Мохандас Карамчанд Ганди

 

1. Если состояние термодинамической системы не меняется с течением времени при одинаковой температуре во всех ее частях, то говорят, что система находится в равновесном состоянии.

 

2. Изменение состояния системы, связанное с изменением ее параметров, называется процессом, который является последовательностью однообразных или различных состояний системы, описываемых определенной функцией.

 

Энтропия является одним из показателей описания функции состояния системы.

 

Энтропия есть такая функция состояния системы, дифференциал которой связан с элементарным тепловым эффектом в обратном процессе.

 

Данное определение энтропии является строго научным и довольно сложно в математическом объяснении. Поэтому существует необходимость в более понятной трактовке сущности энтропии, порядка, беспорядка и хаоса. Также необходимо отметить, что все законы можно распространить не только на термодинамическую, но и на любую другую систему веществ или материальных объектов.

 

Закон природы говорит: все естественные процессы происходят так, что вероятность состояния возрастает. Другими словами, тот же закон природы формулируется как закон возрастания энтропии. Закон возрастания энтропии важнейший закон природы, предопределяющий направление процессов. Из него вытекает, в частности, и невозможность построения вечного двигателя второго рода, или, что тоже самое, утверждение, что предоставленные сами себе тела стремятся к равновесию. Закон возрастания энтропии является тем же вторым началом термодинамики, другая только формулировка, но содержание то же. А самое главное в том, что мы дали второму закону термодинамики трактовку на языке молекул. В некотором смысле объединение этих двух законов под одну шапку не вполне удачно. Закон сохранения энергии закон абсолютный. Что же касается закона возрастания энтропии, то, как следует из сказанного выше, он применим лишь к достаточно большому собранию частиц, а для отдельных молекул его просто невозможно сформулировать.

 

Вопросы, связанные с энтропией в сложных системах и закон стремления таких систем к состоянию равновесия, дают возможность объективно воспринимать протекающие в природе процессы и определять возможности вмешательства в эти процессы.

 

1.2 Теория порядка и хаоса

 

 

В этой главе от замкнутых систем приходим к рассмотрению систем открытых, которые обмениваются с окружающей средой веществом и энергией. Исследование открытых систем возможно на основе термодинамики необратимых процессов: в них энтропия может возникать и переноситься. С молекулярно-кинетической точки зрения в изолированных системах положению равновесия отвечает состояние максимального хаоса. На пути сложной системы к равновесию, которая характеризуется максимумом энтропии, могут возникнуть обстоятельства, не позволяющие его достичь. В качестве таковых выступают граничные условия, которые могут быть постоянными или меняться. Если они постоянны, например, поддерживают определенную разность температур на границах, то переменные состояния стремятся асимптотически к независимым от времени величинам, достигая квазистационарного или стационарного состояния. Стационарные состояния в открытых системах австрийский (впоследствии канадский) биолог-теоретик Людвиг фон Берталанфи (1901 - 1972) назвал текущим равновесием. Процессам, нарушающим равновесия, в системе противостоит внутренняя релаксация. В случае разреженных газов это процессы столкновений. Если возмущающие процессы менее интенсивны, чем релаксационные, то говорят о локальном равновесии, т. е. оно существует в малом объеме. При этом вовсе не обязательно, чтобы в других частях системы состояние было близко к равновесию. Например, газ находится между плоскостями, нагретыми до 100°С. Процесс теплопроводности крайне медленный, газ находится в неравновесном состоянии, а где-то в системе будет малая область, находящаяся в локальном равновесии. Эта идея была высказана Пригожиным и позволила описывать в этой области состояния равновесными параметрами, например, температурой.

 

Для небольших значений градиентов и линейных зависимостей между потоками и термодинамическими силами Пригожиным в 1947 году была сформулирована теорема о минимуме производства энтропии в стационарном состоянии. Если граничные условия не позволяют системе прийти в устойчивое равновесие, где внутреннее производство энтропии равно нулю, она придет в состояние с минимальным производством энтропии. Устойчивость стационарных состояний с минимальным производством энтропии связана с принципом, сформулированным в 1884 году Ле Шателье и обобщенным в 1887 году с точки зрения термодинамики немецким физиком Карлом Брауном (1850 - 1918). Ле Шателье писал: «Если в системе, находящейся в равновесии, изменить один из факторов равновесия, например, увеличить давление, то произойдет реакция, сопровождающаяся уменьшением объема, и наоборот. Если же такие реакции происходят без изменения объема, изменение внешнего давления не будет влиять на равновесие». Принцип Ле Шателье-Брауна в современном изложении означает, что система, выведенная внешним воздействием из состояния с минимальным производством энтропии, стимулирует развитие процессов, направленных на ослабление внешнего воздействия.

 

Принцип локального равновесия и теорема о минимуме производства энтропии в стационарных состояниях были положены в основу современной термодинамики необратимых процессов, а их автор Пригожин стал лауреатом Нобелевской премии по химии за 1977 год. Внутреннее производство энтропии за единицу времени в единице объема в открытых системах названо Пригожиным функцией диссипации, а системы, в которых функция диссипации отлична от нуля, названы диссипативными. В таких системах энергия упорядоченного движения переходит в энергию неупорядоченного движения и, в конечном счете, в тепло. Практически все системы являются такими, поскольку трение и прочие силы сопротивления приводят к диссипации энергии.

 

Суммарное уменьшение энтропии за счет обмена потоками с внешней средой, при определенных условиях, может превысить ее внутреннее производство. Появляется неустойчивость неупорядоченного однородного состояния, возникают и могут возрасти до макроскопического уровня крупномасштабные флуктуации. При этом из хаоса могут возникнуть структуры, которые начнут последовательно переходить во все более упорядоченные. Образование этих структур происходит не из-за внешнего воздействия, а за счет внутренней перестройки системы, поэтому это явление получило название самоорганизации. Пригожин назвал упорядоченные образования, возникающие в диссипативных системах в ходе неравновесных необратимых процессов, диссипативными структурами. Поскольку «диссипация» происходит от латинского слова dissipatio «разгонять, рассеивать», то говорят, что эти структуры летучие и возникают при рассеянии свободной энергии. В открытых системах можно менять потоки энергии и вещества и тем самым регулировать образование диссипативных структур. Для описания процессов самоорганизации уже нельзя пользоваться представлениями линейной термодинамики необратимых процессов. Процессы самоорганизации описываются нелинейными уравнениями для макроскопических функций. Оказалось, что под действием крупномасштабных флуктуаций возникают коллективные формы движения, называемые модами, между которыми возникает конкуренция, происходит отбор наиболее устойчивых из них, что и приводит к спонтанному возникновению макроскопических структур.

 

Известный немецкий физик из Штутгарта Герман Хакен (1927 г.) подчеркивал роль коллективного поведения подсистем, образующих систему, и потому ввел для процессов самоорганизации обобщающее название «синергетика» (греческое synergetike «сотрудничество, совместное действие»). Самоорганизация, по определению Хакена, «спонтанное образование высокоупорядоченных структур из зародышей или даже из хаоса», спонтанный переход от неупорядоченного состояния к упорядоченному за счет совместного, кооперативного (синхронного) действия многих подсистем. Хаотическое состояние содержит в себе неопределенность, вероятность и случайность, которые описываются при помощи понятий информации и энтропии. После изучения «случайности» Хакен переходит к рассмотрению «необходимости» и получает детерминированные уравнения движения. При этом самым главным оказывается выбор равновесных мод и исследование их устойчивости. Случайное событие вызывает неустойчивость, а неустойчивость служит толчком для возникновения новых конфигураций (мод). Зародышем самоорганизации служит «вероятность»; упорядоченность возникает через флуктуации, устойчивость через неустойчивость. В предисловии к своей книге «Синергетика» Хакен пишет: «Я назвал новую дисциплину «синергетикой» не только потому, что в ней исследуется совместное действие многих элементов систем, но и потому, что для нахождения общих принципов, управляющих самоорганизацией, необходимо кооперирование многих различных дисциплин».

 

Классическим примером возникновения структуры является конвективная ячейка Бенара. В 1900 году появилась статья Х. Бенара с фотографией возникшей структуры, которая напоминала пчелиные соты. Он наблюдал ее в ртути, налитой в широкий плоский сосуд, подогреваемый снизу (сковорода на плите). Слой ртути (или другой вязкой жидкости) после того, как градиент температуры достиг некоего критического значения, распадался на одинаковые шестигранные призмы с определенным соотношением между стороной и высотой. В центральной части такой призмы жидкость поднималась вверх, а по граням опускалась. По поверхности жидкость растекалась от центра к краям, а в придонном слое к центру. Начиная с критического значения разницы температур, возникли устойчивые структуры, названные ячейками Бенара.

 

Другие примеры самоорганизующихся систем: переход к турбулентности в течении газа или жидкости, химические реакции типа Белоусова-Жаботинского, переход лазера в режим генерации.

 

Эволюцию динамических систем во времени удобно анализировать с помощью фазового пространства абстрактного пространства с числом измерений, равным числу переменных, характеризующих состояние системы. Примером может служить пространство, имеющее в качестве своих координат координаты и скорости всех частиц системы. Для линейного гармонического осциллятора (одна степень свободы) размерность фазового пространства равна двум (координата и скорость колеблющейся частицы). Такое фазовое пространство есть плоскость, эволюция системы соответствует непрерывному изменению координаты и скорости, и точка, изображающая состояние системы, движется по фазовой траектории. Фазовые траектории такого маятника (линейного гармонического осциллятора), который колеблется без затухания, представляют собой эллипсы.

 

В случае затухания фазовые траектории при любых начальных значениях оканчиваются в одной точке, которая соответствует покою в положении равновесия. Эта точка, или аттрактор, как бы притягивает к себе со временем все фазовые траектории (английское to attract «притягивать») и является обобщением понятия равновесия, состоянием, которое притягивает системы. Маятник из-за трения сначала замедляет колебания, а затем останавливается. На диаграмме его состояний (фазовой диаграмме) по одной оси откладывают угол отклонения маятника от вертикали, а по другой скорость изменения этого угла. Получается фазовый портрет в виде точки, движущейся вокруг начала отсчета. Начало отсчета и будет аттрактором, поскольку как бы притягивает точку, представляющую движение маятника по фазовой диаграмме. В таком простом аттракторе нет ничего странного.

 

В более сложных движениях, например, маятника часов с грузом на цепочке, груз играет роль механизма, подкачивающего энергию к маятнику, и маятник не замедляет колебаний. Разным маятникам соответствуют аттракторы, которые называют предельными циклами. Биение сердца тоже изображается предельным циклом установившемся режимом. В случае хаотического движения фазовые траектории перемешиваются, возникает область фазового пространства, заполненная хаотическими траекториями, называемая странным аттрактором.

 

Свойства аттракторов задаются набором траекторий в пространстве переменных состояния, которые зависят от времени, как от параметра. В обычном аттракторе эти траектории простые, среди них есть замкнутые, называемые предельными циклами. Они не похожи ни на точки, ни на кривые, ни на поверхности; их представляют как многослойные поверхности. Странность состоит в том, что, попав в область странного аттрактора, точка (выбранное наугад решение) будет «блуждать» там, и только через большой промежуток времени приблизится к какой-то его точке. При этом поведение системы, отвечающее такой точке, будет сильно зависеть от начальных условий.

 

Важнейшим свойством странных аттракторов является фрактальность. Фракталы это объекты, проявляющие по мере увеличения все большее число деталей. Их начали активно исследовать с появлением мощных ЭВМ. Известно, что прямые и окружности объекты элементарной геометрии природе не свойственны. Структура вещества чаще принимает замысловато ветвящиеся формы, напоминающие обтрепанные края ткани. Примеров подобных структур много: это и коллоиды, и отложения металла при электролизе, и клеточные популяции.

 

При медленном изменении параметра наблюдается качественно новое явление затягивания потери устойчивости, описанное в 1973 году Шишковой. В 1985 году было показано, что это свойство имеет место во всех системах с медленно меняющимся параметром. После прохождения параметра через бифуркационное значение, соответствующее рождению цикла, или мягкому возникновению автоколебаний, система остается в окрестности неустойчивого состояния некоторое время, за которое параметр меняется на конечную величину. После этого система скачком переходит в автоколебательный режим (уже ставший жестким).

 

Существуют и другие сценарии перехода к хаосу. Исследования сценариев связано с анализом свойств странных аттракторов, к которым (как и к обычным) притягиваются точки (состояния системы) в многомерном фазовом пространстве. Введение понятия аттрактора является несомненной заслугой катастроф, как и пропаганда знаний об их бифуркациях. Сейчас к этим терминам привыкли и находят их во всех областях знаний.

 

1.3 Порядок или беспорядок

 

1.3.1 Вероятность и беспорядка

 

Если на молекулы не действуют силы из вне, если между молекулами практически не действуют силы сцепления, то возникает идеальный беспорядок в их расположении. Чтобы избавиться от сил сцепления между молекулами, тело надо нагреть, расплавить и испарить. Труднее избавиться от внешних сил, прежде всего от силы тяжести. Однако в тонком по вертикале слое газа влияние силы тяжести не скажется. Молекулы такого слоя газа расположены в совершенном беспорядке.

 

Постараемся ответить на вопрос: почему беспорядочное расположение молекул с равномерной плотностью возникает тогда, когда молекулы перемещаются случайным образом?

 

Надо разместить шесть разных зверей в трех помещениях так, чтобы в каждом из них было по два «жильца». Путем простого перебора нетрудно выяснить, что имеется 90 способов равномерного распределения по трем домикам населения всего лишь в 6 единиц.

 

А сколько способов распределить равномерно 1000 зверей в 100 клетках? Расчет показывает, что это число примерно выражается единицей с тысячами нулей! Нетрудно понять, что если речь идет о молекулах газа (а их в одном кубическом сантиметре имеется миллиард миллиардов), то число способов, которыми можно осуществить макроскопически равномерное распределение молекул по объему, будет невообразимо огромно.

 

В то же время число способов, которыми можно осуществить макроскопически неравномерное, более или менее упорядоченное распределение молекул, будет значительно меньше, и притом тем меньше, чем больше отклонения от равномерного идеально беспорядочного распределения. В случае миллиарда миллиардов молекул различие между равномерным и неравномерным распределениями будет еще резче. Из нашего числового примера следует, что если расположение молекул определяется случаем, то самым «распространенным», наиболее легко осуществимым, наиболее вероятным явится распределение молекул с полной изотропией и с макроскопически равномерной плотностью, т. е. идеально беспорядочное распределение.

 

При тех внешних условиях, в которых находится газ, наиболее вероятным является беспорядок, т. е. такое состояние, которое может быть осуществлено максимальным числом способов.

 

1.3.2 Стремление к беспорядку