Возникновение и эволюция счета; появление понятия числа

 

Введение

Учиться люди начали в незапамятные времена, а учителем у них была сама жизнь.  Часто говорят: «Знаю, как свои пять пальцев». Именно с  того далекого времени пошло это  выражение, когда люди применяли  счет, применяя то, что дала им природа.

Актуальность темы очевидна. Она обусловлена потребностью людей  считать и измерять. Этому обучают  каждого учащегося в школе, но к великому сожалению, в век компьютеризации  мы забываем историю самих чисел. Как возникли цифры и что такое  числа, в каких странах и почему стали записывать числа. Какие меры веса, объема, длины имелись раньше на Руси? Без познания прошлого, нельзя составлять прогнозы и говорить о  перспективах будущего.

А математику уж затем  учить следует,

что она ум в  порядок приводит.

 

М.В.Ломоносов

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Возникновение и эволюция счета; появление понятия числа

 

Возникновение математических понятий произошло задолго до появления собственно математических текстов. Некоторые ученые, например известный немецкий математик М. Кантор (Cantor) считали, что счёт имеется уже у животных. По М. Кантору, “счёт, поскольку под ним подразумевают лишь сознательное сведение воедино определенных сущностей, не составляет особенности человека, ибо утка также считает своих утят”. Современные исследователи отмечают, что животные разных видов, начиная с рептилий, обладают способностями обобщения по признаку “соответствие”, абстрагирования, ряд позвоночных способны к зачаткам “символического мышления человека”. Вороны “способны не только к обобщению относительного признака “соответствие”, но также к формированию довербального понятия “число”.

Как пишет Ф. Кликс: “Способность распознавать различные количества предметов одного и того же или разного вида встречается уже среди врожденных поведенческих программ. Пчелы дифференцируют различное число лепестков у цветов. Некоторые виды птиц, например, голуби, могут научиться различать количество точек и пятен, числом 7 или 9”.

По мнению советских авторов “Истории математики” (1970) счёт прерогатива, сугубо, человеческая, первобытно-пещерным “людям”, как и уже высшим животным доступен так называемый “чувственный счет”: “Когда первобытному охотнику нужно было узнать, все ли собаки в своре на месте, он не считал их, а просто, окинув взором свору, видел, какой собаки не хватает. Такой “чувственный счёт”, доступный даже утке чувствующей, весь ли ее выводок следует за ней к водоёму, существовал задолго до возникновения счёта”. Действительно, существуют гипотезы, согласно которым счёт, способность к счёту - это то, “нечто”, что принципиально отличают человека от животного.

Интересно отметить, что такие животные как пчёлы строят форму своих сот, (которые представляют собой шестигранные призмы небольшого объема, одинаковой высоты), наилучшим образом “решая” проблему заполнения пространства. А пауки “умудряются” плести свои паутины, соблюдая строгие пропорции. Как это возможно, ведь пчёлы и пауки не знают высшей математики?

Таким образом, в верхнем палеолите, когда “супер обезьяна” овладела способностью создавать и оперировать понятиями, когда появилось понятийное, символическое мышление, появился собственно человек. Можно вполне согласится с В. Розиным писавшем: “…Сознание и разум, и психика человека сформировались под влиянием знаков, языка, общения”. “…Именно развитие знаковых средств и знаковых систем (т.е. языка) и являлось тем основным фактором и рычагом, который привел к формированию человека…”.

Современный исследователь первобытной эпохи Фридхардт Кликс также писал о том, что оценки количества у первобытных народов носят перцептивный характер. “Перцептивное выделение одного или двух объектов (например, с помощью процессов, получивших в современной психологии название “селективное внимание”) еще не является началом счёта в собственном смысле слова”.

Первые арифметические и геометрические понятия появились в каменном веке. По мнению Люсьена Леви-Брюля (1857-1939), французского философа и психолога, представителя французской социологической школы, первобытным народам чуждо требование логики.

Обратимся к рассмотрению эволюции появления счёта.

Что появилось первым понятие числа или счёт? Очевидно, что понятие числа кристаллизовались на основе и в процессе развития счёта.

Можно выделить четыре этапа этой эволюции:

1. установление соответствий предметов;

2. выработка естественных эталонов счёта;

3. выработка эталона-множества символизирующего некое конкретно число (где, впервые возникает понятие числа);

4. выработка наиболее удобных счётных систем.

Рассмотрим эту эволюцию подробно.

Счёт строился на однозначных соответствиях; “у некоторых южноафриканских племен при счёте дотрагиваются до каждого предмета по очереди пальцами, начиная с мизинца левой руки”

Австралийцы и полинизийцы, пользовались своим телом как живой шкалой, каждая часть тела которого имела свое название и место в системе счисления. Таким телом – живой - шкалой “пользовались, чтобы сообщить, например, дружественному племени о количестве воинов, собираемых племенами, или о числе дней, в прошествии которых следует выходить на охоту”.

У первобытного человека не было потребности в счёте больших количеств. Поэтому счет доходил до 2 или до 3 - всё превышающее этот рубеж, первобытному человеку представлялось как “много”. Числительное “два” имело качественное происхождение - пара рук, ног, глаз и пр.

Вскоре (второй этап эволюции) - в процессе развития обмена - появились естественные эталоны счёта: пять пальцев руки, камешки, ракушки и пр.

Судя по всему, зачастую “первобытные исчисления” ассоциировались и назывались в соответствии со сравнимыми “естественными множествами” (при помощи “конкретных” чисел). Лучший пример сказанного: древнеиндийская система счисления, где Луна - единица, два - близнецы или глаза, пять - чувства, шесть - запахи, семь - горы, восемь - боги и т.д.

Постепенно для счёта предметов стала применяться более или менее однородные предметы (пальцы рук, если их не хватало, в ход шли ноги).

“Так, у индейцев племени абипонов число 5 называется “рука”, 10 - “две руки”, 20 - “руки и ноги”; в названии 4 - “пальцы страуса” - отражена более ранняя степень счёта. У зулусов каждый палец обозначал определенное число; например, слово “татизитуна” (буквально - “взять большой палец руки”) обозначало 6, а “у комбиле”, т.е. “он указал”, - 7 и т.д.”

“Так, обозначения чисел у обитателей одного из Микронезийских островов выглядят следующим образом: 1 = “маленький палец правой руки”, 2= “безымянный палец”, 3= “средний палец”, 4= “указательный палец”, 5= “большойпалец”, 6= “кисть”, 7 = “локоть”, 8= “плечо”, 9= “ухо”, 10= “правый глаз”, 11= “левый глаз, 12= “нос”, 13= “рот”, 14= “левое ухо” и т. д. Судя по всему, это соответствует той исторически ранней ступени развития когнитивных процессов, на которой понятия репрезентировались при письме с помощью пиктограмм. В обоих случаях речь идет о тупике, наивной попытке передачи на костылях наглядности безбрежного многообразия количественных и качественных отношений. Каким же образом была разрешена эта дилемма? В качестве временного решения в самых разных частях света в какое-то время утвердился прием образования вспомогательных множеств. Числовые системы ряда отсталых народов еще несколько десятилетий назад могли служить примером этого принципа. Остатки его сохранились и в нашем речевом мышлении.

Иллюстрацией использования вспомогательных множеств является образование числовых рядов индейцами одного горного племени, живущего на территории Колумбии. Их числовые термины различаются в зависимости от того, нужно ли считать животных, дни и даже длинные или округлые объекты. Для обитателей островов Фиджи 10 лодок- это “боло”, а 10 кокосовых орехов- “каро”, точно так же, как для североамериканских индейцев 10 лодок, участвующих в военных действиях, называются совсем иначе, чем те же самые лодки, используемые для перевозки продовольственных запасов. Названия чисел еще неразрывно связаны с событиями, в которых проявляются свойства конкретных предметов, обозначаемые теми же словами. Отголоском этого этапа развития в нашем мышлении и речи являются такие термины для обозначения большого количества определенных объектов, как “толпа”, “куча”, “стадо” и т.д.”. “Собственная история счета начинается лишь тогда, когда счет сопровождает материальную манипуляцию откладывания, перекладывания, прибавления и т.п., конкретно проводимую с самими предметами”, - отмечает Кольман.

Первобытному человеку необходимо дотрагиваться до предметов пальцами. О ручном счете у жителей Новой Гвинеи сообщает Н. Н. Миклухо- “Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например, “бе, бе, бе”…Досчитав до пяти, он говорит “ибон -бе” (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет “бе, бе”…, пока не доходит до “самба-бе” и “самба-али” (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого”.

“Ручной счет сыграл в развитии счета столь же важную роль, как и открытие огня в общем развитии первобытного человека” - заключает Э. Кольман. По его мнению, счет пальцами рук и ног, сменился знаками “заместителями” отсчитываемых предметов. Такими “знаками заместителями” стали камешки, ракушки, которые в процессе счета откладывались в кучки, наносились зарубки, завязывались узелки и пр. Понятия 1, 2, 3 и т.д. появляются раньше самого понятия числа.

Кликс отмечал, что “развитие счета и, как мы знаем теперь, формирование числовых систем требует выполнения двух предварительных условий. Первым условием является образование цифр в некотором ограниченном числовом диапазоне. Образование цифр связано с наименованием. Вследствие ограниченности возможностей памяти оно диктует необходимость использования итеративного или, точнее, конструктивного принципа. Австралийские аборигены считают так: 1 = энеа, 2= петхевал, 3= петхевал-энеа, 4= петхе-вал-петхевал. Обозначения для трех и четырех образуются из названий единицы и двойки. Число таких примеров можно было бы при желании увеличить. Представители другого австралийского племени делают это так: 1 = мал, 2 = булан, 3= гулиба, 4= булан-булан, 5 = булан-гулиба, 6= гулиба-гулиба. Мы видим здесь тот же принцип: ограниченное количество числительных благодаря их конструктивному объединению может быть использовано для обозначения элементов большего множества. В простейшем случае, как в наших примерах, такое объединение является аддитивным.

Вторым предварительным условием создания числовой системы была гомогенизация перечисляемых объектов. Это осуществляется с помощью отнесения произвольно выбранных для счета предметов к элементам возможно более однородного вспомогательного множества: камешкам, раковинам, палочкам и т. п. Собственно творческим моментом является при этом перенос обозначений числа на элементы вспомогательного множества. Значение этой процедуры на пути к созданию числовой системы состоит в том, что с ее помощью осуществляется абстрагирование от всех вещественных, или предметных, свойств определенного множества, за исключением числовых характеристик. Обозначение числа и понятие о числе - далеко не одно и то же”.

На третьем этапе появление множества эталона счёта, “символизирующего какое-нибудь конкретное число, привело к возникновению понятия числа”

С развитием хозяйства возникла потребность в расширении пространства счета. При возникновении потребности в расширении числовой области низшие числительные, зачастую, просто повторялись.

Например, у племени обитающего в бухте Купера: 1 - “гуна”, 2- “баркула”, 3 - “баркула - гуна”, 4 - “баркула - баркула”. В некоторых языках множественное число образуется простым повторением, так, на языке хинди “бхай” - брат, “бхай-бхай” – братья.

На языке “одного из островов Торресова пролива существуют следующие наименования: 1 - урапун, 2 - окоза, 3 - окоза-урапун, 4 - окоза-окоза, 5 - окоза-окоза-урупун, 6 - окоза-окоза-окоза и т.д.

Индийское племя абипонов полтора века назад вело счет таким образом: 1 - инитара, 2 - иньоака, 3 - иньоака - инитара, а далее употреблялись специальные названия числительных, основанные уже на пятиричной системе”.

Однако необходимость счета больших количеств выявил неспособность прежнего способа счета (когда низшие числительные повторяются) справится с этой задачей. “Высшим числам даются особые названия, возникают высшие числительные”. Крайние числительные теперь простираются гораздо дальше 10 и даже 20. За крайним числом по-прежнему простирается неопределенное “много”. (Интересно, что у русских названия “пыль”, “звезды”, “тьма” были равнозначны понятию “много”).

Серьёзную потребность в выработке количественных исчислений и оценок вызвал зарождающийся обмен между родами и племенами.

Как отмечал Э. Кольман: “Первоначально обмен не носил характера сделки. Только постепенно обмен стал строится на стоимостной оценке обмениваемых продуктов” В те времена обмен у первобытных народов строился на основе наглядных установлений взаимных соответствий, иначе говоря, - визуального определения соответствий обмениваемых предметов. Первоначально при обмене предметов, пишет Э. Кольман, “не считали количество их элементов, а чувственно - наглядно устанавливали взаимно однозначные соответствия этих элементов…”. “Так, по описаниям Дж. Моргана, двое мужчин австралийских племён с каждой стороны “приносили угрей и коренья на длинных кусках коры. Затем они переносили их на голове с одной стороны на другую, пока все количество не было обменено». Отдельные остатки или отголоски этого способа обмена сохранились и у некоторых африканских племен.

Позднее, через десятки тысяч лет установилась меновая стоимость, “однако, представление о качестве обмениваемых предметов, их массе, размерах, весе и т.п. еще не играло решающей роли. Так, например, в “Иллиаде” указывается соотношение: 1 медный треножник = 12 волам = 3 рабыням” (Возникновение представления об изменении стоимости в зависимости от качества повлечёт за собой дальнейшее развитие числа, и, собственно, счётных способностей человека).