Бесконечные произведения

ВВЕДЕНИЕ

Ещё в курсе средней  школы нам приходилось сталкиваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых (например, с суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии).

Исследование такого рода сумм, называемых рядами, может быть сведено к исследованию числовых последовательностей, тем не менее эти суммы требуют самостоятельного углубленного изучения, так как служат важным вспомогательным средством для представления различных встречающихся в анализе функций.

 

Актуальность  исследования:

Представленная работа посвящена  теме «Бесконечные произведения».

Проблема данного исследования носит актуальный характер в современных  условиях. Об этом свидетельствует  частое изучение поднятых вопросов.

Тема «Бесконечные произведения»  изучается на стыке сразу нескольких взаимосвязанных дисциплин.  Для  современного состояния науки характерен переход к глобальному рассмотрению проблем тематики «Бесконечные произведения».  Вопросам исследования посвящено множество  работ.  В основном материал, изложенный в учебной литературе, носит общий  характер, а в многочисленных монографиях  по данной тематике рассмотрены более  узкие вопросы, проблемы «Бесконечных произведений». Однако, требуется учёт современных условий при исследовании проблематики обозначенной темы. Высокая значимость и недостаточная практическая разработанность проблемы определяют несомненную новизну данного исследования. Дальнейшее внимание к вопросу о проблеме «Бесконечные произведения» необходимо в целях более глубокого и обоснованного разрешения частных, актуальных проблем тематики данного исследования.

Актуальность данной работы обусловлена, с одной стороны, большим  интересом к теме «Бесконечные произведения»  в современной науке, с другой стороны, её недостаточной разработанностью.  Рассмотрение вопросов связанных с  данной тематикой носит, как и  теоретическую,  так и практическую значимость. Результаты могут быть использованы для разработки методики анализа «Бесконечных произведений». Теоретическое значение изучения данной проблемы заключается в том, что  избранная для рассмотрения проблематика находится на стыке сразу нескольких научных дисциплин.

Объект исследования: числовые ряды.

Предмет исследования: бесконечные произведения.

Цель курсовой работы: изучение темы «Бесконечные произведения»  с точки зрения новейших отечественных и зарубежных исследований по сходной проблематике.

 

Основные задачи исследования:

• Выполнить анализ литературы по теме;
• Осветить историю развития проблемы «Бесконечные произведения»;
• Определить и пояснить на примерах понятия, используемые в работе;
• Выделить основные свойства бесконечных произведений;
• Определить связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов;
• Рассмотреть бесконечные произведения вещественных или комплексных функций;
• Подобрать и решить задачи по данной теме.

Для решения поставленных задач были использованы следующие методы исследования: анализ литературы, синтез, обобщение, решение задач по теме.

Практическая  значимость проведённого исследования состоит в том, что в ходе работы была выявлена связь между сходимостью бесконечных произведений, определены и доказаны основные свойства бесконечных произведений, подобран теоретический и практический материал по теме, решены задачи.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ГЛАВА 1. БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

§ 1.1 Основные понятия.

К понятию числового ряда близко примыкает понятие бесконечного числового произведения. Пусть дана бесконечная числовая последовательность a_1,a_2,…, a_k… Записанное формально выражение вида

 

a₁a_2…a_n…=      (1.1)

 

принято называть бесконечным произведением. Отдельные элементы принято называть членами данного бесконечного произведения. Произведение первых n членов данного бесконечного произведения принято называть n-м частичным произведением и обозначать символом

 

Бесконечное произведение (1.1) называют сходящимся, если последовательность частичных произведений имеет конечный предел p, отличный от нуля. В случае сходимости бесконечного произведения (1.1) указанный предел p называют значением этого бесконечного предела и пишут:

p

 

Отметим, что последнее  равенство имеет смысл лишь для  сходящегося бесконечного произведения. Ясно, что рассмотрение бесконечных произведений по существу представляет собой новую форму изучения числовых последовательностей, ибо каждому данному бесконечному произведению однозначно соответствует последовательность его частичных произведений и каждой числовой последовательности , все элементы которой отличны от нуля однозначно, соответствует бесконечное произведение, для которого эта последовательность является последовательностью частичных произведений (достаточно положить члены бесконечного произведения равными , при ).

 

Теорема 1. Необходимым условием сходимости бесконечного произведения (1.1) является стремление к единице его k-го члена при .

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Пусть бесконечное произведение (1.1) сходится и имеет значение p, отличное от нуля. Тогда .

Поскольку , то существует и равен единице.

Заметим, что на сходимость бесконечного произведения не влияет удаление любого конечного числа  членов этого произведения (если среди  этих членов нет равных нулю).

Поскольку бесконечное произведение, у которого хотя бы один член равен  нулю согласно принятому выше определению  считается расходящимся, то мы в дальнейшем вообще исключением из рассмотрения бесконечного произведения, у которых хотя бы один член равен нулю.

 

Примеры:

№ 1.

     (1.2)

(x – любое фиксированное число).

Докажем, что бесконечное  произведение (1.2) при любом  сходится и имеет значение . Подсчитаем n-е частичное произведение

     (1.3)

Умножаю обе части (1.3) на и последовательно используя формулу для синуса двойного угла , получим

.

Поскольку выражение в  фигурных скобках стремится к  единице при  (в силу первого замечательного предела), то существует и равен.

Тем самым доказано, что  бесконечное произведение (1.2) сходится и имеет значение при любом .

 

№ 2.

     (1.4)

Докажем, что бесконечное  произведение (1.4) сходится и имеет  значение 1/3.

Подсчитаем частичное  произведение :

 

Таким образом,  существует и равен 1/3.

§ 1.2 Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов.

Если бесконечное произведение сходится, то в силу теоремы 1 все  его члены , начиная с некоторого номера, положительны. Поскольку конечное число первых членов вообще не влияет на сходимость бесконечного произведения, то при изучении вопроса о сходимости бесконечного произведения можно, не ограничивая общности, рассматривать лишь такие бесконечные произведения, у которых все члены положительны.

Теорема 2. Для того чтобы  бесконечное произведение (1.1) с положительными членами сходилось, необходимо и  достаточно, чтобы сходился ряд

 

В случае сходимости сумма  S ряда (1.5) и значение P произведения (1.1) связаны формулой

     (1.6)

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Обозначив  через  n-е частичное произведение бесконечного произведения (1.1), а через n-ю частичную сумму ряда (1.5), можем записать

.

В силу непрерывности показательной  функции для всех значений аргумента  и непрерывности логарифмической  функции для всех положительных  значений аргумента последовательность сходится тогда и только тогда, когда сходится , при чем если  , то . Теорема доказана.

При исследовании на сходимость бесконечного произведения оказывается  очень удобным представить его  в виде

 

При этом, конечно, в соответствии с принятым выше предположением бедем считать, что все

Теорема 2 утверждает, что  вопрос о сходимости произведения (1.7) эквивалентен вопросу о сходимости ряда

 

Теперь мы можем доказать ещё одно утверждение.

Теорема 3. Если все (по крайней мере начиная с некоторого номера) сохраняют один и тот же знак, то для сходимости бесконечного произведения (1.7), необходимо и достаточно, чтобы сходился ряд

 

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку  условие  является необходимым и для сходимости ряда (1.9), и для сходимости произведения (1.7), можно считать это условие выполненным как при доказательстве необходимости, так и при доказательстве достаточности. Но из указанного условия и из асимптотической формулы

 

и

 

Поскольку по условию теоремы  все члены ряда (1.8) и (1.9), начиная с некоторого номера, сохраняют один и тот же знак, условия (1.10) и (1.11) в силу следствия из теоремы сравнения позволяют утверждать, что ряд (1.9) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд (1.8). Теорема доказана.

Так же, как и для рядов  для бесконечных произведений вводятся понятия абсолютной и условной сходимостей. Бесконечное произведение (1.7) называется абсолютно сходящимся в том и  только в том случае, когда сходится абсолютно ряд (1.8). Теоремы Коши и  Римана позволяют заключить, абсолютно сходящееся произведение обладает переместительным свойством, в то время как условно сходящееся произведение заведомо им не обладает.

Теорема 3. Бесконечное произведение (1.7) сходится абсолютно тогда и  только тогда, когда сходится абсолютно  ряд (1.9).

Для доказательства этой теоремы  достаточно доказать, что ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд

 

Это последнее легко вытекает из существования пределов (1.10) и (1.11).

Примеры:

№ 1.

Из расходимости гармонического ряда и из теоремы 2 вытекает расходимость следующих бесконечных произведений

 

 

Легко понять, что первое из указанных произведений расходится к +, а второе – к нулю.

№ 2.

Из этой же теоремы 2 и  из сходимости ряда при  вытекает сходимость при следующих бесконечных произведений:

 

 

 

№ 3.

Рассмотрим бесконечное  произведение

 

Так как ряд  сходится, то в силу Теоремы 2 и 3 бесконечное произведение (1.12) сходится абсолютно для любого фиксированного значения x, отличного от (где )

В п. 3 мы докажем, что это  произведение сходится к значению . Тем самым будет обоснованно разложение функции в бесконечное произведение

 

 

№ 4.

Из разложения (1.13) с помощью  соотношения  элементарно получается следующее разложение:

 

Абсолютная сходимость произведения, стоящего в правой части (1.14) для  любого x, отличного от , вытекает из теоремы 2 и 3 и из сходимости ряда .

№ 5.

Полагая, в разложении (1.13) , получим

 

Из (1.15) получается так называемая формула Валлиса 

 

Путём несложных преобразований формулу Валлиса можно привести к виду

 

Первоначально формулу Валлиса  использовали для приближённого  вычисления числа . В настоящее время для вычисления числа существует более эффективные методы. Формула Валлиса как в виде (1.16), так и в виде (1.17) представляет интерес ряда теоретических исследований.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1.3 Разложение функции в бесконечном произведении.

Для удобства разобьём вывод  формулы (1.13) на отдельные этапы.

1. Пусть m – любое положительное число: m=2n+1. Прежде всего докажем, что для любого отличного от k (k=0, 1, …) значения справедлива формула

 

 

Для вывода формулы (1.18) будем  исходить из формулы Муавра

 

Расписывая правую часть, этой формулы с помощью бинома Ньютона и сравнивая мнимые части, получим

 

Учитывая, что m=2n+1, будем иметь

 

В правой части (1.19) все показатели при косинусах и синусах четные, так что если заменить на , то в правой части (1.19) получится многочлен степени n относительно . Положив z=, обозначим этот многочлен символом F(z), а его корни символами . Так как при и левая часть (1.19) стремится к единице, то многочлен F(z) можно представить в виде

 

Остается определить корни . Замечая, что эти корни соответствуют нулям функции , получим

 

Таким образом, формула (1.18) установлена.

2. Положив в формуле (1.18) и считая, что , придадим этой формуле вид.