Экспоненциальное сглаживание во временных рядах

Содержание 

Введение ………………………………………………………….2-4

1.Экспоненциальное сглаживание во временных рядах.

1.1 Простое экспоненциальное сглаживание  во временных рядах…5

1.2Выбор лучшего параметра –  альфа………………………………..6

1.3Индексы качества подгонки………………………………………7-9

1.4 Сезонная и несезонная модели с трендом или без тренда ……10-13

2.Понятие и основные показатели временного ряда

2.1Понятие временного ряда и формирующие его факторы……14-17

2.2 Основные показатели временного ряда…………………….18-21

Заключение ………………………………………………………

Практическая  часть………………………………………………22-

Список использованной литературы……………………………

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РЕГРЕССИОННЫЕ МОДЕЛИ С ПЕРЕМЕННОЙ СТРУКТУРОЙ

Линейная регрессия (англ. Linear regression) — используемая в статистике регрессионная модель зависимости одной (объясняемой, зависимой) переменной y от другой или нескольких других переменных (факторов, регрессоров, независимых переменных) x с линейной функцией зависимости.

Модель линейной регрессии  является часто используемой и наиболее изученной в эконометрике. А именно изучены свойства оценок параметров, получаемых различными методами при предположениях о вероятностных характеристиках факторов, и случайных ошибок модели. Предельные (асимптотические) свойства оценок нелинейных моделей также выводятся исходя из аппроксимации последних линейными моделями. Необходимо отметить, что с эконометрической точки зрения более важное значение имеет линейность по параметрам, чем линейность по факторам модели.

Регрессионная модель

где -параметры модели, - случайная ошибка модели, называется линейной регрессией, если функция регрессии имеет вид

где - параметры (коэффициенты) регрессии, - регрессоры (факторы модели), k- количество факторов модели.

Коэффициенты линейной регрессии  показывают скорость изменения зависимой переменной по данному фактору, при фиксированных остальных факторах (в линейной модели эта скорость постоянна):

Параметр  , при котором нет факторов, называют часто константой. Формально - это значение функции при нулевом значении всех факторов. Для аналитических целей удобно считать, что константа - это параметр при "факторе", равном 1 (или другой произвольной постоянной, поэтому константой называют также и этот "фактор"). В таком случае, если перенумеровать факторы и параметры исходной модели с учетом этого (оставив обозначение общего количества факторов - k), то линейную функцию регрессии можно записать в следующем виде, формально не содержащем константу:

- вектор регрессоров,  - вектор-столбец параметров (коэффициентов)

Линейная модель может  быть как с константой, так и  без константы. Тогда в этом представлении  первый фактор либо равен единице, либо является обычным фактором соответственно.

В классической линейной регрессии  предполагается, что наряду со стандартным условием выполнены также следующие предположения (условия Гаусса-Маркова):

1) Гомоскедастичность (постоянная или одинаковая дисперсия) или отсутствие гетероскедастичности случайных ошибок модели:

2) Отсутствие автокорреляции случайных ошибок:

Данные предположения  в матричном представлении модели формулируются в виде одного предположения о структуре ковариационной матрицы вектора случайных ошибок:

Помимо указанных  предположений, в классической модели факторы предполагаются детерминированными (нестохастическими). Кроме того, формально требуется, чтобы матрица имела полный ранг ( ), то есть предполагается, что отсутствует полная коллинеарность факторов.

При выполнении классических предположений обычный метод наименьших квадратов позволяет получить достаточно качественные оценки параметров модели, а именно: они являются несмещёнными, состоятельными и наиболее эффективными оценками.

Модели регрессии с переменной структурой. Фиктивные переменные

При построении модели регрессии  может возникнуть ситуация, когда  в неё необходимо включить не только количественные, но и качественные переменные (например, возраст, образование, пол, расовую принадлежность и др.).

Фиктивной переменной (dummy variable) называется атрибутивный или качественный фактор, представленный посредством определённого цифрового кода.

Наиболее наглядным примером применения фиктивных переменных является модель регрессии, отражающая проблему разрыва в заработной плате у мужчин и женщин.

Предположим, что на основе собранных данных была построена  модель регрессии, отражающая зависимость заработной платы рабочих y от их возраста х:

yt=β0+β1xt.

Однако данная модель регрессии  не может в полной мере охарактеризовать вариацию результативной переменной. Поэтому в модель необходимо ввести дополнительный фактор, например пол, на основании предположения о том, что у мужчин в среднем заработная плата выше, чем у женщин. В связи с тем, что переменная пола является качественной, её необходимо представить в виде фиктивной переменной следующим образом:

С учётом новой фиктивной  переменной модель регрессии примет вид:

y=β0+β1x+β2D,

где β2 – это коэффициент, который характеризует в среднем разницу в заработной плате у мужчин и женщин.

Моделью регрессии с переменной структурой называется модель регрессии, которая включает в качестве факторной переменной фиктивную переменную.

Рассмотрим модель регрессии, характеризующую зависимость переменной размера заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием. Качественная переменная «образование» может принимать три значения: среднее, среднее специальное и высшее. Для включения факторной переменной «образование» в модель регрессии, необходимо ввести две новых фиктивных переменных, потому что их количество должно быть на единицу меньше, чем значений качественной переменной.

Следовательно, качественная переменная «образование»  может быть представлена в виде:

Модель регрессии, характеризующая  зависимость переменной размера  заработной платы у от переменной стажа работников х с различным образованием, примет вид:

y=β0+β1x+β2D1+ β3D2.

Моделью регрессии без  ограничений (unrestricted regression) называется модель регрессии, в которую включены все фиктивные переменные.

Базисной моделью или  регрессией с ограничениями (restricted regression) называется модель регрессии, в которой все значения фиктивных переменных равны нулю.

Для нашего примера  модель регрессии вида y=β0+β1x+β2D1+β3D2будет являться моделью регрессии без ограничений, а модель регрессии вида y=β0+β1x при D1= D2=0 будет являться моделью регрессии с ограничениями. Базисная модель регрессии соответствует регрессионной зависимости заработной платы рабочих со средним образованием от стажа работы.

Для модели регрессии  без ограничений можно также  построить частные регрессии. Например, частная модель регрессии переменной заработной платы работников со средним специальным образованием от переменной стажа:

y=β0+β1x+β2D1,

где β2 — это коэффициент, который характеризует, насколько большую заработную плату получают рабочие со средним специальным образованием по сравнению с работниками со средним образованием при одинаковом стаже работы.

Частная модель регрессии переменной заработной платы  работников с высшим образованием от переменной стажа:

y=β0+β1x+β3D2,

где β3  – это коэффициент, который характеризует, насколько большую заработную плату получают рабочие с высшим образованием по сравнению с рабочими со средним образованием при одинаковом стаже работы.

Оценки неизвестных  коэффициентов моделей регрессии  с переменной структурой рассчитываются с помощью классического метода наименьших квадратов.

Введение в  регрессию фиктивных переменных существенно улучшает качество ее оценивания. При этом точка зрения каждого экономиста очень индивидуально влияет на поиск оптимальной модели.

Построение  регрессионных моделей с переменной структурой обу-славливается необходимостью включения факторов, имеющих два  или бо-лее качественных уровня. Для преобразования качественных значений факторов в количественные конструируются фиктивные (структурные) пе-ременные. Введение таких переменных в регрессионную модель и делает ее структуру переменной.

Регрессионная модель, описывающая зависимость  цены двухкомнат-ной квартиры от ее полезной площади, определяется уравнением регрессии с фиктивными переменными:

ŷ = 320 + 500х + 2200·z1 + 1600·z2 (амер. долл.),

где х – полезная площадь квартиры, м2;

z1 – фиктивная переменная: z = 1 – для панельного дома, z = 0 – для всех остальных типов домов;

z2 – фиктивная переменная: z = 1 – для кирпичного дома, z = 0 – для всех остальных типов домов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№ п/п	Районы  города		хi	уi
1	Павловский		3,3	4,4
2	Кронштадт		6,2	8,1
3	Ломоносовский		8,1	12,9
4	Курортный		18,3	20,8
5	Петродворец		20,2	15,5
6	Пушкинский		23,1	28,8
7	Красносельский		39,0	37,5
8	Приморский		49,1	48,7
9	Колпинский		60,1	68,6
10	Фрунзенский		74,2	104,6
11	Красногвардейский		79,0	90,5
12	Василеостровский		95,0	88,3
13	Невский		106,0	132,4
14	Петроградский		112,2	122,0
15	Калининский		115,0	99,1
16	Выборгский		125,1	114,2
17	Кировский		132,0	150,6
18	Московский		149,0	156,1
19	Адмиралтейский		157,0	209,5
20	Центральный		282,0	342,9
Итого		1653,9		1855,5

Имеются статистические данные поступления налогов в консолидиро-ванный бюджет Санкт-Петербурга (у, млрд руб.) в зависимости от числен-ности работающих на крупных и средних предприятиях (х, тыс. чел.) рай-онов за 2007 г. (см. табл.).

 

Данная зависимость  может быть описана уравнением линейной пар-ной регрессии вида:

ŷх = –4,565 + 1,178·х.

 

Общий вид нормальной (традиционной или классической) линейной модели парной (однофакторной) регрессии (Classical Normal Regression Model):

yi=β0+β1xi+εi,

где yi– результативные переменные,

xi – факторные переменные,

β0, β1 – параметры модели регрессии, подлежащие оцениванию;

εi – случайная ошибка модели регрессии.

При построении нормальной линейной модели парной регрессии учитываются пять условий:

1) факторная переменная  xi – неслучайная или детерминированная величина, которая не зависит от распределения случайной ошибки модели регрессии εi;

2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:

3) дисперсия случайной  ошибки модели регрессии постоянна  для всех наблюдений:

4) между значениями случайных  ошибок модели регрессии в  любых двух наблюдениях отсутствует  систематическая взаимосвязь, т.  е. случайные ошибки модели  регрессии не коррелированны  между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю): Cov(εi,εj)=E(εi,εj)=0 (). Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;

5) на основании третьего  и четвёртого условий часто  добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: εi~N(0, G2).

Общий вид нормальной линейной модели парной регрессии в матричной форме:

Y= X* β+ ε,

где

– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности n x 1;

– матрица значений факторной переменной размерности n x 2. Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;

– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности 2 x 1;