Исследование операций

Министерство  образования и науки Российской Федерации

 

Федеральное государственное бюджетное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский  государственный университет технологии и дизайна»

 

 

Факультет  Институт менеджмента и внешнеэкономической деятельности 

Направление  Управление арт-бизнесом 

Кафедра  Машиноведения 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине

 

«МЕТОДЫ И МОДЕЛИ УПРАВЛЕНИЯ ОПЕРАЦИЯМИ»

на тему: 

Исследование операций

 

 

 

Исполнитель – студентка уч. группы 2 –МГЗ - 42

Бекжанова Б. А.

 

Руководитель 

Марковец А.В.

 

 

Оценка 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург,

2013 г.

 

 

Министерство образования и  науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное  образовательное учреждение  
высшего профессионального образования

«Санкт-Петербургский  государственный университет технологии и дизайна»

Кафедра машиноведения

ЗАДАНИЕ НА КУРСОВУЮ РАБОТУ

Студенту

Бекжановой Бибигуль Ардагеровне

группы

2-МГЗ -42

Тема работы

Исследование операций

Содержание задания

Задача работы:

разработать математическую модель экономического процесса, найти и проанализировать оптимальное решение задачи планирования

Исходные данные:

а) технологические параметры:

нормы расхода на 1 кг хлеба по видам  продукции, прибыль от реализации 1 кг продукции (таблица 1)

б) конструктивные параметры:

нет

в) особые условия:

ограничения на расход ресурсов в сутки  на 1 кг изделия (таблица 2)   вариант № 1

г) объем работы:

пояснительная записка 15 -25 стр.

определить план выпуска продукции, при котором прибыль от ее реализации максимальна, решить двойственную задачу, найти интервалы устойчивости двойственных оценок, оценить влияние на прибыль  запасов ресурсов

Пособия и рекомендуемые материалы:

Кремер, Н. Ш. Исследование операций в  экономике : учеб. пособие / Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М., Фридман М. Н. под. ред. Н. Ш. Кремера. – 2-е изд., перераб. и доп. — М.: Издательство Юрайт ; ИД Юрайт, 2011.

Дата выдачи задания:

10 ноября 2012 г.

Сроки выполнения задания:

До 10 декабря 2012 г.

Подготовительный этап (срок):

1 месяц

Пояснительная записка (количество листов и содержание)

39 стр.

Введение Определение оптимального плана выпуска продукции Постановка задачи оптимизации Решение задачи с использованием симплексного метода Двойственная задача линейного программирования Постановка двойственной задачи оптимизации Решение двойственной задачи Экономический смысл объективно-обусловленных оценок Определение интервалов устойчивости двойственных оценок Анализ чувствительности решения Анализ влияния на максимальную прибыль увеличения запасов ресурсов (производственных мощностей) Анализ влияния на максимальную прибыль уменьшения запасов ресурсов (производственных мощностей) Анализ влияния на максимальную прибыль суммарного изменения ресурсов (производственных мощностей) Заключение Список использованных источников Приложение. Результаты решения  задачи на ЭВМ

Задание выдал:

руководитель

Задание принял:

студент

 

 

 

 

 

 

Содержание.

Введение

1. Определение оптимального плана выпуска продукции

1.1 Постановка задачи оптимизации

1.2 Решение задачи с использованием симплексного метода

2 .Двойственная задача линейного программирования

2.1 Постановка двойственной задачи оптимизации

2.2 Решение двойственной задачи

2.3 Экономический смысл объективно-обусловленных оценок

3. Определение интервалов устойчивости двойственных оценок

3.1 Анализ чувствительности решения

3.2 Анализ влияния на максимальную прибыль увеличения запасов ресурсов (производственных мощностей)

3.3 Анализ влияния на максимальную прибыль уменьшения запасов ресурсов (производственных мощностей)

3.4 Анализ влияния на максимальную прибыль суммарного изменения ресурсов (производственных мощностей)

Заключение

Список использованных источников

Приложение А

Приложение Б

Приложение В

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Совершенно ни для кого не будет  открытием тот факт, что технологии значительно упрощают человеческий труд в условиях стремительно развивающегося мира. С такими темпами развития далеко не каждому удастся успеть удержаться на высоте. Потоки информации стремительно меняют экономику и  мир в целом. В таких условиях необходимо правильно ставить задачи. А там где есть задачи появляется необходимость в их решении. И  решение должно быть оптимально быстрым.

Грамотное составление плана и задач возможно лишь с привлечением вычислительной техники и соответствующего программного обеспечения.

Вопрос о составлении оптимального плана выпуска продукции является наиболее актуальным у фирмы производителя. Проблему о составлении оптимизационного плана можно решить несколькими способами, но наиболее простым является привлечение для решения поставленной задачи программы EXCEL, входящей в состав пакета офисных программ.

Данная работа раскрывает информацию по задаче, определяющей оптимизационный план выпуска продукции. Задача решена с помощью электронных таблиц (EXCEL).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Определение оптимального плана выпуска продукции.
1. Постановка задачи оптимизации.

 

Для принятия решений наибольшей популярностью пользуются оптимизационные задачи. Среди них наиболее известные, такие как, задачи линейного программирования, в которых максимизируемая функция F(x) является линейной, а ограничения А задаются линейными неравенствами.

Задача оптимизации. В пекарне для выпечки четырех видов хлеба используются мука двух сортов, маргарин и яйца. Имеющееся оборудование, производственные площади и поставки продуктов таковы, что в сутки можно переработать не более a кг муки сорта I, b кг муки сорта II, c кг маргарина, d шт. яиц. В таблице 1 приведены нормы расхода продуктов, а также прибыль от реализации 1 кг. Хлеба каждого вида. В таблице 2 представлены численные значения параметров a, b, c и d в зависимости от варианта.

Номер варианта определяется последней цифрой в  номере зачетной книжки.

Таблица 1 – Нормы расхода и прибыль на 1 кг хлеба

Наименование   продукта	Нормы расхода на 1 кг хлеба (по видам)
	А	Б	В	Г
Мука I, кг	0,5	0,5	0	0
Мука II, кг	0	0	0,5	0,5
Маргарин, кг	0,125	0	0	0,125
Яйцо, шт.	2	1	1	1
Прибыль, руб./кг	14	12	5	6

 

Таблица 2 – Варианты исходных данных

№   вар.-та	a	b	c	d	оценить влияние параметра на результаты при его изменении
					увел. на 10%	умен. на 10%
0	250	200	60	1380	a	b
1	290	150	70	1540	c	d
2	350	100	80	1740	a	c
3	380	180	90	1880	b	d
4	290	190	50	1280	b	a
5	300	210	60	1380	d	a
6	310	220	70	1480	c	d
7	330	160	80	1600	b	a
8	400	190	90	1820	d	b
9	240	220	50	1080	c	a

 

Обозначим: Х1 – количество изготовленного хлеба сорта А (кг), Х2 - количество изготовленного хлеба сорта Б (кг), Х3- количество изготовленного хлеба сорта В (кг), Х4 - количество изготовленного хлеба сорта Г (кг). Задача оптимизации имеет вид:

 

14x₁+12x₂+5x₃+6x_{4 ®max}

¹/₂x₁ + ¹/₂x₂≤380 
¹/₂x₃ + ¹/₂x₄≤180 
1/8 x₁ + 1/8x₄≤90 
2x₁ + x₂ + x₃ + x₄≤1880

В первой строке выписана целевая  функция - прибыль при выпуске  А,Б,В,Г кг сортов хлеба. Ее требуется максимизировать, выбирая оптимальные значения переменных  х1,х2,х3,х4. При этом должны быть выполнены ограничения по ингредиентам  - истрачено не более 380 кг. муки сорта I, 180 кг. муки сорта II, 90 кг. маргарина и 1880 шт. яиц. А также и ограничения по труду (третья строчка) - затрачено не более 450 часов. Число всех видов хлеба не отрицательно. Если х1=0, то это значит, что хлеб сорта А не выпускается. То есть выпуск продукции не может быть отрицательным с экономической точки зрения, хотя с математической точки зрения такого ограничения усмотреть нельзя.

 

2. Решение задачи с использованием симплексного метода.

 

Решим прямую задачу линейного программирования симплекс-методом. 
          Определим максимальное значение целевой функции

Q(X) = 14x₁ + 12x₂ + 5x₃ + 6x₄ при следующих условиях-ограничений: 
¹/₂x₁ + ¹/₂x₂<=380 
¹/₂x₃ + ¹/₂x₄<=180 
1/8x₁ + 1/8x₄<=90 
2x₁ + x₂ + x₃ + x₄<=1880

x₁, x_2, x₃, x₄=>0 

Избавимся от неравенств в ограничениях, введя  в ограничения 1, 2, 3, 4 неотрицательные  балансовые переменные s1, s2, s3, s4. 
¹/₂x₁ + ¹/₂x₂ + s1<=380 
¹/₂x₃ + ¹/₂x₄  + s2<=180 
1/8x₁ + 1/8x₄ + s3 <=90 
2x₁ + x₂ + x₃ + x₄ + s4<=1880

x₁, x_2, x₃, x₄, s1, s2, s3, s4=>0 
Начальная симплекс-таблица

Итерация 1

 
Итерация 2

Итерация 3

Достигнуто  оптимальное решение, т.к. в строке целевой функции нет положительных  коэффициентов.

Оптимальное значение функции Q(X) = 12360 достигается в точке с координатами:

x₁ = 720

x₂ = 40

x₃ = 360

x₄ = 0

s1 = 0

s2 = 0

s3 = 0

s4 = 440. 

2. Двойственная задача линейного программирования.

2.1. Постановка двойственной  задачи оптимизации.

 

Грубо говоря, двойственная задача - это на 90⁰ повернутая исходная прямая задача. В связи с этим, можно выстроить следующую схему соответствия.

 

Составим двойственную задачу к  прямой задаче. 
1/2y₁+1/8y₃+2y₄≥14 
1/2y₁+y₄≥12 
1/2y₂+y₄≥5 
1/2y₂+1/8y₃+y₄≥6 
380y₁+180y₂+90y₃+1880y₄ → min 
y₁ ≥ 0 
y₂ ≥ 0 
y₃ ≥ 0 
y₄ ≥ 0

2.2. Решение двойственной  задачи.

 

Из первой теоремы двойственности следует, что Y = C*A^-1. 
Составим матрицу A из компонентов векторов, входящих в оптимальный базис.

0,5 0 0,5 0 0 0,5 0 0 0 0 0,13 0 1 1 2 1

 

 

 

 

 

А =  
 
Определив обратную матрицу D = А^-1 через алгебраические дополнения, получим:

D = A-1 =

2 0 -8 0 0 2 0 0 0 0 8 0 -2   2 -8 1

 
Тогда Y = C*A^-1 = 

 

 

 

(12, 5, 14, 0) x = (24;10;16;0)

2 0 -8 0 0 2 0 0 0 0 8 0  -2 -2 -8 1

 
 
Оптимальный план двойственной задачи равен: 
y₁ = 24 
y₂ = 10 
y₃ = 16 
y₄ = 0 
Z(Y) = 380*24+180*10+90*16+1880*0 = 12360

Критерий  оптимальности полученного решения. Если существуют такие допустимые решения X и Y прямой и двойственной задач, для которых выполняется равенство целевых функций F(x) = Z(y), то эти решения X и Y являются оптимальными решениями прямой и двойственной задач соответственно. 
        Определение дефицитных и недефицитных (избыточных) ресурсов. Вторая теорема двойственности.  
Подставим оптимальный план прямой задачи в систему ограниченной математической модели: 
1/2*720 + 1/2*40 + 0*360 + 0*0 = 380 = 380 
0*720 + 0*40 + 1/2*360 + 1/2*0 = 180 = 180 
1/8*720 + 0*40 + 0*360 + 1/8*0 = 90 = 90 
2*720 + 1*40 + 1*360 + 1*0 = 1840 <= 1880 
1-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 1-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₁>0). 
2-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 2-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₂>0). 
3-ое ограничение прямой задачи выполняется как равенство. Это означает, что 3-ый ресурс полностью используется в оптимальном плане, является дефицитным и его оценка согласно второй теореме двойственности отлична от нуля (y₃>0). 
4-ое ограничение выполняется как строгое неравенство, т.е. ресурс 4-го вида израсходован не полностью. Значит, этот ресурс не является дефицитным и его оценка в оптимальном плане y₄ = 0. 
Неиспользованный экономический резерв ресурса 4 составляет 40 (1880-1840). 
Этот резерв не может быть использован в оптимальном плане, но указывает на возможность изменений в объекте моделирования (например, резерв ресурса можно продать или сдать в аренду). 
Таким образом, отличную от нуля двойственные оценки имеют лишь те виды ресурсов, которые полностью используются в оптимальном плане. Поэтому двойственные оценки определяют дефицитность ресурсов.