Экспоненциальное сглаживание во временных рядах

 

β1=(y̅ z̅ - y̅* z̅)/ Sx^2

β1=(71.97- 164.8*0.03)/3.8²=4.65

β0= y̅ - β1 * z̅

β0=164.8-34.8*0.03=164.6

Получено уравнение: yi=164,6+4,65*1/t

 

pxy=0.78

A̅i=1/15*3.05/1762*100=0.0103

               По уравнению показательной кривой получена наибольшая оценка тесноты связи: рxy= 0.59 (по сравнению с линейной, степенной регрессиями и равносторонней гиперболой). A остается на допустимом уровне: 0.0103%.

F набл= pxy² /(1- pxy²)*(m-n-1)/n

F набл= 0,608 /(1-0,608)*13=26.17

          где Fтабл = 4,67< Fнабл, при а = 0,1

                    Следовательно, основная гипотеза о незначимости коэффициентов уравнения регрессии или парного коэффициента детерминации отвергается, и уравнение регрессии признается значимым.

 

 

Задача №3.

У семи сотрудников предприятия  собраны данные (табл. 3) об их среднемесячной зарплате (Y), возрасте (X1) и стаже работы (X2).

1. С помощью метода наименьших  квадратов (МНК) оценить параметры линейной модели вида , влияния возраста и стажа работы на среднемесячную зарплату;

2. Оценить параметры построенной  модели;

3. Рассчитать коэффициент детерминации.

Х1	43	55	43	68	33	52	34
Х2	10	15	8	17	6	13	7
Y	1850	2250	1700	2450	1650	2050	1600

 

 

 

 

Решение

1. МНК–оценки параметров a0, a1 и a2 можно получить, решив систему нормальных уравнений, которая в данном случае имеет вид:

 

	x1x2	yx1	yx2	x12	x22
1	430	79550	18500	1849	100
2	825	123750	33750	3025	225
3	344	73100	13600	1849	64
4	1156	166600	41650	4624	289
5	198	54450	9900	1089	36
6	676	106600	26650	2704	169
7	238	54400	11200	1156	49
∑	3867	658450	155250	16296	932

 

 

Решим систему методом Крамера.

Переходим к  рассмотрению правила Крамера для  системы трех уравнений с тремя  неизвестными:

Находим главный  определитель системы:

 

D=7*16296*932+328*3867*76+328*3867*76-76*16296*76-3867*3867*7-328*328*932= 38449

Т.к. D≠0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:

D₁=13550*16296*92+658450*3867*76+328*3867*155250-76*16296*155250-3867*3867*13550-658450*328*932= 39705850

D₂= 7*658450*932+328*155250*76+13550*3867*76-76*658450*76-155250*3867*7-328*13550*932= 186150

D₃= 7*16296*155250+328*3867*13550+328*658450*76-76*16296*13550-328*328*155250-3867*658450*7= 2394550

И, наконец, ответ  рассчитывается по формулам:

β₁  = 1032,6

β₂ = 4,84

β₃ = 62,2

Решив систему  уравнений, получим, что уравнение регрессии имеет вид:

 

1. Проверим значимость полученного уравнения регрессии по критерию Фишера. Расчётный критерий Фишера для нашей выборки равен:

Проведем промежуточные  расчеты и заполним таблицу, где:

1	1862,72	-12,72	85,71429	161,79	7346,938776
2	1448,8	801,2	-314,286	641921,44	98775,5102
3	1320,72	379,28	235,7143	143853,31	55561,22449
4	1531,72	918,28	-514,286	843238,15	264489,7959
5	1252,32	397,68	285,7143	158149,8	81632,65306
6	1414,28	635,72	-114,286	404139,91	13061,22449
7	1267,16	332,84	335,7143	110782,45	112704,0816
∑				2302246,85	633571,4286

 

 

 

Рассчитать  наблюдаемый критерий Фишера и произвести сравнения с табличным значением  для проверки гипотезы о значимости регрессии линейного уравнения.

Для измерения  тесноты связи между двумя  из рассматриваемых переменных (без учёта их взаимодействия с другими переменными) применяют парные коэффициенты корреляции. Если известны средние квадратичные отклонения анализируемых величин, то парные коэффициенты корреляции можно рассчитать по следующим формулам:

	y2
1	3422500
2	5062500
3	2890000
4	6002500
5	2772500
6	4202500
7	2560000
∑	=3844642,8

 

В реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны.

Теснота этой связи  определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: при исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого  порядка между признаками x1 и y при исключении влияния признака x2 вычисляется по формуле:

 

аналогично –зависимость y от x2 при исключении влияния признака x1:

 

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков  при устранении влияния результативного  признака:

 

2. Показателем  тесноты связи, устанавливаемой  между результативными и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции. В случае линейной двухфакторной связи (как в нашей задаче) совокупный коэффициент множественной корреляции может быть рассчитан по формуле:

Следовательно, корреляционная связь является интенсивной.

 

 

 

 

Список использованной литературы

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем. – М.: Финансы и статистика, 2003. – 368 с.  
2. Елисеева И.И. Эконометрика. – М.: «Финансы и статистика», 2004 г. – 344 с. 
3. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике. – М.: «Финансы и статистика», 2004 г. – 192 с. 
4. Ефимова О.В. Финансовый анализ. – М.: Финансы и статистика, 2002. – 656 с.
5. К. Доугерти. Введение в эконометрику. - М., ИНФРА-М, 2000.
6. Айвазян С.А. Основы эконометрики. Т.2. - М.: Юнити, 2001
7. Я. Магнус, П. Катышев, А. Пересецкий. Эконометрика. Начальный курс. - М., v Дело, 2000.
8. Анатольев С. Курс лекций Эконометрика-4, РЭШ,2003 (электронное издание). 
9. Моргенштерн О. О точности экономико-статистических наблюдений. - М.: Статистика, 1968. - 324 с.