Контрольная работа по «Риски в страховании»

 

Пример № 1

Случайная величина колличество наступивших  страховых событий задана таблично . Колличество значений n= 5;

Xi
P(x)	0.01	0.2	0.5	0.2	0.05	0.04

 

X – - число наступивших случаев

Найти

M(x) =

М(Х) =(0*0,01) +(1*0,2)+ (2*0,5) + (3*0,2) + (4*0,05)+ (5*0,04) =2,2( 2)

D(x) = i

D(X) = *0.01 + *0.2 +*0.5 + *0.2+

+ *0.05 + *0.04 = 0.0484+ 0.288+ 0.02+ 0.128+ 0.162+ 0.3136 = 0.96

 

= = = 0.98 Вставить рисунок

5 Определение риска числа выплат по страховому портфелю (колличествао наступивших страх событий)построение гистограммы на основе биноминального закона

Под законом  распределения случайной величины  называется некое математическое действие ставящее в соответствии  значения случайных величин и вероятности  их появления.

Дискретная  случайная величина X имеет биноминальное распределение, если ее закон распределения описывается формулой Бернулли:

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события A при независимых испытаниях. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, выведшего формулу.

P(n;k) =

Где: - число сочетаний из n по k

q- заданный уровень вероятности

(1-q)- вероятность ненаступления

=

С помощью данного закона определяется вероятность конкретного числа  наступивших событий . По результатам  вычисления вероятностей строится график гистограмма распределения , по которой  определяется наибольший риск наступления  страховых событий и найденная  вероятность (расчетная) закладывается  в расчет неттоставки.

Нетто-ставка предназначена для формирования страхового фонда в его основной части, которая предназначена для страховых выплат в форме страхового возмещения и страхового обеспечения. Рассчитывается нетто-ставка исходя из вероятности нанесения страхователям ущерба.

Нагрузка к нетто-ставке составляет, как правило, меньшую часть брутто-ставки. Нагрузка к нетто-ставке включает три различных по назначению вида расходов, связанных со страховой деятельностью: административно-управленческие расходы, которые принято называть расходами на ведение дела; отчисления на предупредительные (превентивные) мероприятия; а также прибыль страховой компании

ПБ =

Тб= Тн +Но –брутто ставка

Тб=       Но- 30% - затраты на ведение дел

Тн = То + Тр

То= Р(А)*/ *100 (руб)

- средняя сумма  выплаты

- сумма по договору

Формула бернули как правило  используется при расчете нетто-ставок для новых страховых продуктов. В оперативных расчетах используется упрощенная теорема Муавра- Лапласа

Р(nk) = f(x) где :

n-число договоров

q- заранее установленный уровень вероятности наступления страхового события

р= 1-q

f(x)- плотность вероятности

х=

Пример 2 задача на на распределение  числовых выплат (  колличество наступивших  случаев ) по портфелю.

Предположим ,что число договоров  равно 150 (n= 150).,заданный уровень вероятности наступления страхового события q= 0.01. Построить гистограмму в диапазоне от 0 до 10

Р(nk) = f(x)   , х= ,     f(-x) = f(x)

Р(150;0) х0= = 1,23   р= 1-0,01 = 0,99

Р(nk)	x	f(x)
P(150.0)	X0 = 1.23	0.1872
P(150.1)	X1 = 1.22	0.1895
P(150.2)	X2 = 1.21	0.1919
P(150.3)	X3 = 1.2	0.1942
P(150.4)	X4 = 1.19	0.1965
P(150.5)	X5 = 1.19	0.1965
P(150.6)	X6 =1.18	0.1989
P(150.7)	X7 = 1.17	0.2012
P(150.8)	X8 = 1.16	0.1803
P(150.9)	X9 = 1.16	0.1803
P(150.10)	X10= 1.15	0.1826

Гистограмма распределения.

Вывод : по гистограмме определяем  максимальный риск числа выплат или  наступления страхового события.(max = P(150;7)

Определение вероятности( в фромулу нетто-ставки ) на основе экспоненциального закона. Определение  экспоненциального закона.

Тяжесть ущерба характеризуется непрерывными законами распределения 

- Равномерный закон распределения 

- Экспоненциальный закон распределения 

- Нормальный закон распределения

- Закон Вейбуля

Основным  законом распределения для определения  риска тяжести ущерба является экспоненциальный закон.

Определение : непрерывная случайная величина распределена по экспоненциальному  закону если ее плотность вероятности  f(x) имеет вид

f(x) =

λ-коэффициент формы кривой,  имеет экономический смыслобратный денежной единице т.е. λ =

е – основанеие натурального логарифма(

х – тяжесть ущерба(переменная)

F(x) =     F(x) = 1-

Каждый закон распределения  как ДВС так и НВС имеет  два параметра  и четыре статистические характеристики (математическое ожидание, дисперсия , среднеквадратическое отклонение, коэффициент вариации).

Исключения : для законов дискретных вместо параметров плотности вероятности  используются сама вероятность Р(А)

Статистические характеристики :

Экспоненциальный закон является уникальным законом где математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение равны между собой и будут равны.

 M(X) → E(X).   VAR(x).  k = *100

E(x) = = ;  VAR(x) =

 

 

 

6 Модель индивидуального риска

В модели предполагается деление рисков деление рисков в  соответствии с тем,  сколько раз  страховое событие может происходить  с одним объектом (страхователем) и следовательно сколько требований по возмещению может поступить по одному договору.

Различают два случая:

- страховое событие может произойти  с одним субъектом один раз  .

Типичным примером такого события  является смерть т.к. страховое событие  в этом случае может произойти  только один раз.

-страховое событие может произойти  более одного раза в пределах  одного договора( типичным примером  может послужить кража, авария, и т.д.)

 

Вывод: в  первом случае говорят об индивидуальном риске, во втором о коллективном.

Основные  предположения модели.

Будем рассматривать  портфель договоров страхования  имеющих одинаковую временную протяженность( равной единице времени 1 год) заключенных  в момент времени 0 и завершающихся  в момент времени 1.

Все договоры портфеля относятся к одному страховому событию.

Пусть:

1 число договоров в данном  портфеле фиксирована и неслучайна

2 риски клиентов независимы  между собой

3 плата за страховку вносится  страхователю полностью в начале  анализируемого периода (в момент 0)

4 распределение потерь(ущерба) для  всех договоров портфеля одинаковы

5 размер требования в случае  страхового события выплачивается  полностью и сразу (в момент  времени 1)

 В рамках  данной модели изучается состояние  активов страховых компаний к  моменту завершения действия  договора . а основная задача- расчет  фондов страхового возмещения.

Решение поставленной задачи даже в приближенных условиях обеспечивают финансовую устойчивость компании, а так же определения страхового взноса  по страховым рискам.

Основные  обозначения индивидуальной модели.

1 n – число договоров портфеля

2 - индекс( номер договора клиента)

3q – заранее (ретроспективно) установленная вероятность наступления страхового события

4 Nј – единица с вероятностью q

Nј=- индификатор страхового события для j-гоклиента

N – число договоров , по которым случился страховой случай

5 N= - общее число страховых событий (требования )в момент 1

6 Yj – возможность потери для j-го клиента

7Fyj – функция распределения потерь по договору

8  Y – ущерб потери,X - возмещение

9 U – размер основного страхового фонда или фонда возмещения

10 U0 – начальный страховой фонд, т.е. выполнять свои обязательства с вероятностью 0,5

            При изучении модели индивидуального риска пользуются не только экспоненциальным законом, но и нормальным законом.

           Основными задачами модели являются:

- ограничения обуславливающие  данный случай;

- расчет резерва страховых выплат (U);

- расчет сбалансированности (функции  устойчивости);

- размер страховой премии;

Выполнение  страховой компанией своих обязательств по требованиям о выплате с надежностью(Ɣ) (Ɣ- 0,8; 0,85; 0,9) можно обозначить следующей зависимостью:

P(U – X ≥ 0) = Ɣ – вероятность выполнения страховой компанией своих обязательств по страховому портфелю с надежностью Ɣ

Где

U – страховой фонд

Х – суммарное возмещение по страховому портфелю

Вероятность того что Х будет ≤ фтраховому фонду

  P(X≤U) = P( ≤)  = dx

dx- нормированная формула распределеня

f(x) = dx

Определение возмещения по индивидуальной модели

Y- ущерб;N- колличество страховых событий по договору

           X= Y*N

Но т.к. эти  величины случайные необходимо взять  их математическое ожидание EX

EX = EY*EN- математическое ожидание

Установим законы распределения для Y и для N

Для  N E(N) = nq

VARX = VARN*() + VARY*EN – дисперсия возмещения

          σ -   U≥ X – среднеквадратическое отклонение

= – путем решения интеграла по верхнему пределу ( тогда

U= * σ + EX

)* σ = L

L-фонд суммарной страховой нагрузки

U= L+EX

 

 

 

7 Пример индивидуального риска

Задача на индивидуальный риск

Пусть страховой  портфель состоит из 50 независимых  договоров (n= 40) . Потери по каждому договору имеют экспоненциальный характер с математическим ожиданием = 2 . А вероятность наступления страхового случая одинакова для всех договоров страхового портфеля q = 0.04. Требуемая надежность -0,95. Определить размер страхового фонда по формуле U= * σ + EX

По таблице  для надежности находим ) = 1,645

  Рещение

EY = = 2

EY= = , = 0,5

n = 40 . EN = 2 . EX = , =  VARX =    

Ex = nq

EY = = 2

Ex= 40*0.04*2 = 3.2 – среднее возмещение

 

VARX= VARN*EY + VARY*EN

VARX= nq(1-q) + (- )nq = 12.544

= = = 3.5

 

U= * σ + EX

U = 1.645*3.5 + 3.2 = 9 ден .ед.

 

 

 

 

Список литературы:

 

1 Страховая математика в примерах и задачах: Учебное пособие  Москва, 2007трахование /Сост. Бендина Н.В. – М., 2000

2 лекции  преподавателя

3 Шапкин А.С., Шапкин В.А. Теория риска и моделирование рисковых ситуаций: Учебник. – М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К», 2005. – 880 с.

4 Мельников А.В. Риск-менеджмент: стохастический анализ рисков в экономике финансов и страховании – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Анкил, 2003 – 159 с.