Контрольная работа по логистике

L₁ = 50х₁+40х₂+60х₃ ® max

 

Р1 Материалы                  3х₁+7х₂+3х₃ ≤ 900;

Р2 Трудовые ресурсы     7х₁+3х₂+7х₃ ≤ 2000;

Р3 Оборудование             1х₁+5х₂+6х₃ ≤ 2200;

                                             х₁;х₂;х₃ ≥ 0

Введем дополнительные переменные х₄, х₅, х₆ и перейдем к каноническому виду:

L₁ = 50х₁+40х₂+60х₃+х₄+х₅+х₆ ® max

    3х₁+7х₂+3х₃+х₄ = 900;

    7х₁+3х₂+7х₃+ х₅ = 2000;

    1х₁+5х₂+6х₃+х₆ = 2200;

    х₁;х₂;х₃;х₄;х₅;х₆ ≥ 0

 

х₄- остаток материальных ресурсов;

х₅- остаток трудовых ресурсов;

х₆- остаток использования оборудования.

Для нахождения оптимального решения  используем симплекс - метод (таблица 5).

Первое опорное решение:

х₁, х₂, х₃=0; х₄= 900, х₅= 2000, х₆= 2200.

Экономический смысл: предприятие  ничего не выпускает, все исходные ресурсы  находятся на складе.

Таблица 5 – Нахождение оптимального решения задачи

СБ	Б	в	50	40	60	0	0	0	Расчеты
			Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6
0	Х4	900	3	7	3	1	0	0	900/3 = 300
0	Х5	2000	7	3	7	0	1	0	2000/7 = 285
0	Х6	2200	1	5	6	0	0	1	2200/6=366
		0	-50	-40	-60	0	0	0	0
0	Х4	45	0	5,71	0	1	-0,43	0	7,88
60	Х3	285	1	0,43	1	0	0,14	0	665,00
0	Х6	490	-5	2,43	0	0	-11,71	1	201,76
		17100	10	-14,29	0	0	8,57	0	0
40	Х2	7,88	0	1	0	0,18	-0,08	0
60	Х3	282	1	0	1	-0,075	0,175	0
0	Х6	471	-5	0	0	-0,425	-11,525	1
		17 235	10	0	0	2,5	7,5	0
			Y4	Y5	Y6	Y1	Y2	Y3

 

В последней симплекс- таблице  все k>0, значит данное решение является оптимальным. Ответ математической модели следующий:

х₁= 0; х₂= 7,88; х₃= 282; Х₄= 0; Х₅= 0; Х₆= 471

Экономический смысл решения такой:

- Изделие П₁ предприятие не выпускает (х₁= 0), изделие П₂ и П₃ выпускается в количестве 7,88 и 282 шт.

- х₄= 0 – остатка материальных ресурсов нет, поэтому этот ресурс является дефицитным;

- х₅= 0, поэтому этот ресурс является дефицитным;

- х₆= 471 ст.-час.- остаток третьего ресурса, т.е. оборудование не используется полностью.

При данной производственной программе предприятие получит  следующую выручку от реализации своей продукции:

Выручка = 50*0 + 40*7,88 + 60*282 = 17 235 д.е.

 

Исходя из теории двойственности, мы знаем, что если задача линейного  программирования (ЗЛП) имеет оптимальное решение, то и двойственная задача имеет оптимальное решение, где значения целевых функций в этих решениях совпадают.

Основные переменные двойственной задачи характеризуют оценки ресурсов, т.е. экономический смысл теории двойственности следующий: «Какие минимальные цены необходимо назначить на дефицитные ресурсы, чтобы стоимость их была не меньше, чем выручка от реализации продукции предприятия».

Двойственная  задача:

Т(у) = 900у₁+2000у₂+2200у₃®min

    3у₁+7у₂+у₃ ≥ 50;

    7у₁+3у₂+5у₃ ≥ 40;

    3у₁+7у₂+6у₃ ≥ 60;

   

Приведем к каноническому виду:

Т*(у) = 900у₁+2000у₂+2200у₃+0у₄+0у₅+0у₆®min

    3у₁+7у₂+у₃-у₄= 50;

    7у₁+3у₂+5у₃-у₅= 40;

    3у₁+7у₂+6у₃ -у₆ = 60;

   

В таблице 5 находится решение двойственной задачи:

y₁= 2,5; y₂= 7,5; y₃= 0; y₄= 10; y₅= 0; y₆= 0.

Значение целевой функции равно:

Т* = 900*2,5+2000*7,5+2200*0 = 17 250

 

3. Внутрипроизводственная логистическая система должна гибко реагировать на изменение входящих потоков и цен за единицу выпускаемой продукции, при котором можно использовать полученные оптимальные решения данной задачи.

А) Изменение входящих ресурсных  потоков:

 В₁- изменение запаса материалов;

 В₂- изменение количества трудовых ресурсов;

 В₃- изменение времени использования оборудования;

   Х₄                                     900

   Х₅      = А_Б^-1*В;        В=    2000

   Х₆                                     2200

Новое значение переменных, вошедших в оптимальное решение задачи в базис х₃^*, х₅^*, х₆^*, можно найти в результате перемножения матриц:

           0,18      -0,08       0                          900+В₁

А_Б^-1=  -0,08      0,18       0              и В^*=  2000+В₂

          -0,43     -0,68      1                           2200+В₃

 

          х*₂ = 0,18(900+В₁)-0,08(2000+В₂) ≥0

   х*₃ = -0,08(900+В₁)+0,18(2000+В₂) ≥0

   х*₆ = -0,43(900+В₁) -0,68(2000+В₂)+2200+В₃ ≥0

   х*₂ = 162+0,18В₁- 160-0,08В₂≥0

   х*₃ = -72-0,08В₁+360+0,18В₂ ≥0                            

   х*₆ = -387-0,43В₁ –1360-0,68В₂+2000+В₃ ≥0

 

   х*₂ = 2+0,18В₁-0,08В₂≥0

   х*₃ = 288-0,08В₁+0,18В₂ ≥0                             (1)

   х*₆ = 253-0,43В₁ –0,68В₂+В₃ ≥0

Теперь решим систему уравнений (1) при условии, что:

, т.е. изменяется количество  материалов.

   2+0,18В₁≥0

   288-0,08В₁≥0

   253-0,43В₁ ≥0

  В₁≥ -11,11

   В₁≤ 3600

   В₁ ≤588,37

 

 

 

-11,1<В₁<588,37, запас дефицитного ресурса R₁ изменяется в данном интервале. Если этот запас будет изменяться в этом интервале, то и ассортимент выпускаемой продукции, и выручка от реализации тоже будут меняться.

 

, т.е. изменяется количество  трудовых ресурсов.

   2-0,08В₂≥0

   288+0,18В₂ ≥0                            

   253–0,68В₂ ≥0

  В₂ ≤ 25

   В₂ ≥ -1600                          

   В₂ ≤ 372

 

-1600<В₂<25, запас дефицитного ресурса R₂ изменяется в данном интервале. Если этот запас будет изменяться в этом интервале, то и ассортимент выпускаемой продукции, и выручка от реализации тоже будут меняться.

 

Допустим, , т.е. изменяется время использования оборудования.

253+В₃ ≥0

В₃ ≥ -253

 

Если запас недефицитного ресурса R₃ будет снижаться не больше, чем на 253 станко/часа, то в оптимальном плане изменяется только неиспользованный остаток третьего ресурса.

 

Задача 3

Необходимо максимально уменьшить стоимость управления товарами, в предположении, что первоначально расходы на управление распределялись между всеми объектами равномерно, вне зависимости от вклада объекта в конечный результат, при этом стоимость управления одним объектом составила 5 условных единиц.

Таблица 7 – Оценка вклада в общий результат двадцати наименований товара

№товара	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Вклад объекта	40	500	60	4600	130	140	40	130	1100	600
№товара	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
Вклад объекта	10	80	2000	600	70	70	70	30	500	30

 

Общий вклад всех объектов составляет 10 760 ед.

Таблица 8 – Нарастающий вклад объекта в общий результат

№ товара	Вклад объекта, ед.	Вклад объекта, %	Нарастающий вклад, %	Группы товаров
4	4600	42,6	42,6	Группа А
13	2000	18,5	61,1
9	1100	10,2	71,3
10	600	5,6	76,9	Группа В
14	600	5,6	82,4
2	500	4,6	87,0
19	500	4,6	91,7
6	140	1,3	93,0
5	130	1,2	94,2
8	130	1,2	95,4	Группа С
12	80	0,7	96,1
15	70	0,6	96,8
16	70	0,6	97,4
17	70	0,6	98,1
3	60	0,6	98,6
1	40	0,4	99,0
7	40	0,4	99,4
18	30	0,3	99,6
20	30	0,3	99,9
11	10	0,1	100,0

 

В группу А «входит» около 75% от общего вклада всех объектов; в группу В- 20%, в группу С- 5%.

Первоначальные  расходы на управление товарами равны:

20 объектов*5у.е.= 100 у.е.

Затраты на управление товарами по группам (группа А- 10у.е., группа В- 5у.е., группа С- 2,5 у.е.) равны:

3*10+ 6*5+ 11*2,5= 30+30+27,5= 87,5 у.е.

Разница между  затратами: 100- 87,5= 12,5 у.е.

 

Ответ: стоимость управления товарами уменьшилась на 12,5 у.е.

 

Задача 4

Определить  оптимальный размер заказа графическим  и аналитическим методами.

«Для этого  необходимо минимизировать функцию, представляющую сумму транспортно-заготовительных расходов и расходов на хранение от размера заказа, т.е. определить условия, при которых:  С общ. = (С хран. + трансп.) è min.  Где,

С общ. — общие затраты на транспортировку и хранение запаса;

С трансп. — транспортно — заготовительные расходы;

С хран. — затраты на хранение запаса;

Остальные обозначения:

Q величина оборота  за определенный период времени Т;

S – размер  одной заказываемой и доставляемой партии ;

М – тариф  за хранение запаса, измеряется долей, которую составляют издержки по хранению за период Т (%);

К — транспортно — заготовительные расходы, связанные с размещением и доставкой одного заказа (тыс.д.е./заказ);

Рз — средний расход товара в расчете на единицу продолжительности заказа;

Т — период;

Зр — размер резервного (гарантийного) запаса.

 

Дано:

Q= 900 ед. – величина оборота за определенный период времени Т;

S= 60 ед. – размер одной заказываемой и доставляемой партии;

Т= 1 – период;

К= 0,3 тыс.ден.ед/заказ – транспортно-заготовительные расходы, связанные с размещением и доставкой одного заказа;

М= 15 – тариф за хранение запаса, измеряется долей, которую составляют издержки по хранению за период Т;

Решение:

1. С_хран находим по формуле 1:

                         (1)

С_трансп находим по формуле 2:

                         (2)

С_общ вычисляем по формуле 3:

             (3)

S_опт можно найти с помощью формулы 4:

                                          (4)

 

Найдем S_опт аналитическим способом (формула 4):

       60 ед.

       = 9 тыс. ден. ед.

 

Найдем S_опт графическим способом.

Чтобы найти S_опт необходимо построить график С_общ, который является суммой графиков С_трансп и С_хран.

 

Таблица 9 – Зависимость С_общ от S_опт

Sопт	10	20	25	50	60	70
Странсп	27	13,5	10,8	5,4	4,5	3,86
Схран	0,75	1,5	1,88	3,75	4,50	5,25
Собщ	27,75	15	12,68	9,15	9,00	9,11