Бесконечные произведения

 

Фиксируем любое (отличное от нуля) значение и возьмём два произвольных натуральных числа p и n, удовлетворяющих неравенствам .

Тогда формулу (1.20) можно  записать в виде

 

где

 

Прежде всего оценим . Поскольку , то аргументы всех синусов, состоящих в формуле (1.22), принадлежат интервалу ().

Кроме того, ясно, что для  всех k, участвующих в этой формуле, и следовательно,

 

(так как , и поэтому ).

Для любого из интервала справедливы неравенства 1, поэтому для всех номеров k, превосходящих p,

 

Почленно перемножая неравенства (1.23), записанные для k=p+1,p+2,…n, получим следующую оценку для :

 

Так как аргумент лежит в первой четверти и для любого из первой четверти , то

 

Таким образом,

 

Последнее неравенство позволяет  следующим образом усилить оценку (1.24)

 

3. Теперь в формуле (1.21) устремим число m к бесконечности, оставляя фиксированными значение x и номер р. Поскольку , то существует предел левой части (1.21), равным , и предел конечного произведения  , равный .

Далее будем считать, что  последний предел отличен от нуля, так как, разложение (1.13) установлено.

Но тогда существует предел .

Обозначим этот предел через . Из неравенства (1.25), справедливых для любого номера m, вытекает, что

 

Формула (1.21) в пределе  при дает

 

Остается сохраняя фиксированным  x, устремить в формуле (1.27) номер р к бесконечности. Поскольку левая часть (1.27) не зависит от р, а предел в силу неравенств (1.26) существует и равен единице, то существует и предел

 

Таким образом, разложение (1.13) для  установлено.

Замечание. В полной аналогии с разложениями (1.13) для  и (1.14) для можно получить разложения в бесконечные произведения гиперболических функций

 

Заметим, что из разложений для  немедленно получаются разложения в бесконечные произведения функций

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§ 1.4 Дзета-функция Римана

Итак, приступим к изучению этой важной и интересной дзета-функции  Римана. В данной главе мы получим  некоторые свойства функции в  вещественной области, исходя из её определения  с помощью ряда.

Определение: Дзета-функцией Римана ζ(s) называют функцию, которая любому действительному числу s ставит в соответствие сумму ряда

(1.28)

если она существует.

Основной характеристикой  любой функции является область  определения. Найдём её для нашей  функции.

Пусть сначала s≤0, тогда s=−t, где t принадлежит множеству неотрицательных действительных чисел R₊ {0}. В этом случае

и ряд (1.24) обращается в ряд

,

который, очевидно, расходится как при t>0, так и при t=0. То есть значения s≤0 не входят в область определения функции.

Теперь пусть s>0. Для исследования сходимости ряда (1.24) воспользуемся интегральным признаком Коши. При каждом s рассмотрим функцию ,

где , которая является на промежутке непрерывной, положительной и монотонно убывающей. Возникает три различных возможности:

 

1. 0<s<1.

Тогда ,

поэтому ряд (1.24) расходится и промежуток (0;1) не входит в область определения дзета-функции;

2. s=1.

Получаем  ,

то есть при s=1 дзета-функция Римана также не определена;

3. s>1.

В этом случае

.

Ряд (1.24) сходится.

Обобщив результаты, находим, что область определения дзета-функции  есть промежуток . На этом промежутке функция оказывается непрерывной и дифференцируемой бесконечное число раз.

Докажем непрерывность функции  ζ(s) на области определения. Возьмём произвольное число s₀>1. Перепишем ряд (1.24) в виде

.

 Как было выше показано, ряд  сходится, а функции при s>s₀ монотонно убывают и все вместе ограничены единицей. Значит, по признаку Абеля для s>s₀ ряд (1.24) сходится равномерно. Используя теорему о непрерывности суммы функционального ряда, получаем, что в любой точке s>s₀ дзета-функция непрерывна. Ввиду произвольности s₀ ζ(s) непрерывна на всей области определения.

Теперь почленным дифференцированием ряда (1.28), пока формально, найдём производную дзета-функции Римана:

(1.29).

Чтобы оправдать этот результат, достаточно удостовериться в том, что ряд (1.29) равномерно сходится на промежутке и воспользоваться теоремой о дифференцировании рядов. Используем тот же приём. Зафиксируем любое s₀>1 и представим ряд (1.29) в виде

 для s>s₀.

Множители , начиная с n=2, монотонно убывают, оставаясь ограниченными числом ln 2. Поэтому по признаку Абеля ряд (1.29) сходится равномерно при s>s₀, а значит и при любом s>1. Какое бы значение s>1 ни взять его можно заключить между и , где , а ; к промежутку применима вышеуказанная теорема.

Таким же путём можно убедиться  в существовании для дзета-функции  производных всех порядков и получить их выражения в виде рядов:

.

Попытаемся построить  наглядное изображение функции  в виде графика. Для этого изучим сначала её поведение на бесконечности  и в окрестности точки s=1.

В первом случае, ввиду равномерной  сходимости ряда (1.28), по теореме о почленном переходе к пределу, имеем

.

При n=1 предел равен единице, остальные пределы равны нулю. Поэтому .

Чтобы исследовать случай , докажем некоторые вспомогательные оценки.

Во-первых, известно, что  если для ряда существует непрерывная, положительная, монотонно убывающая функция , определённая на множестве , такая, что , и имеет первообразную , то остаток ряда оценивается так:

,

где . Применяя вышесказанное к ряду (1.28), найдём, что необходимая функция

, а  и .

Отсюда, подставляя в двойное  неравенство, имеем

(1.26).

В левом неравенстве положим  n=0, тогда , то есть . В правом же возьмём n=1 и получим , далее , и, наконец, . Переходя в неравенствах к пределу при , находим .

Отсюда, в частности, следует, что  . Действительно, положим .

Тогда ,

то есть .

Поэтому .

Из того, что  , а , вытекает доказываемое утверждение.

Можно, однако, получить ещё  более точный результат для оценки поведения дзета-функции в окрестности  единицы, чем приведённые выше, принадлежащий  Дирихле. Будем отталкиваться от очевидного при произвольном n равенства

.

 Прибавим ко всем  частям неравенств (3) сумму  и вычтем .

Имеем . Пусть здесь s стремится к единице. По правилу Лопиталя легко вычислить и .

Мы пока не знаем, существует ли предел выражения  при , поэтому, воспользовавшись наибольшим и наименьшим пределами, напишем неравенства так: .

Ввиду произвольности n возьмём . Первое и последнее выражения стремятся к эйлеровой постоянной C (C 0,577).

Значит  , а, следовательно, существует и обычный предел и .

Найденные выше пределы позволяют  получить лишь приблизительное представление  о виде графика дзета-функции. Сейчас мы выведем формулу, которая даст возможность нанести на координатную плоскость конкретные точки, а именно, определим значения , где k – натуральное число.

Возьмём известное разложение

,

где - знаменитые числа Бернулли (по сути, через него эти числа и определяются). Перенесём слагаемое в левую часть равенства. Слева получаем cth , а в правой части - ,

то есть cth .

Заменяем  на , получаем cth .

С другой стороны, существует равенство cth , из которого cth .

Подстановкой  вместо находим cth . Если , то для любого N

и по теореме о сложении бесконечного множества степенных  рядов  cth .

Приравняем полученные разложения:

,

следовательно . Отсюда немедленно следует искомая формула

(1.31),

 где  - k-е число Бернулли. Она удобна тем, что эти числа хорошо изучены и для них составлены обширные таблицы.

Теперь, исходя из полученных результатов, можно построить эскиз  графика дзета-функции Римана, достаточно хорошо отражающий её поведение на всей области определения.

 

Леонард Эйлер, впервые рассмотревший  дзета-функцию, получил замечательное  разложение её в бесконечное произведение, которое иногда тоже принимают за определение:

,

 где p_i – i-е простое число (1.27).

Докажем тождественность  ряда (1.29) и произведения (1.31). Вспомнив формулу суммы геометрической прогрессии, получаем равенство

Если перемножить конечное число таких рядов, отвечающих всем простым числам, не превосходящим  заданного натурального числа N, то получившееся частичное произведение окажется равным

,

где символ * означает, что  суммирование распространяется не на все натуральные числа, а лишь на те из них (не считая единицы), которые в своём разложении содержат только простые числа меньшие N. Так как первые N натуральных чисел этим свойством обладают, то

(1.32).

Сумма содержит не все числа, большие N+1, поэтому, очевидно, .

 Из (1.28) получаем

 (1.33).

Ввиду сходимости ряда (1), выражение справа, представляющее его остаток после N-го члена, стремится к нулю при N стремящимся к бесконечности, а есть произведение (1.31). Значит из неравенства при ,

что и требовалось доказать.

Формула (1.31) важна потому, что она связывает натуральный ряд, представленный множеством значений аргумента дзета-функции, со множеством простых чисел. Ещё один шаг в этом направлении мы сделаем, оценив , а именно показав, что

,

где остаётся ограниченным при .

Из (1.31) следует, что

где N, а при . Возьмём логарифм от обеих частей равенства, тогда .

Натуральные логарифмы под  знаком суммы разлагаются в ряд:

.

Подставив полученные разложения в равенство и устремив N к бесконечности, имеем . Остаётся доказать ограниченность последнего слагаемого. Ясно, что .

Последнее равенство справедливо, так как  . Далее, очевидно, , что и завершает доказательство.

 

 

 

 

§ 1.5 Применение дзета-функции Римана в математическом анализе

     Как уже было сказано, дзета-функция Римана широко применяется в математическом анализе. Однако наиболее полно важность её выявляется в теории чисел, где она оказывает неоценимую помощь в изучении распределения простых чисел в натуральном ряду. К сожалению, рассказ о серьезных и нетривиальных применениях дзета-функции Римана выходит за рамки этой работы. Но чтобы хотя бы немного представить мощь этой функции, докажем с её помощью несколько интересных утверждений.

     Например, известно, что простых чисел бесконечно много. Самое знаменитое элементарное доказательство принадлежит Евклиду. Оно состоит в следующем. Предположим, что существует конечное число простых чисел, обозначим их p₁, p₂, … , p_n. Рассмотрим число p₁p₂…p_n+1, оно не делится ни на одно из простых и не совпадает ни с одним из них, то есть является простым числом, отличным от вышеуказанных, что противоречит предположению. Значит, количество простых чисел не может быть конечным.

     Другое доказательство этого факта, использующее дзета-функцию, было дано Эйлером. Рассмотрим данное в первой главе равенство (5) при s=1, получим