Основы научно - исследовательской деятельности и перспективы развития теплоэнергетической отрасли

– оценка дифференциального  влияния уровней параметров системы на показатель качества. Такая задача возникает в случае, когда параметры системы являются по своей природе качественными или когда количественные параметры могут принимать небольшое число различных значений.

Кроме указанных, существуют и других задачи, решаемые с помощью  ТПЭ, например:

– испытания  образцов техники. Планирование должно позволить оценить степень соответствия показателей качества образцов заданным требованиям при минимальном объеме испытаний;

– отсеивающие  эксперименты. Предназначены выявить параметры, незначительно влияющие на показатель качества системы. Соответствующие планы применяют на начальных этапах исследования, когда нет конкретных сведений о влиянии тех или иных параметров. Отсеивание несущественных факторов снижает трудоемкость решения задач оптимизации или приближенного аналитического описания системы;

– адаптивное планирование. Применяется в условиях управления технологическим процессом, когда система управления все время должна приспосабливаться к конкретным условиям функционирования, а возможно, и предсказывать дальнейшее развитие процесса.

В ТПЭ исследуемый  объект (реальный объект, модель объекта) рассматривается как «черный ящик», имеющий входы «х» (управляемые независимые параметры) и выходы «y».

Переменные «х» принято называть факторами. Теория ПЭ изучает только активный тип экспериментов, когда имеется возможность независимо и целенаправленно менять значения факторов «х» во всем требуемом диапазоне. Факторы в эксперименте бывают качественными и количественными. Будем считать, что все факторы являются количественными и представлены непрерывными величинами (если другое не оговорено особо). Переменным «х» можно сопоставить геометрическое понятие факторного пространства – пространства, координатные оси которого соответствуют значениям факторов. Совокупность конкретных значений всех факторов образует точку в многомерном факторном пространстве. Примерами факторов являются: интенсивность потока запросов к базе данных, скорость передачи данных по каналу, объем запоминающего устройств. Кроме того, на объект воздействуют возмущающие факторы, они являются случайными и не поддаются управлению.

Область применения планирования эксперимента распространяется на процессы и явления, зависящие от так называемых управляемых факторов, то есть факторов, которые можно изменять и поддерживать на заданных уровнях.

Основные направления  использования планирования эксперимента в химической технологии:

1) выделение так называемых  значимых факторов, существенно  влияющих на изучаемый процесс; 

2) получение математических  моделей объектов исследования (аппроксимационные  задачи);

3) поиск оптимальных  условий протекания процессов, то есть совокупности значений факторов, при которой заданный критерий оценки эффективности процесса имеет наилучшее значение (экстремальные задачи);

4) построение диаграмм  состав-свойство;

5) изучение кинетики  и механизма процессов.

Область планирования задается интервалами возможного изменения факторов v_i,min< v_i < v_i,max  для i =1, 2, …, k, где k – количество факторов.

Выделение значимых факторов осуществляется в ходе так называемого отсеивающего эксперимента. Число опытов в нем может быть больше, равно или меньше числа проверяемых факторов. Планы, отвечающие таким экспериментам, называют соответственно ненасыщенными, насыщенными или сверхнасыщенными. Ненасыщенные планы используют, если предварительному исследованию подлежат сравнительно небольшое число факторов (т < 6 - 7) и их возможные взаимодействия. Эффект взаимодействия двух или нескольких факторов проявляется при одновремемном их варьировании, когда влияние каждого фактора на отклик зависит от уровней, на которых находятся другие факторы. Ненасыщенные планы обычно включают значительное число опытов и поэтому достаточно трудоемки.

Рисунок 9 – Расположение точек в факторном пространстве

 в случае ПФЭ.

 

Насыщенные планы используют, если математическая модель предполагается в виде полинома (уравнения регрессии) 1-го порядка, общий вид которого может быть представлен выражением:

,      (7.1)

где y-отклик, b₀ и b_j-параметры модели.

Сверхнасыщенные планы  используют, если на процесс может  влиять большое число факторов и их взаимодействий. Наиболее часто с целью уменьшения их числа применяют метод случайного баланса, позволяющий применять эксперименты, в которых значения факторов распределены по уровням случайным образом. Метод имеет высокую разрешающую способность (возможность выделять сильно влияющие факторы), но малую чувствительность (то есть способность выделять значимые параметры модели, характеризующие факторы, которые имеют относительно слабое влияние). Используют также метод последовательного отсеивания: все изучаемые факторы на основе априорной информации подразделяют на группы, каждую из которых в дальнейшем рассматривают как отдельный комплексный фактор. В зависимости от полученной при этом информации остальные факторы снова разбивают на группы и выполняют новый цикл расчетов.

Аппроксимационные задачи. Для учета нелинейностей объекта исследований его мат. описание часто получают в виде полинома 2-го порядка, который в общем виде выражается формулой:

.  (7.2)

 

Например, полином 2-го порядка для двух факторов записывается следующим образом:

.   (7.3)

 

Для нахождения параметров таких моделей недостаточно варьирования значений факторов на двух уровнях, поскольку  нелинейность не может быть определена двумя точками. Поэтому для указанных моделей обычно применяют так называемые композиционные планы, включающие изменения факторов более чем на двух уровнях, что позволяет использовать их для построения моделей порядка выше первого. Общий алгоритм решения аппроксимационной задачи включает этапы.

1) Выбирают число существенных  факторов, их средние значения  и интервалы варьирования-эта  информация может быть получена  после проведения отсеивающего  эксперимента или на основании  знаний и интуиции исследователя.

2) Строят матрицу плана на начальном этапе исследования в зависимости от числа факторов выбирают, как правило, планы 1-го порядка (ПФЭ или ДФЭ).

3) Рандомизируют опыты  - для уменьшения влияния систематических  ошибок опыты проводят в условиях, соответствующих строкам матрицы  плана, выбираемым в случайном порядке (целесообразность такого приема подтверждена на практике).

4) Обрабатывают полученные  результаты - рассчитывают параметры  и составляют уравнение регрессии,  оценивают значимость параметров  и проверяют адекватность (т.е.  соответствие) полученной математической модели имеющимся экспериментальными данным. Для проверки адекватности модели анализируют разность между опытными значениями и значениями отклика, предсказанными по полученной математической модели в разных точках факторного пространства. В качестве последних могут быть взяты как точки плана (при ненасыщенных планах), так и дополнительные точки. Последние обычно выбирают в области, представляющей наибольший интерес, либо располагают таким образом, чтобы полученные результаты можно было использовать для построения более точной модели высокого порядка.

5) Принимают решение  о дальнейших действиях: если  на этапе 4 получено адекватное  уравнение регрессии, вывод аппроксимационной  зависимости на этом заканчивают;  в противном случае выясняют причину неадекватности и проводят новую серию экспериментов с использованием планов 1-го порядка (уменьшают интервалы варьирования факторов, включают в мат. модель новый фактор и т.д.) или более высоких порядков (выбор определяется целями исследователя).

В результате проверки адекватности модель может оказаться неадекватной вследствие того, что:

а) в нее включены не все факторы, существенно влияющие на процесс. В этом случае выбирают более полную модель и для определения  ее параметров строят, реализуют и обрабатывают новую матрицу планирования;

б) не учтены эффекты взаимодействия разных факторов. Для их учета предполагаемые взаимодействия включают в модель и, если позволяет исходный план (число  опытов не менее числа определяемых параметров новой модели), повторно обрабатывают результаты эксперимента. Если начальный план не дает возможности провести такую обработку (п < т), выполняют дополнительные опыты с расширенным планом (например, от полуреплики переходят к ПФЭ и т.п.), причем реализуются только те опыты, которые не входили в исходный план;

в) принятый порядок модели ниже требуемого. Для проверки необходимо расширить используемый композиционный план, включив опыты, обеспечивающие получение модели более высокого порядка. Если модель высшего порядка будет адекватной, то это предположение подтверждается.

Экстремальные задачи имеют целью определить наилучшее значение целевой функции, в качестве которой принимают значение интересующей исследователя характеристики процесса. Такие задачи могут быть решены по крайней мере двумя способами: с построением и без построения математической модели.

Планирование эксперимента с построением математической модели процесса. На основе выбранного плана строят модель, отвечающую рассматриваемому отклику, и, используя ее, с помощью известных методов поиска экстремума находят значения факторов, при которых целевая функция, определенная по модели, будет экстремальной. Если найденные значения факторов, соответствующие экстремальной точке, лежат на границе примененного плана, область планирования либо смещается, либо расширяется и строится новая модель, после чего поиск экстремума повторяется. Задача считается решенной, если вычисленные координаты точки экстремума находятся внутри области, характеризуемой использованным планом.

Непосредственный  эксперимент на объекте (без построения модели). Стратегия проведения опытов определяется выбранным методом оптимизации. При этом значение целевой функции вычисляют не по модели, а находят непосредственно из опыта, выполненного в соответствующих условиях. Наиболее часто для поиска наилучшего значения целевой функции используют последовательный симплексный метод, метод Гаусса-Зейделя и т.п.

 

8. Обработка результатов эксперимента

 

Особое место отведено анализу эксперимента – завершающей  части, на основе которой делают вывод о подтверждении гипотезы научного исследования. При обработке результатов измерений и наблюдений широко используют методы графического изображения. Графическое изображение дает наиболее наглядное представление о результатах экспериментов, позволяет лучше понять физическую сущность исследуемого процесса, выявить общий характер функциональной зависимости изучаемых переменных величин, установить наличие максимума или минимума функции.

Для графического изображения результатов измерений (наблюдений), как правило, применяют систему прямоугольных координат. Точки на графике необходимо соединять плановой линией так, чтобы они по возможности ближе проходили ко всем экспериментальным точкам. Если соединить точки прямыми отрезками, то получим ломаную кривую. Она характеризует изменение функции по данным эксперимента. Обычно функции имеют плавный характер. Поэтому при графическом изображении результатов измерений следует проводить между точками плавные кривые.

Резкое искривление  графика объясняется погрешностями измерений.

При графическом изображении  результатов экспериментов большую  роль играет выбор системы координат  или координатной сетки.

Координатные сетки  бывают равномерными и неравномерными. У равномерных координатных сеток  ординаты и абсциссы имеют равномерную шкалу. Например, в системе прямоугольных координат длина откладываемых единичных отрезков на обеих осях одинаковая.

Большое значение имеет  выбор масштаба графика, что связано  с размерами чертежа и соответственно с точностью снимаемых с него значений величин. Масштаб по координатным осям обычно применяют разный. От его выбора зависит форма графика – он может быть плоским (узким) или вытянутым (широким) вдоль оси.

На основе экспериментальных  данных можно подобрать алгебраические выражения, которые называют эмпирическими формулами. Эмпирические формулы имеют тем большую ценность, чем больше они соответствуют результатам эксперимента.

Необходимость в подборе  эмпирических формул возникает во многих случаях. К эмпирическим формулам предъявляют два основных требования – по возможности они должны быть наиболее простыми и точно соответствовать экспериментальным данным в пределах изменения аргумента.

Замену точных аналитических  выражений приближенными, более простыми, называют аппроксимацией, а функции – аппроксимирующими.

Процесс подбора эмпирических формул состоит из двух этапов. На первом этапе данные измерений наносят  на сетку прямоугольных координат, соединяют экспериментальные точки  плавной кривой и выбирают ориентировочно вид формулы. На втором этапе вычисляют параметры формул, которые наилучшим образом соответствовали бы принятой формуле. Подбор эмпирических формул необходимо начинать с самых простых выражений.