете Microsoft Excel составим следующую таблицу:

В строках 2-4 столбца А  укажем вид ценных бумаг по условию  — 1, 2, 3.

В строках 2-4 столбца B укажем доходность ценных бумаг по условию – 4, 10, 40.

В строках 2-4 столбца С укажем риск ценных бумаг по условию — 10, 40, 80.

В строках 2-4 столбца D укажем доли ценных бумаг — 0, 0, 0.

В ячейке $F$3 установим функцию $F$3 =D2*B2+D3*B3+D4*B4.

В ячейке $D$6 установим функцию $D$6 =D2+D3+D4.

В ячейке $D$7 установим функцию $D$7 = =КОРЕНЬ(C2*C2*D2*D2+C3*C3*D3*D3+C4*C4*D4*D4).

 

 

Рис.1. Построение модели в пакете Microsoft Excel.

 

Для расчета оптимального портфеля ценных бумаг остается решить полученную выше систему уравнений, для этого воспользуемся встроенной в пакет Excel надстройкой «Поиск решений».

Заполняем надстройку следующим образом:

1. Изменяемые ячейки – $D$2:$D$4.
2. Целевая ячейка $F$3, равна максимальному значению,
3. Ограничения: ячейки $D$2:$D$4 >= 0, их сумма равна 1, значение ячейки $D$7 < 50.

 

Рис.2. Надстройка «Поиск решений» в пакете Microsoft Excel.

 

Надстройка «Поиск решений» предложила следующий вариант формирования портфеля ценных бумаг — доля 1-ой ценной бумаги составит 1%, 2-ой — 40%, 3-ей — 59%. При этом доходность оказалась выше полученной в условии – 27,72, минимальный риск равен 50.

 

 

Рис.3. Решение задачи  в пакете Microsoft Excel.

 

Таким образом, найденное  решение лучше (эффективнее) представленного  в условии, позволяет при той  же оценке риска (50%) и другом распределении  долей ценных бумаг в портфеле получить большую  эффективность портфеля (27,72%).

 

Аналогичным образом  определим и проверим задачу варианта 14. Система уравнений будет иметь следующий вид:

1. Пусть Х1, Х2, Х3 —  доли бумаг каждого вида. Тогда  Х1+Х2+Х3=1.

2. Доходность портфеля  определяется следующим уравнением:

9*Х1+13*Х2+45*Х3 → к максимуму

3. Так же зададим  функцию  уровня риска 

√(15*15*Х1+35*35*Х2+80*80*Х3) <40.

 

Рис.4. Построение модели по условию задачи в пакете Microsoft Excel.

 

В имеющуюся таблицу пакета Microsoft Excel внесем данные нашей модели по варианту 14. Далее воспользуемся надстройкой «Поиск решений».

 

 

Рис.5. Надстройка «Поиск решений» в пакете Microsoft Excel.

 

 

Рис.6. Решение задачи  в пакете Microsoft Excel.

 

Надстройка «Поиск решений» пакета Excel предложила следующий вариант формирования портфеля ценных бумаг:

доля 1-ой ценной бумаги составит 21%,

доля 2-ой ценной бумаги — 31%,

доля 3-ей ценной бумаги — 48%.

При таком формировании портфеля ценных бумаг доходность оказалась выше, чем по условию, – 27,51>27,48, риск равен 40.

 

Ответ: 21%, 31%, 48%.

 

 

3. Тема «Оценка  стоимости вторичных ценных бумаг»

 

2.9. Инвестор приобретает  опцион колл на акцию компании  «А» с ценой исполнения 120 руб.  Цена опциона (премия), уплаченная  при этом инвестором продавцу  опциона, составила 10 руб. На момент исполнения опциона курс акции составил 140 руб. Определите, прибыль или убыток получил продавец опциона.

Решение.

В момент исполнения опциона  курс акции составил 140 руб., а цена исполнения – 120 руб. То есть покупатель опциона (инвестор) использует свое право на покупку.

Продавец  опциона потеряет 140 – 120 = 20 руб. А  его премия составляет 10 руб. Таким  образом, продавец опциона получит  убыток в размере 10– 20= -10 руб.

Ответ: продавец опциона  получит убыток в размере 10 руб.

 

2.13. Инвестор приобрел опцион стрэнгл на акции компании «А» со стеллажными точками (цены исполнения) 140 и 180 руб. Премия, уплаченная при этом продавцу опциона, составила 50 руб. Рассчитайте итоги сделки для инвестора, если рыночная цена акции в момент исполнения двойного опциона составила:

а)  110 руб.; в) 260 руб.; д) 90 руб.;

б) 70 руб.; г) 150 руб.; е) 220 руб.

Решение.

Стрэнгл -  комбинация из одного опциона на покупку и  одного опциона продажи с разными  ценами исполнения. Инвестор выигрывает при отклонении в любую сторону текущей цены актива на величину, превышающую совокупные затраты на выплату премии.

Прибыль инвестора от комбинации «стрэнгл»:

где Ра — цена акции; Е  — цена исполнения опционов; П —  премия опционов; R — результат (выигрыш  или потери).

Цена исполнения опциона «колл» — 180 руб., опциона «пут» — 140 руб. Величина премии — 50 руб. Максимальные убытки у инвестора возникают, если цена базисного актива колеблется в диапазоне 140-180 руб.

Инвестор получит прибыль, если цена будет больше 180 руб. или  меньше 140 руб. с учетом выплаченной премии, т.е. больше 230 руб. или меньше 90 руб.

Таким образом, при рыночной цене 90 руб. инвестор исполнит опцион «пут»  и его результат будет следующим: 140-70-50 = 20 руб.