Экспоненциальное сглаживание во временных рядах

– случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности n x 1.

Условия построения нормальной линейной модели парной регрессии, записанные в матричной форме:

1) факторная  переменная xi – неслучайная или детерминированная величина, которая не зависит от распределения случайной ошибки модели регрессии βi;

2) математическое ожидание  случайной ошибки модели регрессии  равно нулю во всех наблюдениях:;

3) третье и четвёртое  условия можно записать через  ковариационную матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели парной регрессии:

 

где G2 – дисперсия случайной ошибки модели регрессии ε;

In – единичная матрица размерности n x n.

Определение. Ковариацией называется показатель тесноты связи между переменными х и у, который рассчитывается по формуле:

где

– среднее арифметическое значение произведения факторного и результативного признаков;

Основными свойствами показателя ковариации являются:

а) ковариация переменной и константы равна нулю, т. е. cov(x,C)=0 (C=const);

б) ковариация переменной с самой собой равна дисперсии переменной, т. е. Cov(ε,ε)=G2(ε). По этой причине на диагонали ковариационной матрицы случайных ошибок нормальной линейной модели парной регрессии располагается дисперсия случайных ошибок;

4) случайная  ошибка модели регрессии подчиняется нормальному закону распределения: εi~N(0, G2).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                 Практическая часть

 

 Задание № 1

1. Построить поле корреляции, сформулировать гипотезу о форме связи и построить эмпирическую линию регрессии (линию тренда).

 

Рассмотрим пример использования  данных функций. Исходные данные, в  которых содержатся цена и спрос  на некоторый товар, представлены в  таблице 1.

	x	y
1	35,09	175,18
2	40,21	186,31
3	30,28	158,68
4	25,49	141,91
5	33,04	163,61
6	33,62	163,07
7	39,70	183,59
8	35,91	167,09
9	30,92	153,67
10	33,45	162,09
11	37,31	168,70
12	39,33	168,96
13	37,60	167,60
14	35,69	157,61
15	34,26	153,77

 

 С помощью возможностей программного комплекса Exсel построим поле корреляции. Для этого необходимо задать точечную диаграмму (диаграмма обязательно должна быть точечной), и выбрав произвольную точку в контекстном меню, можно выбрать пункт Добавить линию тренда. Хотя термин «тренд» имеет несколько другой смысл, применительно к временным рядам, в данном случае термины «тренд» и «линия регрессии» будем отождествлять друг с другом.

Построив точечную диаграммы для данных, заданных в  таблице 1, и линию тренда, можно  получить диаграмму, которая изображена на рисунке 1.

Рис. 1.

В данном случае можно сформулировать гипотезу о наличии связи между ценой и спросом на товар, носящей скорее всего линейный характер.

 

2. Построить уравнение регрессии зависимости У от X рассчитать параметры линейной, степенной, показательной функции и выбрать оптимальную модель (провести оценку моделей через среднюю ошибку аппроксимации (А) и F- критерий Фишера.

2.1 Линейная модель 

В модели парной линейной регрессии зависимость между переменными в генеральной совокупности представляется в виде:

y_{i =}  β₀ + β₁ * x_i + e_i

где yi — зависимые переменные,

xi — независимые переменные;

β0, β1 — параметры уравнения  регрессии, подлежащие оцениванию;

e_i — случайная ошибка модели регрессии.

На основании выборочного наблюдения оценивается выборочное уравнение  регрессии (линия регрессии):

y_i = β₀ + β₁ * x_i

Неизвестные значения ( β₀ ,β₁ ) определяются методом наименьших квадратов (МНК), вычисление которых сводиться к разрешение системы уравнений:

 

 

Решением системы нормальных уравнений  являются оценки неизвестных параметров уравнения регрессии β0 и β1:

 

= =

 1.07

 

=164.8-1.07*34.8=127.5

 

где — среднее значение зависимого признака; y

— среднее значение независимого признака; x

— среднее арифметическое значение произведения зависимого и независимого признаков. xy

Для удобства расчетов сделаем промежуточные расчеты  и внесем их в таблицу вида:

	x	y	х*у	Х2	У2
1	35,09	175,18	6146,993	1231,308	30687,297	165,0463
2	40,21	186,31	7491,501	1616,844	34711,193	170,5247
3	30,28	158,68	4804,679	916,8784	25177,756	159,8996
4	25,49	141,91	3617,396	649,7401	20139,669	154,7743
5	33,04	163,61	5405,816	1091,642	26769,639	162,8528
6	33,62	163,07	5482,35	1130,304	26591,205	163,4734
7	39,70	183,59	7288,471	1576,09	33704,811	169,979
8	35,91	167,09	6000,119	1289,528	27918,299	165,9237
9	30,92	153,67	4751,473	956,0464	23614,438	160,5844
10	33,45	162,09	5422,031	1118,903	26274,335	163,2915
11	37,31	168,70	6294,227	1392,036	28459,96	167,4217
12	39,33	168,96	6645,059	1546,849	28546,299	169,5831
13	37,60	167,60	6301,858	1413,76	28090,632	167,732
14	35,69	157,61	5624,944	1273,776	24839,525	165,6883
15	34,26	153,77	5268,266	1173,748	23646,166	164,1582
итого	521,90	2 471,84	86 545,18	18 377,45	409 171,22	2470,933

 

Подставив данные из таблицы в формулы и произведя расчеты получим линейную модель зависимости y от x имеет вид:

yi =127,5+1,07*хi

 

3. Для определения силы взаимосвязи линейны коэффициент парной корреляции.

Коэффициентом корреляции (r) характеризует тесноту связи и рассчитывается по формуле:

Sy — выборочное среднеквадратическое отклонение зависимой переменной y. Этот показатель характеризует, на сколько единиц в среднем отклоняются значения зависимого признака y от его среднего значения. Он вычисляется по формуле:

 = =10.91

= =3.8

 

Коэффициент корреляции лежит в пределах -1< r <1. В случае если r=0, связи нет. Если , то между двумя величинами существует сильная функциональная связь. При положительном r наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной - x увеличивается зависимая - y. При отрицательном коэффициенте существует обратная связь, с увеличением независимой переменной зависимая переменная уменьшается. Связь считается сильной при , средней при 0,50 , умеренной при 0,30 , слабой при 0,20 , очень слабой при

Рассчитаем  линейный коэффициент парной корреляции:

rxy=

=0.8

Что свидетельствует  о слабой обратной связи.

Для оценки качества построенного уравнения  рассчитаем коэффициент детерминации и среднюю ошибку аппроксимации.

Коэффициент детерминации указывает, какой процент вариации функции Y объясняется воздействием фактора Х. Коэффициент детерминации изменяется от 0 до 1, и чем ближе значение данного коэффициента к 1, тем удачнее выбранная форма регрессионной зависимости аппроксимирует данные. В разобранном примере для линейной модели коэффициент детерминации равен:

 0.64

Показатель средней  ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:

 = *100%=0.0024

Максимально допустимым значением данного показателя считается 12—15%. Если средняя ошибка аппроксимации составляет менее 6—7%, то качество модели считается хорошим.

Величина средней  ошибки аппроксимации А составляет 2,4 %, что свидетельствует о среднем качестве модели.

Проверка значимость полученных с  помощью метода наименьших квадратов оценок коэффициентов регрессии, значимость парного линейного коэффициента корреляции и уравнения регрессии в целом с помощью статистических гипотез.

При проверке значимости (предположения того, что параметры отличаются от нуля) коэффициентов регрессии выдвигается основная гипотеза H₀ о незначимости полученных оценок, например:

в качестве альтернативной (или обратной) выдвигается гипотеза о значимости коэффициентов регрессии, например:

 

Выдвинутые  гипотезы проверяются следующим  образом:

1) если модуль  наблюдаемого значения t-критерия  больше критического значения t-критерия, т. е. |tнабл| > tкрит, то с вероятностью (1 −α) или γ основную гипотезу о незначимости параметров регрессии отвергают, т. е. параметры регрессии не равны нулю;

2) если модуль  наблюдаемого значения t-критерия  меньше или равен критическому значению t-критерия, т. е. |tнабл| ≤tкрит, то с вероятностью α или (1 −γ) основная гипотеза о незначимости параметров регрессии принимается, т. е. параметры регрессии почти не отличаются от нуля или равны нулю.

Формула наблюдаемого значения t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы имеет вид:

 

 

 

 

где — оценка параметра регрессии β₁;

ω(β1) — величина стандартной ошибки параметра регрессии β1.

	x	y	х*у	Х2	У2		y-	y- ^2	xi-	xi- ^2
1	35,09	175,18	6146,993	1231,308	30687,297	165,0463	10,13	72,52858	0,29	35,0059
2	40,21	186,31	7491,501	1616,844	34711,193	170,5247	15,78	-62,8474	5,41	10,9419
3	30,28	158,68	4804,679	916,8784	25177,756	159,8996	-1,22	157,1754	-4,52	9,8496
4	25,49	141,91	3617,396	649,7401	20139,669	154,7743	-12,86	-23,4653	-9,31	-61,1861
5	33,04	163,61	5405,816	1091,642	26769,639	162,8528	0,76	163,0344	-1,76	29,9424
6	33,62	163,07	5482,35	1130,304	26591,205	163,4734	-0,41	162,9038	-1,18	32,2276
7	39,70	183,59	7288,471	1576,09	33704,811	169,979	13,61	-1,63523	4,90	15,69
8	35,91	167,09	6000,119	1289,528	27918,299	165,9237	1,16	165,7328	1,11	34,6779
9	30,92	153,67	4751,473	956,0464	23614,438	160,5844	-6,91	105,8596	-3,88	15,8656
10	33,45	162,09	5422,031	1118,903	26274,335	163,2915	-1,20	160,6586	-1,35	31,6275
11	37,31	168,70	6294,227	1392,036	28459,96	167,4217	1,28	167,0647	2,51	31,0099
12	39,33	168,96	6645,059	1546,849	28546,299	169,5831	-0,63	168,5639	4,53	18,8091
13	37,60	167,60	6301,858	1413,76	28090,632	167,732	-0,13	167,5859	2,80	29,76
14	35,69	157,61	5624,944	1273,776	24839,525	165,6883	-8,08	92,27556	0,89	34,8979
15	34,26	153,77	5268,266	1173,748	23646,166	164,1582	-10,39	45,9228	-0,54	33,9684
итого	521,90	2 471,84	86 545,18	18 377,45	409 171,22	2470,933	0,90	1541,358	-0,10	303,0876

 

В случае парной линейной модели регрессии показатель вычисляется следующим образом:

= = 0.68

Числитель стандартной  ошибки может быть рассчитан через  парный коэффициент детерминации как:

=374.05

 

Вычисляя критического значения t-критерия, получили tнабл=0,275 и сравниваем с критическими tкрит, которые определяют по таблице распределения Стьюдента с учётом принятого уровня значимости α=0,05 и числом степеней свободы вариации n–2 (15-2=13), получили tкрит=1,771.

Наблюдаемое значение t-критерия по модулю меньше его критического значения, т. е. |t_набл| < t_крит. Таким образом, коэффициент парной регрессии β₁ оказался не значимым.

Формула наблюдаемого значения t-критерия Стьюдента для  проверки гипотезы имеет вид:

где — оценка параметра регрессии β0;

ω(β0) — величина стандартной ошибки параметра регрессии β0.

В случае парной линейной модели регрессии показатель вычисляется следующим образом:

=

=23.7

Проверка гипотезы о значимости парного линейного коэффициента корреляции

При проверке значимости коэффициента корреляции между независимым  признаком x и зависимым признаком y (предположения того, что изучаемый параметр отличается от нуля), выдвигается основная гипотеза H₀ о его незначимости: ; в качестве альтернативной (или обратной) выдвигается гипотеза H₁ о значимости коэффициента корреляции:

.

Для проверки выдвинутых гипотез используется t-критерий (t-статистику) Стьюдента.

Критическое значение t-критерия t_крит(α; n−h), где α — уровень значимости, (n − h) — число степеней свободы, определяется по таблице распределений t-критерия Стьюдента.

Формула значения t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы

 

- величина стандартной ошибки парного выборочного коэффициента корреляции.

При линейной парной модели регрессии эта величина рассчитывается как:

=

=0.17

 

Подставим данную формулу в выражение для расчета  наблюдаемого значения t-критерия Стьюдента для проверки гипотезы , получим:

=

=17.3

 

Проверка гипотезы о значимости уравнения парной регрессии