Автор работы: Пользователь скрыл имя, 11 Мая 2013 в 07:39, контрольная работа
Ещё в курсе средней школы нам приходилось сталкиваться с суммами, содержащими бесконечное число слагаемых (например, с суммой бесконечного числа членов геометрической прогрессии).
Исследование такого рода сумм, называемых рядами, может быть сведено к исследованию числовых последовательностей, тем не менее эти суммы требуют самостоятельного углубленного изучения, так как служат важным вспомогательным средством для представления различных встречающихся в анализе функций.
,
отсюда и ввиду расходимости гармонического ряда, имеем при
(2.1).
Если бы количество простых чисел было конечным, то и это произведение имело конечное значение. Однако, полученный результат свидетельствует об обратном. Доказательство завершено.
Теперь перепишем (2.1) в виде . Опираясь на теорему о сходимости бесконечного произведения, из расходимости предыдущего делаем вывод, что ряд расходится. Это предложение даёт некоторую характеристику роста простых чисел. Подчеркнём, что оно гораздо сильнее утверждения о расходимости гармонического ряда, так как здесь речь идёт лишь о части его членов, тем более что в натуральном ряде имеются сколь угодно длинные промежутки без простых чисел, например: , , … , .
Несмотря на свою простоту приведённые выше предложения важны в концептуальном плане, так как они начинают череду исследований всё более и более глубоких свойств ряда простых чисел, которая продолжается по сей день. Первоначально, основной целью изучения дзета-функции как раз и было исследование функции , то есть количества простых чисел не превосходящих x. В качестве примера формулы, связывающей и , мы сейчас получим равенство
(2.2).
Сначала воспользуемся разложением дзета-функции в произведение: .
Из логарифмического ряда , учитывая, что , приходим к ряду .
Значит, .
Теперь вычислим интеграл в правой части (2). Так как при , то .
Во внутреннем интеграле положим , тогда и
,
отсюда .
В промежутке интегрирования , поэтому верно разложение и .
Получаем .
Теперь
Если сравнить полученное значение интеграла с рядом для , то увидим, что они тождественны и равенство (2.2) доказано.
Используем формулу (2.2) для доказательства одной очень серьёзной и важной теоремы, а именно получим асимптотический закон распределения простых чисел, то есть покажем, что
.
В качестве исторической справки отмечу, что великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс эмпирически установил эту закономерность ещё в пятнадцатилетнем возрасте, когда ему подарили сборник математических таблиц, содержащий таблицу простых чисел и таблицу натуральных логарифмов.
Для доказательства возьмём формулу (2) и попытаемся разрешить это уравнение относительно , то есть обратить интеграл. Сделаем это с помощью формулы обращения Меллина следующим образом. Пусть .
Тогда
(2.3).
Этот интеграл имеет нужную форму, а не повлияет на асимптотику . Действительно, так как , интеграл для сходится равномерно в полуплоскости , что легко обнаруживается сравнением с интегралом .
Следовательно, регулярна и ограничена в полуплоскости . То же самое справедливо и относительно , так как .
Мы могли бы уже применить формулу Меллина, но тогда было бы весьма затруднительно выполнить интегрирование. Поэтому прежде преобразуем равенство (3) следующим образом. Дифференцируя по s, получаем . Обозначим левую часть через и положим , , ( , и полагаем равными нулю при ). Тогда, интегрируя по частям, находим при , или .
Но непрерывна и имеет ограниченную вариацию на любом конечном интервале, а так как , то ( ) и ( ). Следовательно, абсолютно интегрируема на при . Поэтому при , или при . Интеграл в правой части абсолютно сходится, так как ограниченна при , вне некоторой окрестности точки . В окрестности и можно положить , где ограниченна при , и имеет логарифмический порядок при . Далее, . Первый член равен сумме вычетов в особых точках, расположенных слева от прямой , то есть . Во втором члене можно положить , так как имеет при лишь логарифмическую особенность. Следовательно, .
Последний интеграл стремится к нулю при . Значит,
(2.4).
Чтобы перейти обратно к , используем следующую лемму.
Пусть положительна и не убывает и пусть при . Тогда .
Действительно, если - данное положительное число, то ( ). Отсюда получаем для любого Но так как не убывает, то .
Следовательно, . Полагая, например, , получаем .
Аналогично, рассматривая , получаем , значит , что и требовалось доказать.
Применяя лемму, из (2.4) имеем, что , , поэтому и теорема доказана.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В данной курсовой работе было произведено исследование одного из типов числовых рядов – бесконечных произведений. В ходе работы был выполнен анализ литературы по данной теме, на основании которого были выделены основные понятия и свойства бесконечных произведений и рядов, рассмотрены разложения различных функций в бесконечное произведение, решены различные задачи по данной теме.
Рассмотрены такие понятия, как абсолютная сходимость бесконечного произведения, равномерная сходимость и др.
В итоге, можно заметить, что рассмотрение вопросов связанных с данной тематикой носит как теоретическую, так и практическую значимость.
Список использованной литературы