Проблема нескінченності у філософії Платона та Аристотеля

Треба, щоб у цьому суміжному злилися всі межі, що відокремлюють одне суміжне від іншого. Ось тоді-то й утвориться неперервність: “неперервне є саме по собі щось суміжне. Суміжне є те, що, слідуючи за іншим, торкається його”. Число як типово перервне (дискретне) утворення формується з'єднанням дискретних, далі неподільних елементів – одиниць. Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з'єднання точок не може утворити лінію, тому що “точкам, із яких було б складене неперервне, необхідно або бути неперервними, або торкатися один одного”. Але неперервними вони не будуть: “адже краї точок не утворять чого-небудь єдиного, тому що в неподільного немає ні краю, ні іншої частини”. Точки не можуть і торкатися одна одної, оскільки торкаються “ усі предмети або як ціле цілого, або своїми частинами, або як ціле частини. Але тому що неподільне не має частин, їм необхідно торкатися цілком, але те, що торкається цілком не утворить неперервного”.

В усьому цьому міркуванні про неперервне заслуговує величезного інтересу спроба Арістотеля зрозуміти неперервність  не глобально, а структурно. Тільки для цього і вводилися в Арістотеля такі поняття, як “роздільно” і “разом” або “послідовне проходження” і “дотик”. Отут є і своє розрізнення, і своє послідовне проходження різних точок і своєрідний тип їхнього зіткнення. А інакше континуум не буде мати ніякої структури.

Раніше ми виходили з тих міркувань  Арістотеля, в яких він конструює  свою неперервність як різновид єдиного. Але в Арістотеля є ще і таке міркування, де він розглядає (у тій же своїй “Фізиці” (кн. 3, гл. 4 – 8) [4, 109 – 122]) неперервність як різновид іншої платонівської категорії, а саме як різновид безмежності, апейрона. Безмежне, за Арістотелем, те, що може без всякої зупинки збільшуватися або зменшуватися. Безмежність є тільки матерія, тільки потенція дійсно існуючого. Але дійсно існуюче є також ще і форма, яка додає речам їх визначеність і досконалість, що і робить їх цілостями. Отже, безмежне “скоріше підходить під визначення моменту, чим цілого, тому що матерія є момент цілого, як мідь для мідної статуї” [4, 120]. Але весь космос, за Арістотелем, просторово обмежений; він досконалий, цілісний і в цьому смислі цілком скінчений. Як же в такому випадку сполучається в космосі безмежне і граничне? На це питання можна відповісти тільки так, що межа космосу є постійна величина; а те, що знаходиться всередині космосу нескінченно прагне до цієї межи, тобто може відстояти від неї на відстані, яка менше будь-якої заданої наперед величини. Іншими словами, Арістотель тут теж пророкує появу теорії нескінченно малих, тим самим, континууму.

На початку книги 6 “Фізики” [4, 179] Арістотель пише: “Якщо існує неперервне, що дотикається і йде друг за другом у тому розумінні, як це визначалося вище, а саме неперервні ті (предмети), краї яких зливаються в одне, дотикаються ті, у яких вони разом, а йдуть друг за другом ті, між котрими немає нічого, що належить до їхнього роду, то неможливо, щоб що-небудь неперервне складалося з неподільних (частин), наприклад, лінія з точок, якщо лінія неперервна, а точка неподільна”. І далі вся книга 6 “Фізики” присвячена доказу того, що континуум не можна скласти з окремих точок, будь то в часі, будь то в просторі, будь то в русі.

У цьому зв'язку в трактаті “Про виникнення і знищення” (кн. 1) [3, 381 – 417] він дає нищівну критику дробити неперервність на окремі перервні відрізки, будь то апорії Зенона, будь то атомізм Левкіппа та Демокріта. При цьому подібного роду дискретні конструкції Арістотель розуміє занадто буквально. Адже з апорії Зенона саме випливає вимога про неможливість дроблення континуума, а з атомізму Левкіппа та Демокріта випливає вимога про неможливість тільки одного дискретного уявлення про дійсно існуюче.

Ми вже говорили про математичні представлення неперервного становлення геометричних фігур у Демокріта. Обґрунтування такого представлення в арістотелівській школі міститься в трактаті “Про неподільні лінії”. Саме, якщо дві прямі лінії перетинаються, то для всіх очевидно, що вони перетинаються тільки в одній точці, що належить одночасно обом цим лініям. Але такий остаточний вплив двох предметів можливий тільки в тому випадку, якщо ці предмети складаються з різних частин, оскільки предмети, що складаються з кількох частин і стикаються між собою не в одній, а в багатьох точках; і цих точок дотику в даному випадку стільки, скільки є частин у дотичних предметах. Виходить, дві лінії можуть перетинатися в одній точці тільки за умови їхньої неподільності, тобто за умови їхньої неперервності.

Якщо в Платона аналіз нескінченності був допоміжним засобом  у його етичних дослідженнях і  опирався на ідеалістичний характер усієї системи, то в Арістотеля проблема нескінченності знаходилася в тісному  зв'язку з розглядом причинності, простору, часу, руху. Не безкінечне як символ вічного царства ідей цікавило Арістотеля, а безкінечне в реальному світі.

У такому підході до проблеми позначалися  матеріалістичні тенденції у  філософії Арістотеля. Арістотель так  формулював предмет дослідження: “Чи існує безкінечне і що воно таке?”. І відповідав: “У відомому відношенні безкінечне існує, а в іншому відношенні – немає. Безкінечне не існує актуально, як безкінечне тіло або розмір, сприймані почуттями; безкінечне не є самостійним початком буття, як стверджували піфагорійці і Платон; безкінечне не може існувати окремо від почуттєвих предметів. Безкінечне існує потенційно; безкінечне є рух - воно стає завжди іншим і іншим”. Арістотель відхиляв існування безкінечного ряду причин, цілей, джерела руху.

3 Вчення античних математиків про нескінченність

Давньогрецький мислитель  Евдокс Кнідський (приблизно 391 – 338 рр. до н.е.) [8] висунув небувалу по своїй точності концепцію. Цю концепцію в Новий час назвали “методом вичерпування”, під яким розуміли метод наближення до границі на шляхах неперервного становлення, де під “вичерпуванням” розуміється границя становлення, причому вичерпатися вона ніколи не може. “Метод вичерпування” був відповіддю на апорії Зенона. Метод обходив усі пастки нескінченно малого, попросту усуваючи їх , тому що зводив проблеми, у яких могла з'явитися нескінченно малі, до проблем, що розв’язувались засобами формальної логіки. Наприклад, якщо було потрібно довести, що об’єм тетраедра дорівню одній третини об’єму призми з такою же основою і такою же висотою, то доказ полягав у тому, щоб показати абсурдність як допущення, що , так і допущення, що .

Приклади вживання метода вичерпування приведені в дванадцятій книзі “Початків” Евкліда й у ряді творів Архімеда. Метод вичерпування застосовувався при обчисленні площ фігур, об’ємів тіл, довжин кривих ліній і т.п.

Методом вичерпування доводиться, таким чином, одиничність межі. У  сполученні з іншими методами він корисний для знаходження межі. Однак вирішення питання про існування межі цей метод не може дати.

Метод вичерпування був  одним із поширених методів античної математики. Їм широко користувався Архімед. Раніше цей метод включив у  “Начала” Евклід, зробивши його основою дванадцятої книги. Граничні переходи, що відбувалися раніше часто в силу інтуїтивних або емпіричних розумінь, одержали в методі вичерпування перше теоретичне оформлення, історично першу форму методу меж.

Евдокс звернув увагу  на те, що многокутник, який вписаний в круг, або описаний навколо нього, у міру збільшення числа своїх сторін все більше і більше наближається до круга, хоча ніколи не може досягти його, так що різниця між периметром многокутника і круга може стати менше за будь-яку наперед задану величину. Точно так само об'єм конуса, складеного з нескінченно великого числа циліндриків (які пересічні лише по основах), коли ці циліндрики, починаючи з основи, поступово зменшуючись, доходять до точки, що є вершиною конуса. Те ж саме відбувається при укладанні піраміди з нескінченно великого числа, аналогічно розташованих, призм.

При діленні відрізка прямої на все  менші і менші відрізки, ми потрапляємо  в аналогічну ситуацію, і не зможемо  домогтися того, щоб ці відрізки одержали нульову довжину, хоча вони і будуть прагнути до неї. Це було теж усвідомленням концепції, що зараз називається принципом нескінченно малих величин. Цей принцип рішуче реформував платонівську систему ідей і чисел, у тому змісті, що ідея речі або її число співвідносилася з самою річчю не просто категоріально, тобто в умовах нерухомості як ідеї, або числа, так і речі, а в умовах неперервного розтікання ідей, або числа, неперервного становлення цієї ідеальної області, неперервного виливу ідей і чисел в інобутті аж до виникнення речей.

Само собою зрозуміло, що це текуче-сущностне  становлення вже й Арістотель не міг розглядати в спеціальному вигляді. В його трактаті “Про виникнення і знищення” [3, 386 – 403] безліч такого роду спостережень, про деяких із них ми вже говорили.

До свого уявлення про нескінченно  мале наближення древні приходили обов'язково тільки в зв'язку з основною тілесною інтуїцією. Їхні тілесні лінії, фігури і тіла при всій своїй скульптурній закінченості розглядалися ще як такі, що владно кличуть суцільно та неперервно переходити від одного їхнього моменту до іншого. Подібного роду величинами були ті, що ми зараз називаємо ірраціональними. Ці величини розглядалися древніми в їх живому значеннєвому потоці. Простіше всього це видно на діагоналі одиничного квадрата. Адже така діагональ дорівнює кореню квадратному з 2. Причому самі древні розуміли, що така діагональ не може бути порівняною зі стороною квадрата. Такий квадратний корінь із 2 не може бути досягнутий ніякими обчисленнями, і проте він цілком тілесний, його можна бачити. От це і є справжнє античне навчання про нескінченно малі. Ця нескінченність ні при яких умовах недосяжна, але вона тілесна і її можна бачити. Тому, нескінченно мале жодною мірою не було в античності знищенням вихідної та цілком скінченої тілесної інтуїції, а навпаки, було тільки пожвавленням у значеннєвому потоці, що вирує, всіх тих же єдинороздільних і скульптурних побудов.

У цьому відношенні Евдокс демонструє своє вчення про нескінченно малі, а отже, ірраціональності, найпростішими  геометричними побудовами. Нехай ми маємо одиничний куб, тоді ребро подвійного за об'ємом куба буде дорівнювати кореню кубічному з 2, тобто величини ірраціональної. І вихідний куб і подвійний за об'ємом є тіла видимі або є представленими, а ребро подвійного куба стало ірраціональною величиною, досягти яку неможливо ні при якій кількості наближень.

Інший приклад: перетинаючи конус  площинами, рівнобіжними його основі, ми, у міру наближення до вершини, будемо одержувати все менші і менші  кола, що ні при якому зменшенні не досягнуть точки. І тільки шляхом виходу з цього процесу становлення, тобто тільки шляхом стрибка, ми можемо опинитися в точці, що є вершиною конуса.

Отже, усі континуальні уявлення в  Евдокса виникають разом із стійкими та чітко розчленованими формами. Те ж саме ми знаходимо й в інших представників античного инфінітимізма, що володіє завжди інтуїтивної, якщо не прямо геометричною, тобто чітко вираженою, тілесною структурою.

Евклід (4 – 3 століття до н.е.)[21] висловлював наступне положення:“ Для двох заданих величин, якщо від більшої віднімається більше половини і від залишку більше половини і це робиться постійно, то залишиться величина, що буде менше заданої меншої величини”. Ту ж саму ідею ми знаходимо й в іншому положенні Евкліда, в якому мова йде про недосяжність периметра кола при будь-якому збільшенні кількості сторін вписаного в нього многокутника. Тут ми бачимо зародкові інтуїтивні представлення з теорії нескінченно малих. Помітимо, що не можна протиставляти античну геометрію (представником якої був Евклід), з одного боку, і теорію нескінченно малих, з іншого боку. Евклід прекрасно розбирався в ірраціональних величинах, вмів їх визначати (як тих, що не можна представити у вигляді відношення цілих чисел) і бачив їх на своїх геометричних фігурах.

Архімед (3 в. до н.е.) [21] теж був біля самого порога вчення про неперервне становлення. У роботі “Про кулю і циліндр” Архімед посилається на зазначене в нас положення Евкліда, але з застосуванням цього положення до співвідношення циліндра і кулі. Та ж сама ідея проводиться в Архімеда в трактаті “Квадратура параболи”.

ВИСНОВКи

Після всього вище сказаного можна  не сумніватися в тому, що категорії  безкінечності належить важливе  місце в епоху античності. Про  загальну характеристику античного  вчення про нескінченність і піде мова далі.

Підсумовуючи сказане в основній частині реферату, дамо схему розвитку нескінченності від Парменіда до Арістотеля.

Представники античної філософії  десь приблизно до V ст. до н. е. користувались поняттям нескінченність, але не аналізували його. Здебільшого нескінченність виступала характеристикою першоматерії (наприклад, апейрон Анаксимандра), але виступала як щось невизначене і безмежне.

Представники елейської школи (Зенон, Анаксагор, Демокріт) також не вдавались  до аналізу поняття нескінченності, вони приділяли увагу питанням дослідження граничних переходів, безкінечних процесів, безперервності і т.п. Вже одне з перших відкриттів теоретичного характеру – виявлення несумірних величин – поставило завдання раціонального пояснення подібних проблем.

Деякі групи античних учених шукали вихід із цих утруднень у застосуванні до математики атомістичних філософських поглядів. Прикладом найбільш яскравого  вираження подібного підходу  є натурфілософська школа Демокріта. Демокріт вважав, що всі тіла складаються із малих атомів – першовеличин. Тіла розрізняються між собою за формою, положенням і способам з'єднання складових їхніх атомів. Деякі його висловлення про математичні нескінченно малі і про застосування їх до визначення деяких геометричних величин відзеркалюють його атомістичні погляди.

Однак про математични  бік подібних висловлень відомо занадто  мало. Набагато більше відомо про заперечення  їхніх наукових противників. Ми маємо  тут на увазі апорії Зенона, тобто  логічні парадокси, до яких приводять спроби одержувати неперервні величини з безкінечної безлічі нескінченно малих часток.

Більш детальне дослідження нескінченності здійснили Платон і Арістотель.

У міркуваннях Платона нескінченність виступає як можливість необмеженого збільшення або зменшення. Природа безкінечного полягає в тому, що воно є “безперестанний рух уперед”. У цій якості безмежне не може бути пізнано, тому що безкінечна безліч речей і їхніх ознак робить невизначеним наше мислення про неї. Завдання пізнання полягає не в тому, щоб фіксувати думку на межі або безмежному, а в тому, щоб знайти “проміжні члени”, ”кількісну визначенність властивостей і відношень”.

Арістотеля же цікавило не безкінечне як символ вічного царства ідей , а безкінечне в реальному світі. Предмет його дослідження: “Чи існує безкінечне і що воно таке?”. У відомому відношенні безкінечне існує, а в іншому відношенні – немає. Безкінечне не існує актуально, як безкінечне тіло або розмір, сприймані почуттями; безкінечне не є самостійним початком буття, як стверджував Платон; безкінечне не може існувати окремо від почуттєвих предметів. Безкінечне існує потенційно; безкінечне є рух - воно стає завжди іншим і іншим. Арістотель відхиляв існування безкінечного ряду причин, цілей, джерела руху.

Навколо ідеї математичної нескінченності вже в античності йшли гострі дискусії. Точка зору Демокрита, що розглядав геометричну пряму як складену із “неподільних” елементів нульової довжини, опинилася подорванною відкриттям (5 в. до н.е.) непорівнянних відрізків. У порядку подолання важкостей, що створилися, виникнули теорії пропорцій і так званий метод вичерпування, що фактично укладав у собі поняття межі. В основі цих ідей лежала відмова від атомістичних уявлень (у геометрії).