Возникновение и эволюция счета; появление понятия числа

При своем появлении понятие числа было неотделимо от понятия измерения, “легшего затем в основу геометрии”.

Первым способом «записи» чисел были зарубки на палке. Это  была неудобная запись, особенно, когда  число большое. Именно о таких  зарубках писал английский писатель Даниель Дефо в книге «Робинзон  Крузо» в 1719 году. Запись чисел зарубками  была распространена у многих народов. В России сохранилось выражение: «Заруби себе на носу».

Разные народы, жившие в  отдаленных друг от друга странах  и в разные времена, изобретали для  записи чисел собственные, но все  же чем –то схожие с другими способами записи чисел. Так, в Египте первые числа изображали вертикальными черточками. Чтобы записать нашу цифру 7, египтянину приходилось рисовать семь палочек: 7 = 1 1 1 1 1 1 1

В Вавилоне пользовались клинышками на глиняных пластинках, в Америке - точками.

Около пяти тысяч лет назад  люди додумались, что числа можно  записывать не просто зарубками-единицами, а по разрядам: отдельно единицы, отдельно десятки, отдельно сотни. Так считали  в Египте.

В Древнем Вавилоне считали  не десятками, а шестидесятками, то есть система счета была шестидесятеричная. Например, число 137 вавилонский ученый представлял как: 2 шестидесятки + 17 единиц = 137

Но, вавилонский ученый пользовался  всего двумя цифрами и записывал  число не как мы. Вертикальная черточка обозначала одну единицу, а угол из двух лежачих черточек – десять. Эти черточки получались в виде клиньев, потому что вавилоняне писали острой палочкой на сырых глиняных дощечках, которые потом сушили и обжигали. Данная запись была неудобной.

Поместная или позиционная система  записи чисел впервые изобретена в Древнем Вавилоне.

Интересна система счета была у  народов майя. Этот народ жил в  Центральной Америке (где расположено  современное государство Мексика). Майя считали двадцатками, то есть система  счета была двадцатеричная. Числа  от 1 до 20 обозначались точками и  черточками. Если под числом был  нарисован особый значок в виде глаза, это означало, что число надо увеличить  в двадцать раз.

Если глаз был нарисован дважды, то число надо было дважды умножить на двадцать. Изображение глаза играло у майя ту же роль, что у нас цифра нуль. Только они рисовали глаз не рядом с числом, а под ним.

Древние римляне изобрели свой способ обозначения чисел. Они  записывали числа черточками, и времени  для этого требовалось меньше. Это обозначение чисел иногда используется и в настоящее время, например на циферблате часов, для указания веков.

Дошедшие до нас древнейшие цифровые греческие знаки представляют собой черточки и кружки. Так, число 123 записывалось: 0 = 111 Кружок означал 100, горизонтальная черта – 10 и вертикальная палочка – 1. Числа до 10 ( 17-12 века до нашей эры) обозначали набором вертикальных черточек. Затем ( 7- 5 века до нашей эры) в Греции стали употреблять геродиановы знаки – начальные буквы названий чисел: 11 – пять (по- гречески «пенте»), Δ – десять (дека), Н – сто (гектон), Х – тысяча (хилиой), М – 10 тысяч (мириой). Числа до пяти обозначали черточкой . Позже (около пятисотого года до нашей эры) в Греции изобрели алфавитную нумерацию.

Если геродиановы знаки представляли первые буквы названий чисел, то в алфавитной нумерации первые девять букв алфавита с черточкой над буквой обозначали по порядку десять первых цифр (α,β,γ), а буквы, расположенные в алфавите ниже, обозначали полные десятки и сотни. Алфавитная нумерация, но в более совершенном виде, перешла от греков к славянам.

Современные арабские, а  вернее индийские цифры, были изобретены значительно позже. Они ведут  свое начало от цифр, изобретенных в  Индии. Там впервые были введены  не только удобные цифры, но и способ их записи. Индийские ученые сделали  одно из важнейших в математике открытий. Они применили позиционную (от слова  «позиция») систему счисления к десятичной– тот способ записи и чтения чисел, которым теперь пользуется весь мир.

В Европу эти цифры и  система записи чисел завезли  из арабских стран итальянские купцы. Они сразу заметили, что запись чисел таким способом удобна и  экономична по времени. В наше время  общепризнано, что нет ни одного достижения в области математики, равного по своему значению этим изобретениям безвестных древнеиндийских математиков.

Алфавитная нумерация в более совершенном виде перешла от греков к славянам. Следует заметить, что применение букв для обозначения цифр говорит о том, что письменность была изобретена раньше цифр. Эволюцию цифр можно проследить на фрагменте:

На ранних ступенях развития человечества представление о числе  у людей складывалось из счета  различных предметов – плодов, деревьев, животных, изделий и т.д. В то время человек приобрел понятие  натурального числа. Вначале он знакомился с небольшими числами. Расширение запаса чисел шло медленно. Довольно долго  люди знали счет только до двух. Затем  счет постепенно распространился до семи. Это число казалось очень  большим, о чем свидетельствуют  пословицы и поговорки, дошедшие до наших дней: «Семеро одного не ждут», или «Один в полене воин», или «Один с сошкой (с сохой) – семеро с ложкой» и другие.

Затем люди овладели счетом в пределах трех-четырех десятков. В то время у многих народов 40 выглядело как предел счета, оно  служило названием неопределенного  большого числа. С тех пор, например, слово «сороконожка» мы понимаем как многоножка. Выражение «сорок сороков» употребляли, чтобы сказать. Что это число предметов невозможно назвать. Позже таким число у  славян стало «тьма» - десять тысяч, а потом «тьма-тьмущая».

Когда люди научились измерять различные величины – длину, массу, время и т.д., то у них часто  при измерениях получались излишки (остатки), в которых единица меры не укладывалась. Чтобы точно производить  измерения, появилась необходимость  делить, или ломать единицу. Так, возникла потребность в дробях.

Название «ломаное число» существовало в разных странах, но ведет  оно свое название от арабов. В Европе это название распространилось благодаря  работам итальянского математика Фибоначчи.

Первая дробь, которую  ввели раньше других, - это половина. За половиной последовало знакомство с половиной половины, или   1/ 4 , 1 /8 ,1 / 16 , затем 1 /3 , 1/ 6 и т.д. Древние  египтяне умели делать вычисления с  дробями.

В Древнем Вавилоне пользовались дробями: ½, 1/5, ¾, 5/9 и.т.д., но затем перешли  к вычислению только с шестидесятеричными дробями, т.е. с дробями, у которых  знаменатель 60 ׃ 60 ׃60, 60 × 60 × 60. Такие дроби для вавилонян были удобны, так как их система счисления была шестидесятеричная./5/

Однако долгое время математики не считали дроби числами. Их принимали  как особые знаки. Дробь определяли как собрание нескольких равных частей или долей единицы. Только спустя тысячелетия в Греции, а затем  в Индии стали пользоваться дробями, которые мы теперь называем «обыкновенными».

На первых этапах развития математики люди не ощущали надобности введения нуля. Для счета и действий с небольшими числами он не требовался. Самые древние числа шумеров, которые записывались в шестидесятеричной  системе клинообразными знаками, нуля не имели. Например, число 83 они записывали знаками: Y << Y Y Y, где Y – 60, << - 20, Y - 1

Изменив лишь промежуток между  первым клином и десяткой, это число  читали как 3623, так как первый клин перед пустым местом означал 60 × 60, те. 3600.

Такая неопределенность в  записи чисел, особенно больших, вносила  путаницу в расчеты. Это проявилось, прежде всего, при астрономических  вычислениях, которыми вавилоняне успешно  пользовались.

В клинописных записях  вавилонян (приблизительно 5 век до н.э.) обнаружены на месте пустот знаки такого вида: ٤

Такие знаки стали писать, чтобы указать, что в этом числе  пропущен один разряд.

Указанный знак играл роль нуля, но они не додумались ставить  его при необходимости в конце  числа. Потребовалось еще около 10 веков, чтобы окончательно решить, где  и когда необходимо применять  нуль и означает ли оно число или только цифру.

В индийской математике первоначально  тоже нуль отсутствовал. В случае отсутствия, какого либо разряда числа, индийцы  ставили точку. Так, число 5∙1 означало 501. Читая его, произносили «пять, сунья, один». «Сунья» в переводе означало «пусто». В 5-6 вв. вместо точки стали писать кружок, который со временем преобразовался в нуль. Индийцы его стали называть «сунья».

К применению нуля китайцы  пришли значительно позже, хотя известна китайская математическая книга, написанная в 10 веке до нашей эры.

Математики Древней Греции долгое время пользовались буквенной  нумерацией и нуля не применяли. Арабы  позаимствовали в Индии цифры, систему  исчисления и записи чисел. Слово  «нуль» они перевели на свой язык и  вместо «сунья» говорили «сифр».

В 10 -11 веках индийская  система счисления через арабов проникла в Европу, слово «сифр» не перевели, а немного видоизменили, сначала в слово «шифр», а позже в слово «цифра». С тех пор, словом цифра стали называть знаки, обозначающие число единиц, в любом разряде.

Самый древний документ в  Европе, в котором для нуля имеется  свой знак (0), относится к 9 веку. В  одной из книг, написанной на латинском  языке в 13 веке (тогда все научные  работы писали по-латыни), нуль назван «кружок», или цифра, или знак ничего. С тех пор за ним утвердилось  название «фигура нуль», что означало «никакой знак».

Нуль приобретал свой вид, но не было решено – нуль цифра или  число. Если число, то какое: четное или  нечетное?  В результате длительных обсуждений, математики пришли к заключению: нуль – это число, обозначают его  цифрой 0, к натуральному разряду  он не принадлежит. В ряду целых чисел  нуль поместился на границе между  отрицательными и положительными числами.

О времени появления понятия числа у народов Евразии можно судить о сходстве обозначений числительных. Можно видеть сходство между русским “один”, немецким eins, английским one, французским un, латинским unus; тоже касается числительного “два”, zwei, two, deux, duo и “три”, drei, three, throis, tres. Все это говорит, что “названия чисел у предков этих народов появились еще в те далекие времена, когда они говорили на одном языке”.

Стоит отметить, что у большинства народов названия десятков образуется по схеме n · 10, где n - число десятков (например, двадцать, тридцать, пятьдесят и т.д.).

“В этой связи очень интересны исключения во французском языке, где 70 - называется soixante - dix (60+10), 80 - quatre - vingt (4 · 20), 90 - quatre - vingt- dix (4 · 20+10), т.е. начиная с 70 французы считают не десятками, а двадцатками. Более последовательно счет двадцатками проведен в грузинском языке, где 10 - ати, 20 - оци, 30 - оидати (20+10), 40 - ормоци (2 · 20), 50 - ормоцдати (2 · 20+10), 60 - самоци (3· 20) и т.д.”.

Интересно отметить, что в большинстве современных языков “названия числительных основаны на десятичной системе, т.е. на представлении чисел в виде суммы числа единиц (до 10), числа десятков (до 100), числа сотен (до 1000) и т.д. Несомненно, что в основе этой системы лежит счет на пальцах. Именно так полагал Аристотель, к мнению которого уместно добавить еще слова А. Лебега: “Возможно, что если бы люди имели одиннадцать пальцев, была бы принята одиннадцатиричная система счисления”.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математика в  древней Руси

Интерес к грамоте и  математическим знаниям на Руси возник в связи с практическими потребностями  людей в измерениях и расчетах. К сожалению, многие древние славянские рукописи, по которым можно было судить о развитии математических знаний на Руси, погибли во время многочисленных пожаров и войн. Памятников древней  культуры сохранилось немного.

Наши предки славяне, как  и многие другие народы, долгое время  пользовались для сохранения чисел  зарубками на палочках. Один из таких  древнейших памятников представлял  собой кость с 55 зарубками, расположенными по пять в каждом ряду. Ученые определили, что эта кость пролежала в  земле около 5000 лет и на ней, вероятно, записано число трофеев первобытного охотника.

Палочки с зарубками, славяне  называли «бирками», и на Руси ими  пользовались неграмотные люди еще  в начале 20 века. На палочке-бирке  делали надрезы. Число надрезов указывало, например размер долга или количество взятого зерна. Палочку раскалывали  на две части, одну из которых брал должник, а другую хранил как расписку тот, кто давал в долг. При окончательном  расчете обе половинки бирки  складывали. Такой способ записи чисел  существовал и у некоторых  народов, например англичан.

В середине 9 века был создан церковнославянский алфавит, который  в конце 10 века стал довольно быстро распространятся на Руси. Тогда же алфавитом стали пользоваться и для записи чисел, подобно греческой алфавитной нумерации.

В славянской нумерации цифры  обозначали буквами с особым над  ним значком – «титло». Буквы  от а до i в порядке их следования в алфавите обозначали единицы. Называли их в то время «персты», то есть пальцы. Числовое значение буквы определялось ее местом в порядке алфавита, например: Â – 1, Б – 2, B – 3 и.т.д. Буквы от  i до n обозначали десятки, следующие буквы обозначали сотни.