Космос в понятии древних греков

Разумеется, приведенное  рассуждение справедливо только в случае квантованности пространства и времени и совершенно не состоятельно, если этой квантованности не существует. Выходит, что попытка разрешить  апорию "Стрела" с помощью теории квантованного пространства-времени  приводит к новой неразрешимой ситуации, т.е. к новой апории.

Но предположим, что пространство бесконечно делимо, а время квантованно. Пытаясь решить апорию "Стрела", мы можем использовать и такой  подход. Тогда траекторию движущейся точки можно разбить на отрезки, соответствующие отдельным квантам  времени. В каждый момент (квант) времени  точка находится на соответствующем  отрезке и движется со скоростью, равной отношению длины этого  элементарного отрезка к единице (кванту) времени. Разбивать элементарные отрезки на более мелкие в этом случае бессмысленно и невозможно. Бессмысленно потому, что нельзя сказать, какую из частей элементарного отрезка точка проходит раньше, а какую позже, т.к. внутри кванта времени нет ни "раньше", ни "позже". Невозможно же потому, что на переход из одной части пространства в другую требуется некоторое время, а внутри элементарного отрезка время неделимо. Казалось бы, такой подход позволяет мыслить движение примерно так же, как и в случае квантованного пространства- времени, с той лишь разницей, что пространство не "само" (в силу своей квантованности) разбито на ячейки, а разбивается нами в соответствии с указанной процедурой. В этом случае аргументы "Стадия" будут бить мимо цели.

Однако здесь Зенон  приготовил нам новые трудности - апории "Дихотомия" и "Ахиллес".

Апория "Дихотомия" ("Деление пополам")

Движущееся тело, прежде чем пройти весь путь, должно пройти его половину, а еще ранее оно  должно пройти половину от этой половины, т.е. четверть всего пути, а перед  этим - половину четверти, т.е. восьмую  часть целого, и так далее до бесконечности, ведь пространство непрерывно. Если на прохождение каждой "половины" (а их бесконечно много) потребуется  хотя бы один квант времени (который  конечен, а не бесконечно мал), то общее  время прохождения отрезка любой  наперед заданной длины равно  бесконечности. И мы опять попадаем в безвыходное положение. Апория, одним словом!

Апория "Ахиллес"

Эта апория (иногда ее называют "Ахиллес и черепаха") объединяет в себе трудности, встречающиеся  в других апориях. Она говорит  о том, что быстрое (Ахиллес) теоретически не может догнать медленное (черепаху), хотя на практике бегущий человек  с легкостью догоняет и обгоняет ползущую черепаху. В самом деле, преследующему необходимо сначала  достичь места, откуда уже двинулось  убегающее, так что медленное всегда имеет некоторое преимущество.

а) Пусть пространство и  время делимы до бесконечности.

Для проведения рассуждения  в чистом виде рассмотрим прямую линию, на которой отметим две точки А (Ахиллес) и Ч (черепаха). Пусть между ними окажется расстояние l. Теперь представим, что эти точки одновременно начали двигаться в одну сторону, но с разными скоростями, причем vА > vЧ . Казалось бы, не должно возникать никаких проблем при определении времени, через которое Ахиллес догонит черепаху; оно равно l / (vА - vЧ). На практике так и получается. Но в теории появляется существенная трудность, если вдуматься в понятие скорости. Что это такое? Греки считали, что скорость есть отношение пути ко времени его прохождения. Путь всегда связывает две отстоящие друг от друга точки. Следует ли отсюда, что скорость - это понятие, относящееся к двум точкам пространства? Если да, то как ответить на вопрос, движется ли точка (обладает ли она скоростью) в каждый момент своего движения, в каждой точке своей траектории. Если движется, то что это означает? Как определить скорость в точке? Можно, конечно, брать все более малые интервалы времени, которым будут соответствовать все более малые участки пути, и, деля второе на первое, получать некоторые значения скорости. Но с точки зрения логики две разные точки, сколь ни было бы мало расстояние между ними, всегда будут разными точками. Поэтому так определяемое понятие скорости относится к двум разным точкам, и мы не можем понять, как точка может двигаться там, где она находится. Т.е. мы опять вернулись к трудности, зафиксированной в апории "Стрела".

Кроме этого, т.к. число шагов  в принципе бесконечно, то логически  мы решаем все время одну и ту же задачу (черепаха чуть впереди, а  Ахиллес ее догоняет) и нисколько  не продвигаемся вперед. Получается, так  сказать, логическая "зацикленность".

б) Пусть пространство и  время не делимы до бесконечности.

В этом случае нельзя говорить о безразмерных точках. И Ахиллес, и черепаха должны быть представлены по крайней мере в виде отрезков. Итак, пусть вдоль прямой движутся в одну сторону два отрезка с разными скоростями и пусть наиболее быстрый из них сначала отстает. Тогда при обгоне быстрым отрезком медленного возникает ситуация, аналогичная апории "Стадий": можно вообразить неподвижный отрезок, расположенный вдоль рассматриваемой прямой, и показать, что часть рана целому.

в) Пусть пространство непрерывно, а время квантованно.

Тогда быстрой точке, догоняющей медленную, нужно сначала достичь той точки, где была медленная, но за это время медленная точка уже уйдет немного вперед и так далее до бесконечности. Таким образом, ту длину, на которой бытрое догоняет медленное, можно с помощью указанной процедуры разбить на бесконечное количество частей, и если на перемещение из одной части в соседнюю требуется хотя бы один квант времени, то общее время становится бесконечным.

г) Пусть пространство квантованно, а время непренрывно.

Увы, и в этом случае нас  ожидает неудача. В каждый момент времени движущаяся "точка" (которая  уже не может быть меньше атома  пространства) будет занимать определенный атомарный пространственный участок. Для того, чтобы въехать в соседнюю ячейку, необходимо некоторое время (иначе "точка" мгновенно переместится из одного места в другое, что невозможно). Но если при этом время непрерывно, то "точка" не может въехать в соседнюю ячейку. В самом деле, если на этот переход требуется время, то возникает вопрос, на который мы не можем ответить: где находится "точка", когда она уже вышла из одной ячейки, но еще не пришла в соседнюю? Ведь "точка" не может въехать в соседнюю ячейку по частям (пространство-то квантованно). Следовательно она вообще не сможет сдвинуться с места. Это относится, разумеется, не только к Ахиллесу, но и к черепахе (и вообще к любому телу).

"Все есть число"

Элеаты не были самыми первыми  философами Великой Эллады (так называли греки колонизированную ими часть  Италии). Пифагорейцы появились раньше элеатов. Последователи Пифагора, выходца  с ионийского острова Самоса и  младшего современника Фалеса, выработали оригинальный взгляд на мир и жили в соответствии с ним. Они создали  в южноиталийском городе Кротоне  религиозно-философское "братство" - пифагорейский союз, в который  принимали мужчин и женщин. Первые женщины-философы были пифагорейками. Наибольшую известность среди них  получила жена Пифагора Теано (по другим свидетельствам она была женой пифагорейца  Бротина). Сохранился фрагмент из ее сочинения "О благочестии": "И многие эллины, как мне известно, думают, будто Пифагор говорил, что все  рождается из числа. Но это учение вызывает недоумение: каким образом то, что даже не существует, мыслится порождающим? Между тем он говорил, что все возникает не из числа, а согласно числу, т.к. в числе - первый порядок, по причастности которому и в счислимых вещах устанавливается первое, второе и так далее".

Пифагор хотел быть не только мудрецом, но и пророком, а может  быть, и полубогом. О нем рассказывали чудеса. Его душа жила сначала в  сыне Гермеса, потом переселилась в  троянца, которого ранил Менелай, затем  она жила в теле милетца, узнавшего  полусгнивший шит Менелая на стене  храма Аполлона, и наконец стала  Пифагором. Он гладил белого орла, разговаривал с рекой Сирис, одновременно находился  в двух городах, между которыми была неделя пути. У него было золотое  бедро.

Элеаты недолюбливали  Пифагора. Они, видимо, питали глубокое неприятие к его мистике, понимая, что Греции необходима другая философия - ясная и логичная, чуждая всякой таинственности. Элеец Ксенофан, завзятый острослов, сочинил пародию на Пифагора, учившего о переселении душ.  
 
Как-то в пути увидав, что кто-то щенка обижает,  
Он, пожалевши щенка, молвил такие слова:  
"Полно бить, перестань! живет в нем душа дорогого  
Друга: по вою щенка я ее разом признал". 

Есть современный вариант  этой пародии.  
 
Ворона серотелая  
Летает неспеша -  
Твоя осиротелая  
В ней каркает душа. 

Рассказывают, как Пифагор  шел мимо кузницы и, услышав разные звуки от ударов молотов разного  веса, решил, что звук можно измерить числом, а именно весом молота. Вспоминают и про знаменитый монохорд Пифагора, представляющий собой струну, натянутую  на доске. Звучание струны зависит от ее длины, которую можно выразить числом. Так, музыкальный интервал октава соответствует звучанию двух одинаково  натянутых струн, длины которых  относятся как 1:2. Для квинты и  кварты отношения длин другие - 2:3 и 3:4. Пифагор использовал эти факты  для подтверждения мысли о  том, что число есть мерило, которому подчиняется всё.

Даже совершенство и дружбу можно выразить числами. "Совершенным" называлось такое число, для которого сумма всех его делителей, кроме  самого числа, равна этому числу. Например, число 6 совершенное, т.к. его  делители 1, 2 и 3 в суме составляют 6. Число 28 - также совершенное. "Дружественными" назывались числа, обладающие тем свойством, что сумма делителей каждого  из них равна другому. Говорят, Пифагор  на вопрос "что такое друг?" ответил: "Тот, кто является другим я, вот как числа 220 и 284". В самом  деле, сумма делителей числа 220 равна 284 (1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110 = 284), а сумма делителей  числа 284 равна 220 (1+2+4+71+142 = 220).

Пифагор не отталкивался от частных фактов (звучания молотов  и струн, например), для того чтобы  обобщить их на всю природу, как это  делали ученые более поздних эпох. Ход мысли Пифагора был обратным: сначала он понял, что всё есть число, а уж потом эта общая  идея помогла ему разглядеть конкретные факты, подтверждающие ее.

Сохранившихся сведений об учении Пифагора недостаточно для того, чтобы с уверенностью сказать, каким  образом пифагорейцы отстаивали свой знаменитый тезис о числе  как первоначале мира. Попробуем  все-таки восполнить этот пробел, исходя из общей направленности ранней греческой  философии на логическое осмысление идеи единства мира, которую вперемешку с мистикой разрабатывали и первые пифагорейцы.

Материя, о которой говорили милетцы, бесформенна (аморфна), совершенно неопределенна. Как же тогда чувственно воспринимаемые вещи, в основе которых  лежит неопределенная материя, обладают вполне определенными свойствами? Между  неопределенным и определенным пролегает пропасть. Перескок от одного к другому равнозначен чуду. Под угрозой оказывается утверждение о единой природе всех вещей. Для его спасения необходимо найти такую основу всего существующего, которая, подобно мосту, соединяла бы края этой пропасти (между "пределом" и "беспредельным", как говорили пифагорейцы). Такой мост Пифагор навел с помощью понятия числа.

Число вообще (не "два", не "сто", а число как таковое) заключает в себе единство предела  и беспредельного. В самом деле, каждое конкретное число ограничено, но не существует самого большого числа. Следовательно, понятие числа содержит в себе понятия и ограниченного (предела), и неограниченного (беспредельного). Таким образом, первоначало всех вещей можно мыслить с помощью  понятия числа. Все есть число, но не в том смысле, что числа порождают  вещи (Теано права, указывая на невозможность  этого), а в том, что единство вещей  заключено в числах. Изучая числа, можно понять мир как единое и, что немаловажно, гармоничное целое  вот вывод пифагорейской натурфилософии.

Теперь становится понятен  стимул, побуждавший Пифагора и его  последователей отделить математику от интересов торговли и измерения  земли. Они занимались изучением  математических объектов, потому что  каждый из них - символ, несущий в  себе тайный смысл определенной грани  мира, а все эти грани, сведенные  воедино, похожи на прекрасный алмаз.

Пифагорейцы по праву считаются  создателями математики как теоретической  науки. Для них она была еще  и ориентиром в жизни, философией. По некоторым свидетельствам, Пифагор  первым назвал себя философом, т.е. любителем  мудрости, а не мудрецом. Он утверждал, что мудростью обладает только бог, человеку же дано лишь стремление к  мудрости. "Я не учу мудрости, я  исцеляю от невежества, " - говорил  Пифагор.

Он первым назвал Вселенную  Космосом, подчеркивая ее упорядоченность, соразмерность, гармоничность, пропорциональность, красоту. Такая характеристика Вселенной  естественно вытекает из усмотрения единства мира в числе как основы гармонии. В красоте математики скрыта структура Космоса. Земля имеет  форму шара, потому что шар наиболее соразмерен из всех тел. Расстояния до небесных светил не могут быть произвольными, они должны соответствовать гармоническому аккорду. Эта "музыка небесных сфер" может быть выражена математически. Кто сумеет это сделать, тот ее услышит. Пифагор сумел.

Он, размышляя о единстве мира, открывает новый подход: логика дополняется чувством гармонии, рассудочное  восприятие мира - эстетическим. Многие современные физики полагают, что  красивая математика - это и есть физика (некрасивые самолеты плохо  летают, вторят им инженеры). В этом смысле можно сказать, что пифагорейцы  были первыми физиками-теоретиками. Ведь они смотрели на мир глазами  красивой математики.

Когда мы говорим в наши дни, повторяя за Галилеем, что книга  природы написана на языке математики, в этих словах звучит отголосок мысли  Пифагора. Правда, Галилей не пытался  выразить числом дружбу, справедливость, женское, мужское, брак и т.д. Для него источником вечных ценностей была Библия, а не числовая эквилибристика, которую так любили в пифагорейском союзе.