Проблема нескінченності у філософії Платона та Аристотеля

Міністерство освіти і науки  України

Запорізький національний технічний університет

Кафедра філософії

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ПРОБЛЕМА нескінченності В античній ФІЛОСОФІЇ

і МАТЕМАТИЦі

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                

 

 

 

 

 

Запоріжжя

2010

 

ЗМІСТ

 

Вступ.............................................................................................................................3

1 Докласична антична філософія про проблеми нескінченності............................5

2 Проблема нескінченності у філософії Платона та Аристотеля..........................13

3 Вчення античних математиків про нескінченність.............................................22

Висновки....................................................................................................................26

Перелік посилань....................................................................................................... 29

 

ВСТУП

 

У даному рефераті порушено питання  про поняття нескінченності у  філософії та математиці. Саме це питання привернуло увагу, тому що моя дисертаційна робота прямо зв'язана з поняттям нескінченності. Зокрема, розглядаються безкінечні півпростори, що апроксимуються півпросторами періодичної структури. Також, у математичних викладеннях дуже широко використовуються такі поняття як межа і безперервність. Проблема точного і зрозумілого визначення нескінченності актуальна і зараз. Іноді, навіть на інтуїтивному рівні, нелегко уявити собі ці поняття, не говорячи про те, щоб пояснити їх сторонній людині.

Нескінченність  – філософське поняття, що відображає безграничність і безмежність розвитку матерії, невичерпність її пізнання. Місце, що займає поняття нескінченність у системі категорій діалектичного  матеріалізму, визначається зв'язком нескінченності з такими основними категоріями, як матерія, рух, простір і час. Матеріальний світ виступає як безкінечний у просторі, безкінечний у часі і безгранично різноманітний за своїми властивостями. Логічно нескінченність матеріального світу може розглядатися як наслідок субстанціального характеру матерії. Оскільки матерія признається єдиною субстанцією, що є сама собі причина, остільки її розвиток і рух не може бути нічим обмежено. Природною умовою такого руху матерії є нескінченність її існування в часі. З іншого боку, будучи єдиною субстанцією світу, матерія може бути обмежена у своєму протязі лише сама собою, що служить вираженням її нескінченності в просторі.

Філософи, логіки, математики, фізики, астрономи  протягом тисячоріч постійно зверталися до дослідження нескінченності. Матеріалізм і ідеалізм, діалектика і метафізика, впевненість у пізнаванності безкінечного світу й агностицизм постійно зштовхувалися і вели боротьбу з приводу різного розуміння нескінченності.

Математична нескінченність – загальна назва різних реалізацій ідеї нескінченності в математиці. Математичний аналіз поняття нескінченності варто відмежовувати від філософського аналізу. Математика прагне виділити в якості її експлікатів формально несуперечливі поняття, придатні для суворої дедуктивної побудови математичних і логіко-математичних теорій.

В античній філософії відповідно до загального, слабко диференційованого  характера науки представлення  про нескінченність спліталися в  один складний вузол, із котрого важко  виділити власне філософську нитку міркувань. В апейроне Анаксимандра нескінченність – основна характеристика першоматеріі – виступає як щось найвищою мірою невизначене і тому безмежне. Ця розпливчастість у розумінні нескінченності поступово переборювалась наукою; уже Платон і Аристотель здійснили логічне дослідження нескінченності.

У наступних главах розповімо більш  докладно про те, як розвивалась  проблема нескінченності за часів античності.

 

1 Докласична антична філософія про проблеми нескінченності

 

Почнемо розгляд з  елейськой школи (V в. до н.е.), яка досить цікава для дослідження, тому що це одна з найдавніших шкіл, у трудах якої математика і філософія досить тісно і різностороннє взаємодіють, а також тому, що вона внесла великий вклад на формування абстрактної наукової думки. Філософія засновника цієї школи Парменіда (народився приблизно в 520 р. до н.е.) [1, 294 – 296] полягає в наступному: усілякі системи миророзуміння базуються на одній з трьох посилок: 1)Є тільки буття, небуття немає; 2)Існує не тільки буття, але і небуття; 3)Буття і небуття тотожні. Правдивою Парменід визнає тільки першу посилку, тобто цілком виразно розуміє своє єдине або “буття”, зовсім не як ізольовану від усього сутність, але те, що цілком роздільно й у цьому роздільному залишається тим самим. Іншими словами, це не просто єдине, але ще і неперервне. Цікаво, що саме цей термін “неперервне” (syneches) вживається в поемі Парменіда “О природе” декілька разів. Меліс теж називає елейське єдине “вічним”, “безмежним”, “зовсім однорідним” [4, 219]. Ці терміни також вказують зовсім не на виключення всякої роздільності і різноякісності, а на однакову присутність єдиного і буття у всьому роздільному і різноякісному.

В зв'язку з відкриттям несумірних величин у грецьку математику проникло поняття нескінченності. У своїх пошуках загальної одиниці виміру для всіх величин грецькі геометри могли б розглянути нескінченно ділені величини, але ідея нескінченності приводила їх до глибокого смутку. Якщо навіть міркування про нескінченість проходили успішно, греки у своїх математичних теоріях завжди намагалися його обминути і виключити. Їх ускладнення перед явним вираженням абстрактних понять нескінченого і неперервного, які протилежні поняттям скінченого та дискретного, яскраво проявилися в парадоксах Зенона Елейського (приблизно 490 – 430 рр. до н.е.)[8].

Парадокси Зенона опинилися  в протиріччі з деякими давніми  й інтуїтивними уявленнями відносно нескінченно малого і нескінченно  великого. Завжди вважали, що суму нескінченно  багатьох величин можна зробити  як завгодно великою, навіть якщо кожна величина украй мала , а також що сума скінченого або безкінечного числа величин розміру нуль дорівнює нулю . Критика Зенона була спрямована проти таких уявлень, і його чотири парадокси викликали таке хвилювання, що і зараз можна спостерігати деяку рябизну. Ці парадокси дійшли до нас завдяки Аристотелеві і відомі під назвами “Ахіллес і черепаха”, “Стріла”, “Дихотомія” (ділення на два) і “Стадіон”. Вони сформульовані так, щоб підкреслити протиріччя в поняттях руху і часу, але це зовсім не спроба вирішити такі протиріччя.

Саму назву славнозвісного винаходу Зенона – апорія – так і перекладають із давньогрецької: нерозв’язне (буквально: те, що не має виходу, безвихідне)[11]. Зенон , творець більше сорока апорій, певних фундаментальних труднощів, що, за його задумом, мають підтвердити правильність вчення Парменіда про буття світу як єдиного і які він умів знаходити на кожному кроці, критикуючи звичайні суто множинні уявлення про буття. “Якщо існує множинне, то одночасно має бути великим і малим, причому великим до безмежності і малим до зникнення” [Цит. за: 11, 225].

Сучасне трактування  апорій знаходимо в дослідженнях з історії математики: “Нехай відрізок є нескінченна множина “неподільних”  частин. Якщо величина окремих “неподільних” дорівнює нулю (тобто неподільні – це точки), то й величина всього відрізка є нуль. Якщо ж кожне неподільне має деяку величину (неявно передбачається, що ця величина для всіх неподільних однакова), то й величина відрізка буде безкінечною” [Цит. за: 11, 225]. З погляду сучасної математики апорія показує, що не можна визначити міру відрізка як суму мір неподільних, що поняття “міри” множини зовсім не є чимось, що очевидно є в самому понятті множини і що міра довжини не дорівнює сумі мір його елементів. Тому апорію, звичайно, спрямовану проти однобічно множинного тлумачення світу, іноді називають також апорією міри. Отже, в апорії передбачається та логічна трудність, що й досі змушує вводити міру множини суто аксіоматично. У сучасних умовах міра множини визначається за допомогою системи інтервалів, причому вважається, що інтервали уже мають певну довжину (міру). Насправді мова йде про структуру просторово–часового континууму. Очевидно, Зенон хотів показати ілюзорність винятково множинного тлумачення структури простору і часу, підтверджуючи істинність вчення Парменіда про буття світу як єдине.

Виходячи із уявлень про неперервність  безкінечного поділу будь–якого просторового або часового відрізку, Зенон вдається до поділу апорії надвоє. Гіпотеза неперервності простору породжує актуально безкінечну сукупність половинних відрізків кожної нової половини, які виникають у безкінечному поділі (дихотомії) вихідного відрізка, так що рухоме тіло, зайняте безкінечним перебиранням виникаючих тут відрізків, не може подолати і найменшої відстані. Звідси і знаменитий висновок: руху немає. Аналогічний зміст має і апорія “Ахіллес і черепаха”. Переможець олімпійських ігор швидконогий Ахіллес змагається з неквапливою черепахою, яка у момент старту знаходиться попереду на деякій відстані. Доки Ахіллес долає половину вихідної відстані, що розділяє його й черепаху в момент старту, черепаха, звісно, відповзає на деяку відстань уперед. Поки Ахіллес долає половину нової відстані, що розділяє їх, черепаха знову відповзає на деяку нову відстань і т. д. Через прийняту гіпотезу безкінечної подільності (неперервності) простору й часу ситуація точно відтворюється безкінечну кількість разів, і кожного разу, поки Ахіллес пробігає половину нової відстані, що розділяє його і черепаху, все ж черепаха, хоча й не набагато, відповзає вперед. Дивовижний висновок: швидконогий Ахіллес неспроможний не те що обігнати, але навіть наздогнати повільну черепаху! Що ж звідси випливає? Очевидно, необхідно відмовитися від уявлення про безкінечну подільність (неперервність) простору і часу. Це означає, що існують найменші атомарні елементи просторової довжини й часової тривалості, так звані неподільні, далі яких подільність уже неможлива, і вказані Зеноном труднощі легко знімаються.

Виходячи з концепції неподільних, філософ запропонував розглянути дві задачі, сформульовані в апоріях “Стадіон” і “Стріла”. Простежте рух трьох колон спортсменів на стадіоні, але тепер уже з позиції неподільних (визнаючи дискретну структуру простору і часу, у чому переконалися за допомогою перших двох апорій), – запрошував він античних греків, великих любителів спорту й фізичної культури. Нехай у момент старту всі три колони перебувають у стані спокою, причому кожний спортсмен нібито перебуває у відповідній йому чарунці просторової довжини. Далі Зенон пропонує розглянути таку ситуацію. Нехай середня колона стоїть, а дві крайні починають одночасно рухатися в протилежних напрямках. З позиції неподільних це означає: верхня й нижня колони протягом одного часового неподільного змістяться порівняно з середньою непорушною колоною на одне просторове неподільне. Тепер, пропонує мудрець, поглянемо на взаємний рух верхньої та нижньої колон стосовно одна одної. Виявляється, за одне часове неподільне вони змістилися одна від одної на два просторових неподільних. Отже, неподільне поділяється! (У даному випадку часове неподільне поділяється на два просторових неподільних.) Але це суперечить висновку перших двох апорій про існування неподільних! Далі, в апорії “Стріла”, Зенон показує, як може бути поділене і просторове неподільне. Стріла, випущена з лука, летить у просторі повсякденного досвіду, але чи летить стосовно до елементарного відрізка просторового неподільного? Якщо так, то сам факт руху стріли в межах неподільного поділить його (на ній завжди можна нанести відмітку, і при рухові стріли різні положення відмітки в межах неподільного просторового відрізка розділять його). Але це знову суперечить концепції неподільних. Залишається визнати, що стріла, яка летить, не рухається у кожному з неподільних. Але чи можливий тоді взагалі рух? Адже сума моментів спокою (у кожному з неподільних) нічого не дає, окрім спокою (для всього простору), подібно до того, як сума нулів нічого не дасть, крім нуля. І знову напрошується уже відомий висновок: руху немає.

З точки зору математики парадокс “Ахіллес і черепаха” побудований на важкості підсумовування нескінченого числа все більш малих величин і неможливості інтуїтивно уявити собі, що ця сума дорівнює скінченній величині. Ще більш явним цей момент стає в апорії “Дихотомія”. Зенон подумки будує ряд , сума якого дорівнює 1, але йому не вдасться інтуїтивно збагнути зміст цього поняття. Сучасні представлення про границю і збіжність ряду дозволяють стверджувати, що, починаючи з деякого моменту, відстань між Ахіллом і черепахою стане менше будь-якого заданого числа , яке вибране як завгодно малим. У парадоксі “Стріла” порушені питання про миттєву швидкість: яке значення варто надати відношенню пройденої відстані до інтервалу часу , коли величина стає дуже малою? Нездатність уявити собі мінімум, який є відмінним від нуля, древні додали йому значення нуль. Нині за допомогою поняття границі правильна відповідь знаходиться негайно: миттєва швидкість є границею відношення , коли прагне до нуля.

Усі ці парадокси, які  зв'язані з поняттям границі, стали  центральними в численні нескінченно малих. Зенон гадає, що будь-яка відстань на прямій є щось абсолютно єдине, тобто абсолютно неподільне та неуявне у вигляді окремих точок. Він прагне довести, що суще одне, виходячи з того, що воно неперервне та неподільне. “Якби воно було подільним, – каже Зенон, – то воно не було б одним у суворому розумінні, унаслідок подільності тіл до нескінченності.” [22, 302]

Можна сказати, що античність ніколи не розставалася з двома ідеями: нескінченна подільність, яка поступово переходила в суцільне, і чисте становлення, яке близьке до нуля, і тому граничить з відсутністю будь-якої подільності та з перетворенням цієї подільності в суцільну та неподільну плинність; з іншого боку, все існуюче для античного мислення завжди було чимсь подільним, єдино подільним цілим, структурою, кристалом, який ясно обкреслений, фігурою та структурно оформленим цілим, або тілом. Сполучення цих двох ідей було, можна сказати, основним і заповітним наміром грецьких філософів. І, якщо в елейців неподільність брала верх, то в Анаксагора ми знаходимо чудову спробу сполучити і те й інше.

Анаксагор (приблизно 500 – 428 рр. до н.е.), як і атомісти, конструює [1, 308 – 315] усю дійсність із неподільних елементів, яких налічується нескінченна кількість. Ці свої неподільні елементи Анаксагор на жодну мить не уявляє собі в повній взаємній ізоляції. Інтуїція цілісності змушує знаходити всю нескінченність елементів у кожному окремому елементі. Якщо весь космос є ціле, то ця цілісність відбивається в кожному окремому елементі. Ця загальна космічна цілісність у кожному елементі дана по-різному, тому що і всі елементи, з яких складається космос, також усюди різні. І, отже, вся нескінченність елементів міститься в кожному окремому елементі, але щораз специфічно. Всі елементи, що містяться в окремому елементі, несуть на собі специфіку цього елемента, відбивають цю специфіку, робляться йому подібними. Тому такий складний елемент і одержав назву “гомеомерія”, або “подобочасне”.

Але мало і цього, Анаксагор  стверджує, що кожний із нескінченних елементів, які відбиті в даному елементі, у свою чергу нескінченно подільні і є не якою-небудь стабільною якістю, а тільки якістю, що перебуває у довічному становленні. У такий спосіб кожному елементу в Анаксагора властива подвійна нескінченість: одна – це відбиток у ньому всіх взагалі нескінченних елементів, які тільки існують; а інша – це нескінченно неперервне становлення кожного з цих подільних елементів усередині самого себе. Тут мова йде тільки про фізичні елементи, у той час як в Арістотеля мова буде йти в самому широкому змісті слова, тобто й у математичному і взагалі в понятійному змісті. Важливо підкреслити ще і те, що в анаксагорівських гомеомеріях, а саме у вченні про нескінченну подільність елементів, дуже могутньо подано неперервне становлення.