Функция туындысы, оның геометриялық және физикалық мағынасы

Функция туындысы, оның геометриялық және физикалық мағынасы.

«Туынды» термині derivee деген француз сөзінің қазақша сөзбе-сөз аудармасы, оны 1797 ж. Ж. Лагранж (1736 - 1813) енгізген, қазіргі кездегі , белгілеулерін де сол енгізген. 
туындыны қолданып тепе – теңдіктерді, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге, өрнектерді ықшамдауға болады. Тереңдетіп оқытатын сыныптарда оқушылардың жалпы математикадан дайындық деңгейін арттыра түсудегі туындыны алгебрада кеңінен пайдаланудың дидактикалық құндылығының маңызы зор. 
Математиканың көптеген абстрактілі теориялары мен негізгі принциптерінің жаратылыстану ғылымдарының маңызды мәселелерін шешуге қолдану жолдары математиканың бір ірі бөлігі – туынды арқылы жүзеге асады 
Поездің жылдамдығын анықтау үшін оның t = t₁ және t = t₂ уақыт мезетінде жолдың нешінші километрінде болатынын анықтау керек. 
Ол арақашықтықтар S = S₁, S = S₂ болсын. 
Жолдың өсімшесі ΔS = S₂ – S₁ , ал уақыттың өсімшесі Δt = t₂ – t₁ тең болады. 
Дербес ΔS/ Δt қатынасы (t₁, t₂) уақыт аралығындағы поездің орташа жылдамдығын береді.Бірқалыпсыз қозғалыс кезінде орташа жылдамдық t = t₁ уақыт мезетіндегі қозғалыс жылдамдығын жеткіліксіз түрде сипаттайды. Бірақ Δt азайған сайын бұл жылдамдық дәлірек сипатталады. Сондықтан да t = t₁ уақыт мезетіндегі жылдамдық деп Δt→0 ұмтылғандағы ΔS/ Δt қатынасының шегін айтамыз: 
V = lim ΔS/ Δt 
^Δt→0 
y= f(x) (a, b) аралығында анықталған х аргументінің үзіліссіз функциясы болсын және х осы аралыққа тиісті кез келген нүкте болсын. х аргументіне Δх өсімшесін берейік. y= f(x) функциясы Δу өсімше алады: 
Δу = f(x + Δx) – f(x). 
lim Δу/ Δx = lim [f(x + Δx) – f(x)]/ Δx -қатынасы  
^{Δx→0 Δx→0}  
f(x) функциясының туындысы деп аталып f′(x) немесе y′ деп белгілейміз.  
I – ші туындының физикалық мағынасы: y=f(x) х уақыты бойынша өзгеретін функциясы үшін у′ туындысы х уақыт мезетіндегі у функциясының өзгеру жылдамдығы деп аталады. 
I – ші туындының геометриялық мағынасы: y=f(x) функциясы үшін оның әр бір х-тің мәні үшін y′ = f′(x) туындысы сәйкес нүктедегі функция графигіне жүргізілген жанаманың бұрыштық коэффициентіне тең болады. 
Күрделі функцияның туындылары. 
Теорема. Егер y=f(z) және z=φ(x) – дифференциалданатын функциялар болса, онда y = f[φ(x)] күрделі функциясының туындысы бар болады және мынаған тең: 
y′_x = y′_z • z′_x   немесе   (f [φ(x)])′ = f ′[φ(x)] • φ ′(x) .  
Функция диференциалы түсінігі. 
Анықтама. y = f(x) функциясының диференциалы деп функция туындысы мен оның тәуелсіз айнымалысының өсімшесіне көбейтіндісіне тең: 
dy = f ′ (x) • Δx . ( * ) 
Дербес жағдайда, f(x) = x, бұдан dx = 1• Δx, dx = Δx  яғни, тәуелсіз айнымалының диференциалы осы айнымалының өсімшесіне тең болады. (*) формуласын төмендегідей жазуға болады: 
dy = f ′ (x) • dx => f ′ (x) = dy / dx 
Функция диференциалының физикалық мағынасы. 
S = f(t) – түзу сызықты қозғалып келе жатқан нүктенің бастапқы күйден ара қашықтығы (t – жол жүру уақыты). 
ΔS өсімшесі бұл нүктенің Δt уқыт аралығыда жүріп өткен жолы, ал ds=f ′(x) • ∆t диференциалы бұл f ′(t) жылдамдығын сақтағандағы ∆t аралығында жүріп өткен жолы. ∆t-ның жеткілікті аз шамасында dS жолы ∆S жолынан ерекшеленбейді. 
Егер t уақыт мезетінде жылдамдық нолге тең болмаса, онда dS нүктенің аз ғана ығысуының жуық шамасын береді.  
Анықтама. f(x) функциясының II ретті дифереециалы деп I ретті диференциалдың диференциалын айтамыз: 
d² f(x) = d[df(x)]         III, IV, V ... ретті диференциалдар тура осылай анықталады.  
Теорема. Берілген функцияның II ретті диференциалы II ретті туынды мен тәуелсіз диференциалының квадратына көбейтіндісіне тең болады:d² f(x) = f″(x) dx² , где dx² = (dx)²