Проблема нескінченності у філософії Платона та Аристотеля

Кожний елемент Анаксагора не був якоюсь визначеною скінченною величиною, але тільки такою, що могла б стати менше будь-якої заданої величини.

Точно так само вже Демокріт (460 – 370 рр. до н.е.) [1, 320 – 327], як це встановлено в сучасній науці, зовсім не розумів свої атоми як у повному змісті неподільні величини. Атоми – це тільки окремі пункти поступового зменшення будь-якої величини. Вони є щораз границею для зменшення, причому це зменшення ніколи не може досягти нуля. Так, наприклад, всі математичні об'єкти (тіла, площини, лінії, точки) у Демокріта виступають у певних матеріальних способах. Ідеальні площини, лінії, точки в його вченні відсутні. Основною процедурою математичного атомізму є розкладання геометричних тіл на найтонші листики (площини), площин – на найтонші нитки (лінії), ліній – на дрібні зернятка (атоми). Тепер довжина лінії визначається як сума неподільних часток, що містяться в ній. Аналогічно вирішується питання про взаємозв'язок ліній на площині і площин у тілі. Кожний атом має малу, але ненульову величину і далі не може бути поділеним внаслідок абсолютної твердості і відсутності в ньому порожнечі. Таким чином, Демокріт заперечує нескінчену подільність.

Відповідно до загального вчення Демокріту, атоми не можуть стикатися. Якщо мова йде про максимально близьке торкання, то це цілком визначений натяк на використання принципу нескінченно малих наближень. І це буде в згоді з навчанням Демокріту про неподільність атома, тобто про злиття складових його частин в одне неперервне ціле. При цьому цікаво те, що атом, власне кажучи, зовсім не характеризується якою-небудь величиною [1, 324 – 327], тому що весь світ також є атом. Виходить, що неперервність має у Демокріта універсальне значення і характерна для всього космосу.

Сама собою напрошується наступна схема. Саме, якщо в елейців на перший план висувається неперервність і все перервне, що несе на собі печатку неперервного буття, при цьому залишаючись перервним, то в Демокріта навпаки: якщо в атомістів на перший план висуваються перервні атоми, то неперервність всередині самих же цих атомів, хоча вона і залишається всюди неперервною, все ж несе на собі печатку атомістичної перервності. Що ж стосується Анаксагора, то він явно займає середнє місце між елейцями та Демокрітом: кожна гомеомерія подільна, тобто цілком неперервна, оскільки містить в собі всю нескінченність елементів, і цілком неподільна, тобто цілком неперервна, оскільки керівним принципом кожної гомеомерії є який-небудь один елемент, тобто одна якість, яка однаково та неперервно присутня в усіх вторинних елементах, що складають гомеомерію.

Атом Демокріта дійсно неподільний, як і всяка річ взагалі. Але Демокріт розуміє його як результат  дроблення речі. Тому він неподільний  у змісті тієї границі, до якої прагне та річ, яка зменшується. Фізично  він теж подільний, оскільки подільність завжди нескінченна. Але як ідея, як зміст одержання результату ділення, він цілком неподільний. Це поняття границі і є свідченням того, що атомісти обов'язково мислили нескінченний розподіл речей, але зі збереженням кожного результату цього ділення в якості цілісної неподільності.

Без поняття границі  античний атом є малозрозумілим. Оскільки в Демокріта ми не знаходимо ніяких точних визначень і ніяких формул, то весь античний атомізм можна вважати  тільки окремою мрією й окремим пророцтвом новоєвропейського вчення про нескінченно малі. А якщо це так, то античний атом можна вважати навіть деякого роду інтегралом, оскільки цей атом є границя суми нескінченно малих приростів (або зменшень). Як пише Маковельский А.О.: “Демокріт вступив на шлях, по якому далі пішли Архімед і Кавальєрі. Однак, підійшовши впритул до поняття нескінченно малого, Демокріт не зробив останнього рішучого кроку. Він не допускає безмежного збільшення числа складників, що утворять у своїй сумі даний об'єм. Він приймає лише надзвичайно велике, що не піддається численню, унаслідок своєї величезності, число цих складників”.

Усі ці уявлення зовсім не містяться  в названих мислителів буквально. Їх ми домислюємо тільки самі ж, щоб усвідомити сутність справи.

2 Проблема нескінченності у філософії Платона та Арістотеля

Справжнім засновником  вчення про нескінченно малі є Платон (427 – 347 рр. до н.е.). У Антифона є міркування [1, 321] про збіг з колом круга багатокутника, який вписаний в цей круг при досить великому збільшенні числа його сторін. Це було зовсім не філософське, а тільки лише примітивне математичне обґрунтування цього вчення.

Поняття нескінченності не в математичній, а в принципово філософській формі, якщо мати на увазі категоріальну  точність, установлено Платоном. Розкриття цього поняття зв'язано з платонівськими термінами “границя”, “безмежне” і “мішане”, які описані в діалозі “Філеб” [20]. Але їх потрібно вміти правильно розшифрувати.

Саме, платонівський термін peras, що ми зустрічаємо в “Тімеє” (55c) [19, 497] і “Софістє” (252b) [18, 373], хоча і можна перевести як “границя”, це зовсім не є границя в нашому смислі слова. Ми розуміємо під границею якусь таку постійну величину, відстань якої від тієї змінної величини, що до неї наближається, може стати менше будь-якої заданої величини. У Платона це, власне кажучи, не границя, а, скоріше, “межа”. Це навіть не є просто “межа”. Це така межа, що не тільки відокремлює одну річ від іншої, а котра й усередині самої речі обмежує одну її частину від іншої (“Парменід”, 137d, 145a) [17, 419, 434]). Правильний переклад цього терміну був би “роздільність” або “розчленованість”. Отже, наше поняття границі потрібно зв'язувати зовсім не з платонівським терміном “границя”, а з термінами “безмежне” і “мішане”.

Справа в тому, що так зване “мішане” вже по самій своїй назві свідчить про наявність у ньому як розчленованої єдинороздільної цілісності, так і неперервного становлення. У даному випадку мова йде в Платона, мабуть, про суцільний і неперервний перехід від однієї частини цілого до іншої так, що таке перервно-неперервне ціле є вже границею в сучасному математичному смислі слова, а точніше границею суми нескінченно малих приростів, які знаходяться всередині того цілого, частинами якого вони є.

Отже, те, що саме Платон є в античності засновником термінології зафіксованого вчення про нескінченно малі, можна вважати доведеним.

Джерела концепції безкінечного у Платона  ведуть до піфагорійців. За Платоном, “зрослі  воєдино” межа і безмежність є  початками, укладеними в “вічно сущому” (“Філеб”). Безкінечне є те, що може необмежено збільшуватися або зменшуватися. Природа безкінечного полягає в тому, що воно є “безперестанний рух уперед”. У цій якості безмежне не може бути пізнано, тому що безкінечна безліч речей і їхніх ознак робить невизначеним наше мислення про неї. Завдання пізнання полягає не в тому, щоб фіксувати думку на межі або безмежному, а в тому, щоб знайти “проміжні члени”, “кількісну визначенність властивостей і відношень”. У міркуваннях Платона нескінченність виступає як можливість необмеженого збільшення або зменшення. Однак визнання незбагненності такого безкінечного веде до пошуків визначених співвідношень, що могли б зв'язати межу і безмежне.

Арістотель (384 – 322 р. до н.е.) дає поки що занадто вузьке визначення неперервності як різновиду єдиного: “Назва неперервної дається тій речі, у якій рух, якщо її взяти як таку, один й інакше (ніж один) бути не може; рух же буде одне в тієї речі, у якої він неподільний, при цьому неподільний – у часі” (“Метафизика”, кн. 5, гл. 6) [2, 153]

Велику увагу Арістотель приділяє проблемі безкінечного. Він указує п'ять основ, виходячи з яких люди приходять до ідеї безкінечного: “...із часу (тому що він нескінченний), із поділу розмірів (адже і математики користуються безкінечним); далі, що тільки в такий спосіб не вичерпаються виникнення і знищення, якщо буде безкінечне, відкіля береться виникаюче. Далі, із того, що скінчене граничить із чим-небудь, так що необхідно, щоб воно завжди граничило з іншим. Але більше усього і головніше – що доставляє для усіх утруднення – на тій підставі, що мислення не зупиняється” [Цит. за: 23, 67]. Проблема безкінечного, таким чином, виходить за межі фізики, тому що безкінечне існує й в області математики, і в області думки. Тому “чи може знаходитися безкінечне в речах математичних, і в мислимих, і тих, що не мають розміру – це відноситься до загального дослідження питання”, – говорить Арістотель у “Фізиці” [Цит. за: 23, 67]. Такого загального дослідження проблеми безкінечного ми в “Фізиці” не знаходимо. Арістотель підкреслює, що тут ведеться розгляд чуттєвих предметів, що володіють розміром, рухом і існують у часі. А “тому що наука про природу має справу з розмірами, рухом і часом, кожне з котрих необхідно повинно бути або не безкінечним, або скінченим..., то буде доречно, ведучи дослідження про природу, розглянути питання про безкінечне, чи існує воно або немає і, якщо існує, що воно таке” [Цит. за: 23, 67], тому теоретичний розгляд безкінечного є цілком відповідним для фізики. Однак і в “Фізиці” Арістотель усе-таки виходить за межі власне фізичного аспекту проблеми. Він говорить не тільки про розмір, але і про число, а це вже математичний бік безкінечного.

Арістотель підкреслює важкість проблеми безкінечного, тому що “багато неможливого випливає і за запереченням його існування, і за визнанням” [Цит. за: 23, 68]. Говорячи про нескінченність, потрібно з'ясувати, чи є безкінечне початком (адже так думали деякі філософи), або сутністю, або ж властивістю, акціденцією сутності. Адже піфагорійці і Платон бачили в безкінечному сутність, а фізики, вважаючи, що безкінечне має носія (воду, повітря і т.п.), бачили в ньому властивість, акціденцію, тобто питання полягає в тому, чи існує нескінченність, або безкінечне. Для фізика необхідно з'ясувати насамперед питання: “Може або не може... існувати безкінечне чуттєво сприймане тіло?” [Цит. за: 23, 68]. Таке безкінечне Арістотель називає дійсним, актуальним. Як бачимо, філософ, говорячи про безкінечне, застосовує свій улюблений методологічний прийом: розглядає предмет у двох аспектах – у можливості й у дійсності. Це означає, що потрібно говорити і про актуально безкінечний, і про потенційно безкінечний.

Отже, чи існує актуально  безкінечне, тобто чи існує просторово безкінечне почуттєво сприймане  тіло? На це питання випливає негативна  відповідь: “Безкінечне тіло не існує  актуально ” [Цит. за: 23, 68], а тому що з тілом зв'язаний розмір, то заперечиться й актуально безкінечний розмір. Те, що “немислимо безкінечному існувати як актуальне”, доводиться багатьма аргументами. Відзначимо лише один із них: якби існувало безкінечне за розміром фізичне тіло, то “будь-яка частина, узята від нього, буде безкінечною” [Цит. за: 23, 69] (як частина повітря – повітря, так і частина безкінечного – безкінечне). Але заперечення актуальної нескінченності не означає у Арістотеля заперечення нескінченності взагалі, тому що “багато неможливого утворюється, якщо не визнати нескінченності взагалі” [Цит. за: 23, 69]: тоді і для часу буде якийсь початок і кінець, і розміри не будуть ділені, і число не буде безкінечним. Так що, робить висновок Арістотель, “у відомому відношенні безкінечне існує, в іншому немає” [Цит. за: 23, 69]. Нескінченність існує потенційно. Так існує насамперед розмір. “Що величина не може бути безкінечною актуально, про це уже сказано, але шляхом поділу вона існувати може..., залишається, таким чином, безкінечне в потенції [Цит. за: 23, 69]. Але ця потенція не потенція статуї, що може стати і дійсністю. Потенційно безкінечне ніколи не може стати актуально безкінечним, “безкінечне існує таким чином, що завжди береться інше й інше, і узяте завжди буде скінченим, але завжди різним і різним” [Цит. за: 23, 69]. Безкінечне Арістотель приймає як процес.

Стагіріт розрізняє  безкінечне розміру і числа. Розмір почуттєво сприйманий, число мислимо. Число – це безліч. Думку завжди можна перетворити в напрямку до більшої безлічі. Але стосовно розміру думка неможлива, тому що розмір – це те, що властиве почуттєвому тілу, що думкою не створюється. Число має межу в напрямку до найменшого (не може бути числа менше одиниці), але не в напрямку до найбільшого. Розмір же має межу в напрямку до найбільшого, але не в напрямку до найменшого. У напрямку до більшого число завжди перевершує будь–яку безліч одиниць, розмір же в напрямку до меншого перевершує усі своєю малістю. Отже, розмір завжди є щось почуттєво сприймане він не відділяється від чуттєвих предметів, він безупиннен; безупинне ж ділиться до нескінченності, точніше, безупинне нескінченно ділиться, а в напрямку до більшого безкінечного розміру ні, тому що тоді було б актуально безкінечне. Отже, “величина не може бути безкінечною актуально..., але шляхом поділу вона існувати може” [Цит. за: 23, 70].

Арістотель протиставляє безкінечне цілому і закінченому. Оскільки безкінечне є процес, то воно завжди незавершене. Не може бути безкінечного числа, а може бути число більше даного. Безкінечне число не можна зчислити. Якби воно було зчисленим, то можна було б пройти до кінця нескінченність. Ціле і закінчене – це те, поза чим нічого немає. Арістотель дає діалектичне, процесуальне розуміння нескінченності: “Те, поза чим завжди є що-небудь, те і є безкінечне” [Цит. за: 23,. 70]. Таким чином, “безкінечне – це те, що не має цілісності, це матерія, безкінечне непізнавано і невизначене” [Цит. за: 23, 70].

Висновки Арістотеля. Аналізуючи ті п’ять основ, виходячи з який люди приходять до ідеї нескінченності, філософ робить наступні висновки: 1) час дійсно нескінченний. Але лише в розумінні додавання все нового при зникненні старого, тобто час нескінченний, як завжди інший. Як говорилося вище, узяте завжди буде скінченим, але завжди різним і різним. Те, що пішло в минуле, зникло, додається новий час і відразу зникає в минулому. 2) Що стосується поділу розмірів, то в даному випадку є тільки потенційна нескінченність, у цьому розумінні і час нескінченний, оскільки воно є величина. Усі величини безкінечні в розумінні невичерпності їхнього поділу, але це не робить їх, як думав Зенон, нескінченно великими величинами (тобто Арістотель підходить до думки, що безкінечна сума нескінченно малих величин є скінченна величина). 3) Джерелу виникнення для того, щоб не вичерпатися, не обов'язково бути безкінечним. Він може бути невичерпним і в той же час скінченим, для цього досить круговороту, коли те, що виникло, гинучи, дає початок новому виникненню. 4) Не всяке обмеження тіла припускає наявність чого-небудь за його межами, і це, отже, не доводить існування нескінченності, у данному випадку – актуально безкінечного просторового тіла. 5) Нарешті, не все те, що ми мислимо, є в дійсності, хоча, ми можемо мислити безкінечне число як таке, що не має межі в напрямку до найбільшого, з цього не виходить, що безкінечне існує в дійсності.

Більш докладне, але зате і більш  загальне вчення про неперервність  ми знаходимо в Аристотеля в його “Метафізиці” в кн. 11, гл. 12 [2, 298] і ще більш докладну в “Фізиці” (кн. 5, гл. 3) [4, 166 – 168].

Для неперервності необхідно як те, що саме неперервне, так і той  процес, у результаті якого одержується  неперервність. Тому неперервністю є не тільки те або інше “місце”, про неперервну появу якого мова, але і сам процес цієї появи, тобто “зміна”. Якщо мати на увазі просторове положення, то окремі його точки можна брати або окремо одна від одної, або разом. Але для процесу зміни необхідно брати роздільні точки. В такому випадку, якщо ці точки роздільні, але знаходяться в процесі зміни, то необхідно визнати щось проміжне між ними, а також і послідовне проходження однієї точки за іншою в даній зміні. Але при цьому мало буде одного послідовного проходження. Необхідно використати ще іншу категорію “місця”, а саме категорію “разом”, що дає в більш розвиненому виді категорію “дотику”. Тому, якщо об'єднати отримане нами послідовне проходження з дотиком, то виникне “суміжне”. Однак і суміжне ще занадто роздільне.